Mech-Slobod

TÁ = 2π /ω є вдвічі менший за період величини A(t) = 2a cos(∆ωt / 2) .

Виникнення биття можна пояснити тим, що різниця фаз коливань з частотами ω1 і ω2

змінюється з часом і коли їх фази періодично практично збігаються ( ∆ωt ≈ 2πn , де n – ціле

число), то зміщення додаються (коливання підсилюють одне одне) або їх фази стають

протилежними ( ∆ωt ≈ π (2n +1) ) і тоді зміщення віднімаються (коливання взаємно

послаблюються). Точний збіг взагалі є рідкісною подією, оскільки він можливий лише при виконанні умови nω1 = mω2 , де n і m є натуральні числа. У переважній більшості випадків відношення частот ω1 / ω2 є ірраціональним числом. Тому коливання (8.^ взагалі кажучи не є періодичними, оскільки не можна вказати такий проміжок часу Tïîâò через який вони точно

Явище биття давно відоме в акустиці. Для його демонстрації в лекційному експерименті використовують два гучномовці, на які подаються електричні гармонійні сигнали з близьким частотами ω1 і ω2 , такими щоб відповідні звукові коливання кожне окремо не сприймалися як

звуки різного тону (висоти). При поступовому наближенні однієї частоти до іншої стають помітними

періодичні зміни інтенсивності звучання при незмінній частоті (висоті тону), період яких може сягати декількох секунд. У такий спосіб при налаштуванні музичних інструментів порівнюють звучання інструменту зі звучанням еталону звукових коливань певної частоти (камертону). При цьому може досягатись точність порядку 0,1 Гц. Аналогічне застосування явище биття знаходить при порівнянні частот електричних та електромагнітних коливань.

8.3.3 Додавання взаємно перпендикулярних коливань

Якщо матеріальна точка має два степені вільності, то її положення в будь який момент часу

визначається двома координатами. Якщо кожна з цих координат змінюється за гармонійним законом, то матеріальна точка здійснюватиме складний рух, траєкторія якого визначатиметься співвідношенням амплітуд, частот та початкових фаз обох коливань.

Розглянемо рух частинки, яка бере участь одночасно у двох коливних гармонійних рухах однієї частоті вздовж взаємно перпендикулярних напрямків відносно спільного положення рівноваги. Оберемо декартову прямокутну систему координат з початком у положенні рівноваги і

Оберемо початок відліку так, щоб початкова фаза коливання вздовж x дорівнювала нулю, ϕ x = 0 .

Тоді різниця фаз між коливаннями вздовж напрямків x та y ∆ϕ = ϕ y − ϕ x = ϕ y і вирази для зміщень можна переписати так

Ця система рівнянь задає рівняння траєкторії кульки в параметричному вигляді. Для того,щоб одержати явний вигляд траєкторії необхідно виключити параметр t . Для цього поділимо перше і друге рівняння на відповідні амплітуди і в правій частині другого рівняння перетворимо

відоме з аналітичної геометрії як рівняння еліпса орієнтованого довільним чином відносно координатних осей.

Орієнтація еліпса відносно осей Ox та Oy , його ексцентриситет і напрям руху точки по траєкторії залежать від різниці фаз ∆ϕ (Рис. 8.10).

y = ba x , тобто рівняння прямої, що проходить в першій і третій четвертях системи координат.

Точка рухається вздовж відрізку цієї прямої, що є діагоналлю прямокутника зі сторонами 2a і 2b ,

яка з’єднує правий верхній і лівий нижній його кути. При цьому її зміщення відносно початку

координат змінюється за законом r = a2 + b2 cosωt .

рівняння прямої y = − ba x , тобто точка рухається вздовж відрізку цієї прямої, що є діагоналлю згаданого прямокутника, яка з’єднує лівий верхній і правий нижній його кути.

якого співпадають з координатними осями, а сам еліпс є вписаним в прямокутник зі сторонами 2a

і 2b . Легко бачити, що будь-яка можлива траєкторія точки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з амплітудами a і b має бути вписана в такий прямокутник.

Зміщення точки при цьому описуються рівняннями x(t) = a cos(ωt) і y(t) = bcos(ωt + π 2) , з яких випливає, що точка рухається по цьому еліпсу за годинниковою стрілкою. Дійсно, в момент часу t = 0 , точка має координати ( a , 0), тобто знаходиться на осі Ox на відстані a від початку координат, а в наступні моменти часу координата x зменшується, а координата y стає від’ємною.

В інтервалі різниць фаз π > ∆ϕ > 0 рух точки відбувається за годинниковою стрілкою,

причому при наближенні до границь цього інтервалу еліптичність траєкторії зменшується. Після переходу через значення ∆ϕ = π , при якому еліпс вироджується у відрізок прямої, еліптичність знову зростає, але напрям руху точки по еліпсу змінюється на протилежний і тепер відбувається проти годинникової стрілки в інтервалі 2π > ∆ϕ > π . При ∆ϕ = 3π 2 траєкторія являє собою

317

еліпс, велика і мала осі якого співпадають з координатними осями, а точка рухається проти

Рис. 8.10. Траєкторія руху точки, що бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях з амплітудами a і b при різних значеннях різниці фаз.

годинникової стрілки.

Еліпси при ∆ϕ = ± π 2 і при b → a переходять в кола. З цього випливає, що рівномірний

рух точки по колу радіуса R = a = b може бути завжди поданий як сума двох взаємно

318

перпендикулярних коливань x(t) = R cosωt і y(t) = ± Rsinωt , де знак «+» відповідає руху проти

годинникової стрілки, а знак «–» – руху за годинниковою стрілкою.

Справедливим є й обернене твердження: гармонійний коливний одновимірний лінійний рух частинки в певному напрямку з циклічною частотою ω може бути поданий як суперпозиція двох рівномірних рухів по колам, що відбуваються з кутовою швидкістю ω . Наприклад, коливання математичного маятника в деякій площині з циклічною частотою ω0 і з максимальним відхиленням підвісу від вертикалі на кут θ0 можуть бути подані як суперпозиція двох рівномірних

колових рухів цього маятника4, відхиленого на той же кут θ0 , у взаємно протилежних напрямках з

однаковими за модулем кутовими швидкостями ω+ та ω− .

Легко збагнути, що коли кутові швидкості цих колових рухів ω+ та ω− будуть різні, наприклад,

ω+ > ω− , то площина коливань математичного маятника буде повертатися з кутовою швидкістю

(ω+ − ω− ) / 2 . Такий підходу можна застосувати до пояснення дослідів з маятником Фуко (див. Рис. 4.18 в 4.5). Коли платформа нерухома, то положення площини коливань маятника як відносно ІСВ (поверхні Землі) так і відносно платформи залишається незмінним. Ця ситуація відповідає випадку, кутові швидкості

колових рухів однакові як відносно ІСВ, так і відносно платформи: ω+ = ω− = ω0 (Рис. 8.13а). Нехай платформа рівномірно обертається проти годинникової стрілки відносно ІСВ з кутовою швидкістю ω .

Кутові швидкості колових рухів відносно ІСВ не залежать від руху платформи, отже в ІСВ, як і раніше,

маємо: ω+ = ω− = ω0 . Але в системі відліку зв’язаній з платформою ця рівність порушується, оскільки

4 Маятник, в якому підвішене в полі тяжіння тіло рухається по коловій траєкторії, називають конічним маятником, оскільки підвіс описує конус з вершиною в точці закріплення підвісу. Рух як конічного, так і математичного маятника є частинними випадками руху так званого сферичного маятника.

319

замкнені криві, що називаються фігурами Лісажу. На Рис.8.11 показані фігури Лісажу для декількох значень співвідношень частот n / m при початковій різниці фаз обох коливань рівній нулю.

З цих фігур може бути визначене відношення частот як відношення кількостей дотиків фігури Лісажу до сторін 2a і 2b прямокутника, в який вписані фігури. Цей прийом часто використовують на практиці

Рис. 8.11. Фігури Лісажу.

для порівняння частот електричних сигналів за допомогою електронного осцилографа.Для цього один сигнал подають на канал горизонтального відхилення, а другий на канал вертикального відхилення. Якщо частоти порівнюваних сигналів кратні, то на екрані можна спостерігати нерухомі фігури Лісажу. Їх форма змінюється залежно від початкової різниці фаз, що добре видно на прикладі фігури Лісажу з n = 1, m = 1

(Рис. 8.10). Якщо ж частоти ω1 та ω2 дещо відрізняються від тих, що задовольняють умову nω1 = mω2 , на величиниδω1 та δω2 , відповідно, то фігура поступово змінює свій вигляд відповідно до зміни додаткової

різниці фаз (nδω1 − mδω2 )t , яка залежить від часу. Наприклад, фігура Лісажу з n = 1, m = 1 послідовно і

неперервно проходить усі стадії показані на Рис. 8.10 і проміжні між ними. Швидкість цих змін тим більша,

чим більша швидкість зміни додаткової фази. Траєкторії при цьому не є замкненими і заповнюють увесь прямокутник 2a × 2b .

320

8.2. Пружні хвилі

Коливання, що виникли у певній ділянці середовища (твердого, рідкого чи газоподібного)

або як коливання принаймні однієї його частинки, внаслідок взаємодії між частинками цього

середовища можуть поширюватись від частинки до частинки. Процес поширення коливань у

середовищі називається хвильовим процесом або просто хвилею. Частинки середовища, в якому поширюється хвиля, не залучаються до однонаправленого руху, а лише здійснюють коливання поблизу своїх рівноважних положень. Залежно від напрямку коливань частинок щодо напрямку поширення хвилі, розрізняють повздовжні та поперечні хвилі.

Розглянемо просту модель поширення повздовжніх та поперечних хвиль у кубічній ґратці,

5 Така модель певною мірою відображає поширення хвиль у кристалах, де атоми можуть здійснювати коливання поблизу положень рівноваги у вузлах кристалічної ґратки, які відповідають мінімуму потенціальної енергії.