Mech-Slobod
.pdf
271
Uеф
E>0
α>0
α<0
0 |
Uеф min<E<0 |
r |
||
|
||||
y |
E= Uеф |
|||
|
|
|||
α<0 |
α<0 |
|
|
|
p |
|
|
|
|
r–min 0 |
b |
x |
|
|
a
r+min
y
α<0
p
0
x
a |
y |
α<0 |
|
b p
rmax rmin
0 |
x |
y
α<0
rmin= rmax
0 |
x |
Рис. 7.6. Траєкторії частинки в полі U(r) = α
r
272
При E > 0 завжди маємо інфінітний рух по гіперболічним траєкторіям, оскільки e > 1. У
випадку притягання (α < 0 ) рівняння (7.41) описує ліву вітку гіперболи. Полярний |
кут при цьому |
змінюється в межах − π + θ0 < θ < π − θ 0 (від однієї асимптоти до іншої). Рух |
частинки, що |
проходить біля силового центру, викривляється і вона обходить силовий центр, наближаючись до
нього при |
θ = 0 на мінімальну відстань r − |
= |
|
|
p |
. Права вітка гіперболи відповідає випадку |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
min |
|
1 |
+ e |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
відштовхування (α > 0 ), а отже описується рівнянням (7.20−), з якого видно, що при |
θ = 0 |
|||||||||||
мінімальна |
відстань є r + |
= |
|
|
p |
: траєкторія |
|
|
частинки при наближенні до силового |
центру |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
min |
|
1 |
− e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
викривляється і вона не доходячи до силового центру повертає назад. У декартових координатах
обидві вітки гіперболи описуються рівнянням |
x2 |
− |
y2 |
= 1 |
. При цьому e = 1+ |
a2 |
. Мінімальна |
|
a2 |
b2 |
b2 |
||||||
|
|
|
|
|
відстань між вітками гіперболи є 2a . Асимптоти гіперболи проходять по діагоналям прямокутника зі сторонами 2a і 2b .
При E = 0 маємо інфінітний рух по параболічним траєкторіям, оскільки e = 1. Оскільки цей випадок реалізується лише для сили притягання, то траєкторія має такий же вигляд як ліва вітка гіперболи,
розглянутої вище. Мінімальна відстань до силового центру при цьому rmin− = 2p . Рівняння параболи в
декартових координатах є y2 = 2 px .
Фінітний рух можливий лише при E < 0 , що, в свою чергу, можливо лише у випадку притягання (α < 0 ). Якщо Uеф min < E < 0 , то 0 < e < 1 і рух частинки відбувається по еліптичній
траєкторії, причому один із фокусів еліпса співпадає з центром поля (зауважимо, що у випадку притягання фокуси гіперболічних та параболічних траєкторій також співпадають з центром силового
поля). Мінімальна відстань до силового центру є rmin− = 1+pe , а максимальна rmax− = 1−pe . Рівняння
еліпса в декартових координатах є |
x2 |
+ |
y2 |
= 1, а ексцентриситет e = 1− |
a2 |
. Еліптична траєкторія |
|
a2 |
b2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
є повністю вписаною в прямокутник, утворений осями еліпса 2a і 2b . При зменшенні повної енергії частинки E і наближенні її до U еф min ексцентриситет зменшується і при E = Uеф min досягає
274
υυ0
υ0 < υ10
еліпс
υ0 = υ01 |
|
гіпербола |
|
коло |
|
υ0 > υ02 |
|
|
|
||
|
|
E > 0 |
|
υ01 < υ0 |
< υ02 |
υ0 = υ02 |
|
парабола |
|||
|
|
||
E < 0 еліпс |
|
E = 0 |
Рис. 7.7. Траєкторії тіла в полі тяжіння Землі залежно від величини початкової горизонтальної швидкості υ0 .
малих ділянках поблизу апогею8 еліптичну траєкторію можна апроксимувати параболою, що, власне,
й робиться при розв’язанні шкільних задач про рух тіл в однорідному полі сили тяжіння поблизу поверхні Землі.
При збільшенні початкової швидкості υ0 буде зростати кінетична енергія тіла, і відповідно
повна механічна енергія E , та момент імпульсу L , що призведе до збільшення розмірів еліпса,
причому швидше буде зростати мала піввісь. Нарешті настане момент коли мала і велика осі еліпса
стануть однаковими, тобто еліпс перетвориться на коло, а тіло − на штучний супутник Землі.
Значення швидкості υ0 , при якій це відбудеться, |
можна знайти з рівняння руху тіла |
|||
mr = −G |
mM З |
r |
, |
(7.43) |
r2 |
r |
|||
8Апогеєм називається найбільш віддалена від центра Землі точка орбіти. Найближча до центру Землі точка орбіти називається перигеєм.
278
рухається по замкненій орбіті навколо позитивно зарядженого ядра. Модель Бора-Зоммерфельда дозволила
пояснити існування станів атомів з майже однаковою повною енергією E , але з різною величиною моменту
імпульсу L , тим, що рух електрона відбувається не по коловим, а по еліптичним орбітам з однаковою великою піввіссю, але різним ексцентриситетом.
Знайдемо період руху частинки по еліптичній орбіті. Скористаємося формулою (7.20), що виражає другий закон Кеплера, справедливою для будь-якого центрального поля, і запишемо її у вигляді
dσ = |
L |
dt . |
(7.53) |
|
2m |
||||
|
|
|
і проінтегруємо ліву і праву частину у межах, що відповідають одному обороту по орбіті.
Оскільки за один період T фокальний радіус «замітає» всю площу еліпса S , то
S |
|
|
|
|
|
L |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ d σ |
= |
|
|
∫ dt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.54) |
||||||||||||||
2 m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
звідки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
S = |
L |
|
T . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.55) |
|||||||
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Після підстановки в (7.55) |
площі еліпса S = πab та виразу для b |
з (7.52) отримаємо вираз для |
||||||||||||||||||||||||||||
періоду T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2mπa |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
T = 2mπab |
= |
|
|
2m E = |
2mπa . |
(7.56) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
||||||||||
Піднесемо останню рівність до квадрату і виконаємо перетворення в її правій частині |
||||||||||||||||||||||||||||||
T 2 = |
2mπ 2 a2 |
= |
4mπ 2 a2 |
|
|
α |
|
|
= |
4π |
2 ma3 |
, |
(7.57) |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
2 |
|
α |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
звідки випливає третій закон Кеплера для еліптичних орбіт |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
T 2 |
= |
|
4π 2 m |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.58) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
a3 |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
279
7.3.1. Задача двох тіл
Під задачею двох тіл звичайно розуміють задачу про рух замкненої системи двох частинок, що взаємодіють між собою.
Розглянемо рух двох частинок з масами m1 та m2 , між якими має місце центральна взаємодія,
величина якої залежить лише від відстані між частинками.
Відомо, що замкнена система частинок як ціле рухається прямолінійно і рівномірно,
тобтоVC = const . Тому ми розглянемо лише внутрішній рух системи частинок , тобто її рух в с.ц.м.
Рівняння руху частинок в с.ц.м. є
m1r1 = F12 |
та |
|
m2 r2 |
= F21 , |
(7.59) |
||
де радіус-вектори визначають положення частинок відносно центра мас. |
|
||||||
Віднімаючи від першого рівняння друге одержимо |
|
||||||
m1r1 − m2r2 |
= F12 − F21 . |
|
|
(7.60) |
|||
і з врахування третього закону Ньютона F21 = − F12 , отримаємо |
|
||||||
m1r1 − m2r2 |
= 2F12 |
|
|
|
(7.61) |
||
Радіус-вектори частинок можуть бути подані як |
|
||||||
r = |
m2 |
r |
та r = − m1 |
r , |
|
(7.62) |
|
|
|
||||||
1 |
M |
2 |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де M = m1 + m2 , а r = r1 − r2 |
− вектор, початок якого співпадає з частинкою 2, |
а кінець − з |
|||||
частинкою 1.
Після підстановки виразів (7.60) у (7.59) отримаємо
m |
m2 |
r + m |
m1 |
r = 2F , |
(7.63) |
||
|
|
||||||
1 |
M |
2 |
M |
12 |
|
||
або |
|
|
|
|
|
|
|
r = F12 , |
|
|
|
(7.64) |
|||
де введено так звану зведену масу |
|
||||||
= |
m1m2 |
|
. |
|
(7.65) |
||
m + m |
2 |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|||
280
Таким чином, задачу про рух двох частинок, що взаємодіють, зведено до задачі про рух однієї допоміжної уявної частинки зі зведеною масою під дією сили, яка прикладена до першої частинки
з боку другої9. Після знаходження закону руху уявної допоміжної частинки, тобто радіус-вектора r (t) з рівняння (7.62) можна за допомогою формул (7.60) знайти закон руху кожної реальної
частинки.
За відсутності дисипативних до задачі двох тіл сил можна застосувати і закони збереження. У
замкненій системі частинок зберігаються повна механічна енергія та момент імпульсу, які для двох частинок мають вигляд
|
m υ 2 |
m υ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
E = |
1 1 |
+ |
2 2 |
+U (r) та L = m [r ×υ ] + m |
[r ×υ ]. |
(7.66) |
||||
|
|
|||||||||
|
2 |
|
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Після підстановки у вирази для енергії і моменту імпульсу виразів для радіус-векторів частинок з формул (7.60) можна дістати
E = |
µr |
2 |
+U (r) та |
L = µ[r × r ] . |
(7.67) |
|
2 |
|
|
|
|
Отже, знову рух двох частинок зведено до руху однієї уявної допоміжної частинки з масою
з тією ж потенціальною енергію U (r) , яку має перша частинка в полі другої.
Таким чином, для знаходження законів руху (траєкторій) реальних частинок з масами m1 та
m2 достатньо будь-яким способом знайти і закон руху (траєкторію) уявної частинки зі зведеною
масою . Якщо йдеться про центральну взаємодію взагалі, то можна скористатися, наприклад,
отриманими вище результатами для руху частинки в полі центральної сили.
Продемонструємо застосування розглянутого вище підходу до задачі про рух частинок, що взаємодіють із силою обернено пропорційною квадрату відстані між ними, обмежившись замкненими
(еліптичними) траєкторіями.
Уявна частинка з масою рухається по еліптичній траєкторії, рівняння якої має вигляд (7.41)
з полярним параметром p і з ексцентриситетом e , що визначаються, відповідно, формулами
9 Формально можна вважати, що ця допоміжна частинка з масою рухається під дією сили, що прикладена з боку частики 2 до частинки 1, яка тепер є центром силового поля. Треба чітко усвідомлювати, що а ні зведена маса ,
яка є просто зручним позначенням, а ні сама уявна допоміжна частинка, не мають ніякого глибокого фізичного змісту.