Mech-Slobod

Таким чином, тривалість процесу A є мінімальною в системі K′ : в усіх інших ІСВ тривалість цього самого процесу є більша. Тому іноді кажуть про збільшення інтервалів часу або про уповільнення часу. Дійсно, з тривалістю процесу A можна порівнювати тривалість інших

процесів. Якщо процес A періодично повторюється, то його можна використовувати для вимірювання часу (як годинник). При цьому так званий власний час τ 0 виміряний в системі K′

буде завжди менший, ніж час τ виміряний за допомогою того самого процесу в системі відліку,

що рухається відносно системи K′ . Зокрема для годинника вміщеного в системі K′ в початку координат ( z′ = 0 ) з (9.26) безпосередньо випливає співвідношення

тобто рухомий годинник з точки зору спостерігача, що перебуває в системі відлікуK відстає.

Цілком зрозуміло, що уповільнення часу є відносним: для спостерігача, що перебуває в системі відлікуK′ , годинник, що знаходиться в спокої відносно ІСВ K буде відставати на таку саму величину.

Необхідно наголосити, що з того факту, що розміри одних і тих самих тіл або тривалості одних і тих самих процесів, визначені в різних системах відліку є різними, не слід робити висновку, що якісь з них є вірними, а якісь ні. Всі вони є коректно визначеними і однаково

«вірними». А точніше рівноправними як рівноправні всі ІСВ. Труднощі в сприйнятті такої об’єктивної (незалежної від нас) реальності пов’язані, як уже відзначалось, виключно з нашим практичним повсякденним досвідом спостережень рухів з малими швидкостями (υ << c ), які цілком логічно дозволяють вважати поняття довжини та проміжків часу абсолютними, тобто такими, що не залежать від системи відліку. Насправді вони не є такими: абсолютним є поняття події. Тут може бути доречною така аналогія: координати вершин трикутника на площині залежать від вибору системи координат і тому не є абсолютними, в той час, коли сам трикутник як геометричний об’єкт є абсолютним поняттям.

382

Наслідки перетворень Лоренца неодноразово експериментально перевірялися і надійно підтверджуються всіма відомими на сьогодні дослідами і спостереженнями. Наприклад, як скорочення розмірів тіл в напрямку їх руху, так і уповільнення часу являють собою фізичну реальність, а не якісь ілюзії спостерігачів, про яких ми вище згадували виключно для того, щоб викласти суть справи більш наочно і зрозуміло.

Ми зараз розглянемо лише один яскравий приклад застосування наслідків перетворень Лоренца, який став уже хрестоматійним: пояснення факту реєстрації поблизу земної поверхні мюонів – нестабільних частинок, які народжуються у верхніх шарах атмосфери Землі на висотах порядку 20-30 км при взаємодії космічного випромінювання з атмосферою (Рис. 9.5). Проблема полягає в тому, що середній час життя мюонів,

Рис. 9.5

пов’язаній з поверхнею Землі. Мюон рухається

відносно цієї системи з великою швидкістю, яка близька до швидкості світла. Але це означає, що система відліку, пов’язана з поверхнею Землі, рухається з такою самою швидкістю відносно системи відліку, в якій мюон знаходиться у спокої. Отже тривалість життя мюона (проміжок часу між подією народження мюона та подією його розпаду) в системі відліку пов’язаній з поверхнею

мюона τ >> τ 0 , так що добуток V τ = l > 20 ÷ 30 км! Таким чином, ми пояснили

спостережуваний факт уповільненням часу в системі відліку, пов’язаній з поверхнею Землі,

порівняно з власною системою відліку мюона. Можна пояснити той самий дослідний факт і скороченням просторових інтервалів. Дійсно, нехай в системі відліку, пов’язаній з поверхнею

383

Землі, відстань l0 від місця народження мюонів до поверхні Землі дорівнює 30 км. Довжина

l = l0 1− β 2 . При деяких достатньо великих швидкостях руху мюона ця довжина шляху l може

стати достатньо малою, для того, щоб мюон подолав її за час 2 10−6 c .

На перший погляд пояснення одного й того ж самого експериментального факту двома різними способами: один раз уповільненням часу, а другий раз – скороченням просторових інтервалів може здатися дивним. Але, якщо пригадати, що ці два наслідки перетворень Лоренца, як і самі перетворення Лоренца випливають з інваріантності інтервалу між двома подіями (народженням мюона та його реєстрацією) при

переході від однієї ІСВ K до іншої ІСВ K′ , а саме S122 = c2t122 − l122 = inv , то причин для здивування

немає . Дійсно, якщо, наприклад, при переході від однієї ІСВ до іншої зростає t12 , то автоматично повинна

зменшуватись величина l12 , і навпаки. Для двох розглянутих вище крайніх випадків маємо: 1) у власній

народженням мюона та його реєстрацією, визначений у власній системі відліку мюона, (l12 )0 – відстань від

точки народження мюона до точки його реєстрації, визначена у системі відліку, пов’язаній з поверхнею

Землі, а вβ входить відносна швидкість цих двох систем відліку.

Релятивістська формула додавання швидкостей. Оскільки при переході від однієї ІСВ K

до іншої ІСВ K′ змінюються як просторові так і часові інтервали, слід розглянути зміну вектора швидкості частинки, визначеного в системі K при переході до системиK′ . Будемо виходити з означень вектора швидкості

384

Знайдемо з перетворень Лоренца у формі (9.20′) зв’язок між диференціалами, що входять до формул швидкостей та їх компонент

Формулу (9.30) називають релятивістською формулою додавання швидкостей. При малих швидкостях вона переходить у формулу додавання швидкостей, яка успішно використовується в

ньютонівський механіці, υ3 = υ1 + υ2 . Особливість релятивістської формули полягає в тому, що

υ3 = c .

Релятивістська формула додавання швидкостей може бути отримана також шляхом множення двох матриць перетворення Лоренца (див. вправу 9._), тобто

9.2. Взаємозв’язок імпульсу, маси та енергії в СТВ

Той факт, що формула перетворення швидкості при переході від однієї ІСВ K до іншої ІСВ

K′ в СТВ суттєво відрізняється від відповідної формули ньютонівської механіки, спонукає з’ясувати питання, як при такому переході перетворюються ті механічні величини ньютонівської механіки, які залежать від швидкості. Ми розглянемо такі величини як імпульс частинки і кінетична енергія частинки, які у ньютонівській механіці за певних умов в кожній ІСВ залишаються сталими (зберігаються) як для окремої частинки, так і для системи частинок.

Розглянемо, наприклад, виглядає в рамках ньотонівської механіки абсолютно непружне лобове зіткнення двох однакових частинок в ІСВ K та ІСВ K′ , показаних на Рис.9.6. У системі відліку K ці дві частинки рухаються з однаковими по величині, але протилежно направленими

387

та після зіткнення

Виявляється, що для імпульсів системи двох частинок знайдених у такий спосіб, а саме, з

застосуванням релятивістського закону додавання швидкостей та ньютонівської формули для імпульсу частинки, закон збереження імпульсу не виконується:

розглядуваних ІСВ абсолютно непружне зіткнення відбувається відповідно до одних і тих же самих законів, а з іншого, виявляється, що при застосуванні релятивістського закону додавання

швидкостей цей принцип порушується. При цьому з формули (9.32) видно, що це порушення

непомітне при малих швидкостях відносного руху (частинок або систем відліку, що фактично є одне й те ж саме). Зауважимо, що нерівність (9.32) завдячує застосуванню різних формул для знаходження швидкості другої частинки в системі відліку K′ . Права частина нерівності (9.32)

формули додавання швидкостей. Натомість ліва частина нерівності (9.32) походить від швидкості другої частинки, знайденої за релятивістською формулою перетворення швидкостей.

Таким чином, виникає альтернатива: або при розгляді рухів з великими швидкостями відмовитися від застосування закону збереження імпульсу, який в механіці Ньютона, як і інші закони збереження, є надзвичайно продуктивним і зручним інструментом, або зробити спробу

388

врятувати цей інструмент за рахунок такого удосконалення формули для імпульсу частинки, яке

дозволило б використовувати її і при великих швидкостях10. Легко переконатися, що імпульс

частинки у формі

буде інваріантним відносно перетворень Лоренца і законом збереження імпульсу у його звичній формі можна буде користуватися при будь-яких швидкостях υ < c .

Розглядаючи у двох так само обраних ІСВ абсолютно пружне зіткнення двох частинок можна отримати подібне порушення інваріантності виразу для кінетичної енергії частинок (див.

Завдання 9._).

Виявляється, що так само як просторовий відрізок і проміжок часу між двома подіями кожен окремо не залишаються незмінними при переході від однієї ІСВ до іншої, величини імпульсу і енергії частинки також не залишаються незмінними кожна окремо при переході від однієї ІСВ до іншої. Натомість вони пов’язані співвідношенням

необхідно підкреслити, що маса m та швидкість υ частинки – це ті самі величини, з якими ми мали справу в ньютонівській механіці.

При переході від ІСВ K до ІСВ K′ компоненти вектора імпульсу частинки p та енергія

частинки E перетворюються за формулами перетворень Лоренца:

10З подібною ситуацією ми вже стикалися при запису основного рівняння динаміки руху частинки відносно НеІСВ, коли звична форма рівняння другого закону Ньютона була збережена ціною введення до розгляду сил інерції (Див. Розділ 4.2).

389

тобто вони є компонентами деякого чотиривимірного вектора з компонентами ( px , py , pz , Ec ) ,

подібно до чотиривимірного вектора (x, y, z, ct) , який утворюють три компоненти радіус-вектора

r та час t . Для зручності порівняння перетворення компонент 4-вектора (x, y, z, ct) наведено

вище поряд з перетвореннями компонент 4-вектора ( px , py , pz , Ec ) . Аналогічно до того, як

доходимо висновку, що ця довжина дорівнює добутку квадрату маси на квадрат швидкості світла,

переході від однієї ІСВ до іншої, а швидкість світла c є інваріантом теорії, то і маса m також є

інваріантом СТВ, тобто вона не змінюється при переході від однієї ІСВ до іншої.

Зауважимо, що формули (9.34–35), які являють собою основні співвідношення СТВ для вільної частинки (системи частинок, тіла), не можуть бути безпосередньо «виведені» з формул ньютонівської механіки. В принципі, до них можна прийти різними шляхами: наприклад,

піклуючись про виконання законів збереження імпульсу та енергії в різних СТВ або просто сконструювавши 4-вектор ( px , py , pz , Ec ) . Їх можна, нарешті, просто вгадати. Але наступним

390

обов’язковим етапом повинна бути експериментальна перевірка цих співвідношень і наслідків з них. Тільки успішність такої перевірки може підтвердити їх справедливість.

При аналізі рівнянь (9.34) та (9.35) необхідно розглянути два принципово різні випадки: рух частинок зі швидкістю υ = c та рух частинок зі швидкістю 0 ≤ υ < c .

При υ = c з рівняння (9.35) маємо pc = E і після підстановки в рівняння (9.31) отримуємо m2c4 = 0 . Таким чином, якщо частинка рухається зі швидкістю υ = c , то її маса дорівнює нулю.

Такі частинки називають безмасовими. Вони характеризуються своєю енергією E та імпульсом

означає, що для безмасової частинки не можна знайти систему відліку, в якій вона знаходиться у спокої. Прикладом безмасової частинки є фотон.

Частинки (тіла), які мають відмінну від нуля масу ( m ≠ 0 ), нехай навіть дуже малу,

називають масивними. Вони не можуть рухатися зі швидкістю світла, оскільки при такому русі повинні були б бути нескінченними їх енергія та імпульс. Дійсно, підставляючи в рівняння (9.34)

вираз для імпульсу з (9.32) дістанемо E2 (1− β 2 ) = m2c4 , а потім

що збігається з виразом для імпульсу (9.33), який було введено раніше для «порятунку» закону збереження імпульсу при абсолютно непружному зіткненні двох частинок. Прикладами масивних частинок можуть бути електрони, нуклони (протони та нейтрони), а також атоми, іони, молекули та інші об’єкти, що складаються з електронів та нуклонів.