Mech-Slobod

301

β2 = 0,1ω0 , β3 = 0,25ω0 , β4 = 0,5ω0 , β5 = ω0 , β6 = 5ω0 . Звертають на себе увагу такі особливості

поведінки δ (ω ) :

1)фазовий зсув при ω = 0 дорівнює нулю, а потім монотонно зменшується, асимптотично прямуючи до − π . Це означає, що змушені коливання завжди відстають за фазою від коливань змушувальної сили, причому це відставання зростає з частотою;

2)фазовий зсув δ (ω) при ω = ω0 для будь-яких величинах згасання дорівнює − π / 2 ;

Відставання за фазою змушених коливання від коливань змушувальної сили зумовлене інерційністю відгуку коливної системи на зовнішнє збурення. При малих, порівняно з власною

частотою коливної системи, частотах змушувальної сили ω /ω0 <<1 швидкість і прискорення маси, що здійснює коливний рух, будуть малими. Тому в рівнянні руху (8.30) можна знехтувати доданками mx та − αx , внаслідок чого маємо x(t) = F (t) / k , тобто зміщення бруска не залежить від маси, є пропорційним до змушувальної силі і змінюється у фазі з нею. При ω → 0 приходимо до згаданого на початку параграфа статичного випадку, що описується законом Гука. При великих, порівняно з власною частотою коливної системи, частотах змушувальної сили, тобто при

ω/ ω0 >>1 протягом половини періоду коливань, коли маса під дією змушувальної сили рухається

водному напрямку, вона не встигає а ні набрати значної швидкості а ні зміститись на значну величину з положення рівноваги, оскільки період коливаньT = 2π ω є дуже коротким. Тому сила

звідки видно, що зміщення запізнюється за фазою на π ( δ = −π ) щодо змушувальної сили.

У резонансному режимі, коли вимушені коливання відбуваються з частотою близькою до власної частоти коливальної системи, ω ≈ ω0 , унаслідок чого в рівнянні руху (8.31) суму двох

факту з рівняння (8.31) випливає, що2βx = (F0 m) cosω0t , звідки шляхом інтегрування отримуємо

вираз для зміщення

x(t) = (F0 2βmω0 )sinω0t = (F0 2βmω0 ) cos(ω0t − π / 2) = Q(F0 k) cos(ω0t − π / 2) .

Таким чином, амплітуда зміщення в Q разів більша за амплітуду при ω → 0 і зміщення запізнюється за фазою щодо змушувальної сили на π / 2 ( δ = −π / 2) . Це означає, що 1) при

резонансі є великими і швидкості, тобто значними є дисипативні сили опору, що залежать від швидкості − αx , а, отже, і втрати енергії коливної системи; 2) швидкість при резонансі змінюється синфазно із зовнішньою змушувальною силою, отже її потужність максимальна, що забезпечує ефективну передачу енергії в коливну систему.

Корисно обчислити роботу зовнішньої змушувальної сили за період коливань системи:

A = T∫ F (t)x(t)dt = T∫ F0 cos ωt[−ωb0 (ω)sin(ωt + δ(ω))]dt = −F0ωb0 (ω)T∫cos ωt sin(ωt + δ(ω))dt =

З (8.48) видно, що робота зовнішньої сили не залежить від частоти і завжди додатна, A > 0 ,

оскільки завждиδ (ω ) < 0 . Вона прямо пропорційна амплітуді зовнішньої сили F0 та амплітуді

змушених коливань b0 (ω) і критично залежить від фазового зсуву δ (ω ) . Ефективність передачі енергії в коливну систему тим вища, чим ближчий фазовий зсув δ (ω ) до − π / 2 , що має місце на

частоті власних коливань системи ω0 . При малих і при великих (порівняно з частотою власних

коливань) частотах зовнішньої сили sin δ (ω ) прямує до нуля, а разом з нею і робота, оскільки

F0 = const за постановкою задачі, а амплітуда змушених коливань при частотах віддалених від

власної мала. В умовах резонансу робота зовнішньої сили за період є

легко переконатися, що отриманий нами результат повністю узгоджується з уведеним вище означенням добротності (8.25).

Для практичних цілей аналізу поведінки коливальної системи в області частот ω поблизу

власної частоти ω0 формулу (8.40) можна значно спростити. Дійсно, підкореневий вираз можна

подати так

(ω 02 − ω 2 ) 2 + 4β 2ω 2 = (ω0 − ω) 2 (ω 0 + ω) 2 + 4β 2ω 2 ≈ (ω0 − ω) 2 (2ω 0 ) 2 + 4β 2ω 02 = 4ω 02 (ω0 − ω) 2 + 4β 2ω 02

Після підстановки цього наближеного виразу до (8.40) отримаємо

Отже, поблизу власної частоти амплітуда коливань може бути описана простою формулою

наближеним графіком (8.51).

Функцію частоти L(ω) , яка є другим множником у формулі (8.51),

305

8.1.5. Параметричні коливання

Підтримання сталої амплітуди коливань коливної системи може бути здійснене також шляхом періодичної зміни принаймні одного з її параметрів, що визначають її власну частоту

(період власних коливань). Знову звернемось до відомого прикладу гойдалки. Розгойдування й підтримання сталої амплітуди коливань дитячої колиски чи гойдалки для малих дітей зазвичай здійснюють дорослі шляхом періодичного підштовхування. У той же час дорослі здатні самостійно розгойдуватись до значної амплітуди і підтримувати її протягом тривалого часу без прикладання до гойдалки зовнішньої змушувальної сили. Для цього особа, яка розгойдується,

періодично присідає або відхиляється назад у моменти найбільшого відхилення гойдалки і швидко підводиться при проходженні положення рівноваги. Легко бачити, що при цьому змінюється положення центру мас тіла, що коливається, а, отже, й зведена довжина гравітаційного маятника l , яким можна вважати гойдалку. Саме ця величина визначає частоту власних коливань маятника

ω0 = g l . Також очевидно, що частота зміни параметру l є вдвічі більшою за частоту власних

коливань маятника на відміну від частоти зовнішньої змушувальної сили при змушених коливаннях, розглянутих вище. Для підтримання сталої амплітуди робота, що виконується сторонньою силою при змінах параметра l, повинна бути достатньою для компенсації втрат енергії маятника за період. Якщо ця робота перевищує втрати, то повна енергія коливної системи і амплітуда коливань будуть зростати, поки баланс не встановиться на новому рівні. Такий спосіб підтримання та/або збудження коливань називають параметричним, а самі коливання,

підтримувані таким способом – параметричними коливаннями, а стрімке зростання амплітуди при наближенні частоти зміни параметра до

певного значення, характерного для коливної F

положення рівноваги.

306

Улекційній демонстрації параметричного резонансу використовують модель математичного маятника

увигляді сталевої кульки підвішеної на нитці, перекинутій через горизонтально розміщений стержень діаметром порядку 2 мм, який виконує роль точки підвісу маятника (Рис.8.6а). Це дає можливість

змінювати довжину маятника l без зміни положення точки підвішування при незмінній масі маятника. Коли маятник перебуває в спокої, то нитка підвісу спрямована вертикально (відсутнє її відхилення від вертикалі)

і швидкість підвішеної кульки дорівнює нулю. Якщо почати періодично змінювати довжину маятника l ,

прикладаючи силу до нитки перекинутої через стержень, то завдяки осьовій симетрії задачі, відхилення від вертикалі не може виникнути і кулька буде переміщуватись лише у вертикальному напрямку (напрямку

вектора прискорення вільного падіння) при будь яких частотах періодичної зміни довжини маятника l . При цьому тіло маятника рухається по траєкторії, показаній на (Рис.8.6б).

У випадку математичного маятника сталої довжини l тіло маси m рухається по поверхні сфери з центром в точці підвісу і сила T , що прикладена до нього з боку підвісу є завжди перпендикулярною до вектора його швидкості υ внаслідок чого її потужність завжди дорівнює нулю. Натомість при параметричному розгойдуванні коливань це не так: робота сили T на

ділянках траєкторії, де (T υK) > 0 , зокрема, при проходженні положення рівноваги, є додатною, а

на ділянках траєкторії, де (T υK) < 0 , зокрема, поблизу точок максимального відхилення, є

від’ємною (Рис.8.6б). Якщо сумарна робота цієї сили за період коливань перевищує втрати енергії за рахунок від’ємної роботи дисипативних сил, то енергія маятника, а разом з нею і амплітуда коливань, будуть зростати. Стаціонарні коливання сталої амплітуди встановляться, коли втрати енергії за рахунок від’ємної роботи дисипативних сил протягом періоду коливань будуть компенсуватися надходженням енергії до коливної системи за рахунок роботи зовнішньої сили F ,

прикладеної до нитки підвісу.

Оцінимо роботу зовнішньої сили F за період для коливань маятника з не дуже великими, але й не

малими амплітудами, при яких період коливань є

як то випливає з формули (3.47а) при врахуванні першого залежного від амплітуди доданку. Відповідна

частота коливань при цьому буде

У момент проходження положення рівноваги θ = 0 натяг нитки є

Таким чином, сумарна робота зовнішньої сили за період є додатною

Це означає, що при малих відхиленнях, коли робота зовнішньої сили більша за роботу дисипативної сили опору повітря, амплітуда коливань буде зростати, поки не буде досягнуто баланс між додатною роботою зовнішньої сили і дисипативної сили опору повітря.

308

Таким чином, умова збереження енергії при параметричних коливаннях математичного маятника є

09 0 16 2

Зцієї умови можна знайти вираз для амплітуди стаціонарних параметричних коливань. Після−− ) − αθ3mgθ ∆l(1 = 0 .gl 1 (8.63)

модуляції ε стає додатним спочатку знаменник, а потім і чисельник виразу (8.67). Останнє відбувається при умові

деяке порогове значення, яке приблизно дорівнює оберненій величині добротності Q коливної системи

Необхідно підкреслити, що хоча проведений вище аналіз поведінки коливної системи при періодичній зміні її параметра фізично правильно пояснює основні риси явища параметричного збудження коливань отримані нами кількісні оцінки справедливі лише в рамках зроблених наближень. Найбільш суттєвим є те,

що розглядалися коливання з «не дуже великими, але й не малими амплітудами». Зокрема, при «дуже

великих» амплітудах ( θ0 > 1 ) не можна користуватись формулою (8.69), яка випливає з рівності (8.67),

отриманої з виразу (8.63) в наближенні θ0 << 1 . З іншого боку, наш аналіз балансу повної механічної

енергії стосується коливань маятника, які не є малими в тому сенсі, що вони вже не є гармонійними і їх період уже залежить від амплітуди.

Зауважимо, що параметричне збудження коливань є суттєво нелінійним ефектом на відміну від збудження малих коливань шляхом прикладання до тіла, що може коливатися, періодичної змушувальної сили без зміни параметрів коливної системи. У вищенаведеному аналізі нелінійність описують малі доданки

пропорційні θ02 .

Можливість параметричного збудження коливань і параметричного резонансу можна показати й виходячи з рівняння руху найпростішої коливальній системі без згасання і без зовнішньої періодичної змушуючої сили

де залежність параметра ω02 (t) від часу має місце внаслідок явної залежності від часу одного

або декількох параметрів, що визначають період власних коливань осцилятора: довжини математичного маятника l, коефіцієнта пружності пружини k , моменту інерції I для фізичного маятника тощо. На відміну від рівняння вільних гармонійних коливань вигляду (3.37), (9.2), які є рівняннями зі сталими коефіцієнтами, коефіцієнт при x у рівнянні (9.П1) залежить від t . Отже, це рівняння описує нелінійний процес. Відшукання розв’язків нелінійних диференційних рівнянь є доволі складним і, як правило, проводиться наближеними методами (див. Доданок 3).

У Таблиці 8.1 наведено для порівняння умови збудження змушених і параметричних коливань та відповідних резонансів.

310

Таблиця 8.1 Порівняння умов збудження змушених та параметричних коливань

Автоколивання. Далеко не в усіх коливних системах незгасаючі коливання є змушеними або параметричними, які було розглянуто вище. Найчастіше ми бачимо як гойдаються дерева у вітряний день, коливаються листя та стеблини рослин тощо. При цьому не обов’язково щоб вітер був поривчастий: розгойдування й коливання мають місце і при постійній швидкості вітру.

Коливання також самого виду можна спостерігати і в стаціонарному потоці води: гілки, що торкаються поверхні води або визирають з води можуть здійснювати вельми регулярні коливання протягом тривалого часу. Такі коливання, що відбуваються без видимого зовнішнього періодичного втручання є прикладом так званих автоколивань, а системи, в яких можуть відбуватися автоколивання, називають автоколивними системами. Ясно, що в наведених прикладах компенсація неминучих втрат механічної енергії елемента, що коливається, на роботу проти дисипативних сил відбувається за рахунок енергії потоку повітря або води, який сам може