Mech-Slobod

Ця формула справедлива і для поширення поперечної пружної хвилі в необмеженому ізотропному однорідному у суцільному твердому середовищі.

Швидкість поширення повздовжньої пружної хвилі у тонкому стержні. Таку хвилю можна збудити прикладаючи періодичну силу до торця стержня або вдаривши по ньому в поздовжньому напрямі. При цьому в стержні будуть розповсюджуватись ділянки деформації розтягу та стиску подібні до показаних на Рис. 8.12б. Деформацію розтягу стержня з початковою

довжиною l характеризують відносним видовженням ε = ∆ll . При малих пружних деформаціях відносне видовження ε пропорційне механічному напруженню σ , яке визначається, як величина сили F , що припадає на одиницю площі S поперечного перерізу стержня, σ = FS , і може бути

подане як ε = σE , де E – так званий модуль Юнга. Оскільки відносне видовження є безрозмірна величина, то модуль Юнга має таку ж розмірність як і механічне напруження σ , тобто розмірність тиску, і вимірюється в гігапаскалях.

Відомо, що при видовженні стержня при розтягу його переріз зменшується, а при стиску – збільшується. Отже, в процесі поширення ділянок деформації розтягу та стиску вдовж стержня

333

його товщина на ділянках розтягу буде зменшуватись і при цьому малі об’єми стержня, що не

лежать на осі, будуть рухатись до осі стержня, а на ділянках стиску товщина стержня буде збільшуватись і при цьому малі об’єми стержня, що не лежать на осі, будуть рухатись від осі

стержня. В результаті проходженні такої хвилі вздовж стержня додатково до деформації розтягу-

стиску буде виникати деформація зсуву і, відповідно тангенціальна складова механічного напруження, що сильно ускладнить нашу задачу. Якщо поперечний розмір стержня є набагато

меншим за довжину повздовжньої пружної хвилі9, то зміщення периферійних ділянок стержня в радіальному напрямку відбувається за час набагато менший за період хвилі і не впливає на величину відносного видовження ε .

Розглянемо рух малого порівняно з довжиною хвилі елементу стержня з масою dm ,

обмеженого перерізами при z та z + dz , ∆z << λ , у той момент, коли при проходженні

повздовжньої хвилі він є розтягнутий. У пружній хвилі деформація розтягу неоднорідна (різні значення ε > 0 при різних z ). Внаслідок цього, напруження σ (більш точно його нормальна щодо

10Усі ці міркування застосовні і до стиснутого елемента стержня з тією різницею, що при стиску

ε< 0, σ < 0 .

336

для ряду речовин швидкості поширення повздовжніх υL і поперечних υT пружних (звукових11)

хвиль у необмеженому об’ємі та швидкості поширення υ ñò повздовжніх пружних хвиль, які

L

дані підтверджують, що швидкість звуку є більшою для пружних речовин з меншою густиною.

Наприклад, швидкість звуку в такому пружному матеріалі як сталь ( E = 210 ÃÏà , G = 81 ÃÏà ) при

її густині ρ = 7,8 ã/ ñì 3 в 2-3 перевищує швидкість звуку в пластичному свинці

( E = 18 ÃÏà , G = 7 ÃÏà ) з густиноюρ = 11,3 ã/ ñì 3 .

Досі ми розглядали лише ізотропні тверді пружні середовища, в яких у будь-якому напрямку можливе розповсюдження повздовжньої і поперечної хвилі, які мають різні швидкості. У

твердому анізотропному середовищі, наприклад у монокристалі, в загальному випадку в кожному напрямку можуть поширюватись три пружні хвилі з різними фазовими швидкостями, які визначаються відповідними комбінаціями модулів пружності, причому вектори коливань у цих трьох хвилях є взаємно перпендикулярними. У загальному випадку ці хвилі не є чисто поперечними або чисто повздовжніми. Поширення чисто поперечних і чисто повздовжніх хвиль можливе лише в певних напрямках достатньо високої симетрії. Анізотропне кристалічне середовище може змодельоване просторовою ґраткою, подібною до зображеної на Рис. 8.12а, але такою, в якій жорсткість пружинок розміщених у горизонтальному і вертикальному в площині рисунка та в перпендикулярному до площини рисунка напрямках є різна, і відповідно будуть різними рівноважні відстані між сусідніми кульками по цим напрямкам. У кожному з цих трьох напрямків може поширюватись одна поздовжня пружна хвиля з найбільшою швидкістю і дві поперечні хвилі з меншими але різними швидкостями. Наприклад, в анізотропному кристалі кварцу в напрямку перпендикулярному до його головної осі симетрії можуть поширюватись три

сприймає людина органами слуху лежать в діапазоні від 16 Гц до 20 000 Гц. Фізичне поняття звуку стосується усіх можливих пружних хвиль з частотами як меншими за 16 Гц (інфразвук), так і більшими за 20 000 Гц: ультразвук до 108 Гц і гіперзвук (до 109 Гц газах і до 1013 Гц в твердих тілах). Частота пружних хвиль обмежена тим, що в твердих тілах довжина пружної хвилі не може бути менша за подвоєну відстань між молекулами чи атомами, а в газах – за довжину вільного пробігу молекул.

337

звукові хвилі: поздовжня з швидкістю 5600 м/с, і дві поперечні зі швидкостями 5050 м/с та

3500 м/с. Поперечні хвилі характеризують додатково характеризують поляризацією. Поляризація поперечних хвиль може бути лінійна, еліптична і колова (циркулярна), відповідно до вигляду траєкторії, яку описує проекція кінця вектора зміщення на площину, перпендикулярну до напрямку поширення хвилі (див. Рис. 8.12). Різні типи поляризації поперечних хвиль можна спостерігати в описаному вище демонстраційному досліді з гумовим шнуром з одним закріпленим кінцем. Якщо змушувати вільний кінець шнура здійснювати коливний рух у вертикальній площині отримаємо вертикальну лінійну поляризацію, якщо в горизонтальній площині, то горизонтальну лінійну поляризацію. Якщо ж переміщувати вільний кінець шнура по колу, площина якого перпендикулярна напрямку натягу шнура, то можна збудити поперечні хвилі правої чи лівої колової поляризації, залежно від напрямку обертання.

Швидкість поширення повздовжніх пружних хвиль у рідинах та газах. Зауважимо, що оскільки при зсуві одного шару рідини або газу відносно іншого (деформація зсуву) не виникають пружні сили ( G = 0 ), то в них не можуть розповсюджуватись поперечні пружні хвилі. Отже, в

рідинах і газах можуть існувати лише повздовжні пружні хвилі. Їх швидкість можна обчислити в такий самий спосіб як і швидкість повздовжніх хвиль в тонкому стержні, але замість стержня розглядати так довгий прямий циліндричний канал заповнений газом або рідиною. За допомогою поршня вміщеного в такий канал можна створювати біля поверхні поршня області стиску і розрідження, які будуть поширюватись вздовж каналу, причому на поперечний переріз каналу не накладається ніяких обмежень подібних до тих, що мали місце для твердого стержня.

Рівняння другого закону Ньютона для деякого виділеного циліндричного елементарного об’єму газу з масою m у каналі буде мати такий самий вигляд як і рівняння руху елемента стержня при повздовжніх коливаннях (8.130). Його проекція на напрям Oz є

339

дуже повільно, то за рахунок теплообміну з оточуючими тілами чи середовищем температура розглядуваного об’єму газу є близькою то температури оточення. Якщо остання є сталою, то і температура газу залишається сталою. Такий процес зміни об’єму при сталій температурі називається ізотермічним. При швидкій зміні об’єму теплообмін не встигає відбутися, отже щойно стиснутий газ має температуру вищу за температуру оточення і відповідно більший тиск ніж той який врешті решт встановиться після того як температура розглядуваного об’єму газу знизиться до температури оточення. Процес зміни об’єму газу, який відбувається без теплообміну

знайти похідні dVdp для ізотермічного та адіабатичного процесів.

Для ідеального газу

При поширенні пружних хвиль в газах процеси стиснення і розрідження можна вважати ізотермічними лише при дуже низьких частотах. Як правило, зокрема для звукових і більш високих частот процес поширення хвилі відбувається адіабатично, тобто температури у ділянках стиску і розрідження не встигають вирівнятись, оскільки протягом половини періоду коливань тепло з щойно нагрітих стиснутих ділянок не встигає перейти до охолоджених (розріджених)

12Всі наведені вище міркування застосовні і до процесів розширення газу, яке призводить до його охолодження.

13Молярна маса – це маса одного моля речовини виражена у г/моль.

тиску і сталому об’ємі.

Отже Kàä = γP , а відповідна швидкість поширення пружних хвиль

Швидкість звуку в газах менша ніж у рідинах, а в рідинах, як правило, менша, ніж у твердих

тілах (див. Таблиці 8.1-8.3).

Групова швидкість. Якщо збурення є суперпозицією деякої групи плоских гармонійних хвиль з близькими частотами (так званий хвильовий пакет), то вводять так звану