Mech-Slobod

281

На Рис. 7.9 подано приклади руху по замкненим еліптичним орбітам двох частинок з масами

m1 та m2 для різних співвідношень цих мас.

У першому прикладі маси частинок різні, але одного порядку, m2 = 3m1 . Уявна допоміжна

частинка зі зведеною масою рухається по великому еліпсу (штрихова лінія) навколо силового

центру. Її радіус-вектор r . Реальні частинки рухаються по еліпсам, один із фокусів кожного з яких лежить у центрі мас, причому в процесі руху частинки перебувають на протилежних кінцях відрізку,

що проходить через центр мас, на відстанях від нього, обернено пропорційним їх масам. Усі еліпси подібні: вони мають однаковий ексцентриситет. Довжина відповідних півосей траєкторій реальних частинок обернено пропорційна їх масам.

У другому прикладі m2 >> m1 . Легка частинка рухається практично по тій же траєкторії, що й

допоміжна частинка зі зведеною масою . Еліпс, по якому рухається масивна частинка настільки

малий, що можна вважати цю частинку нерухомою і такою, що знаходиться в центрі поля. Цей приклад може бути ілюстрацією до руху будь-якої планети навколо Сонця. Навіть маса Юпітера,

наймасивнішої планети Сонячної системи на три порядки менша за масу Сонця. Тому центр мас системи Юпітер-Сонце лежить хоча і не в центрі Сонця, але всередині його об’єму.

Для багатьох задач можна вважати, що планети обертаються навколо нерухомого Сонця, але якщо йдеться про точні розрахунки їх орбіт, то необхідно враховувати як рух Сонця, так і збурення їх траєкторії з боку інших планет.

282

m1

r1

F'1 F≡F1≡F2

m2

m2 =3m1

негативно заряджений електрон рухається навколо позитивно зарядженого протона, що має масу в 1826 раз більшу за масу електрона.

Нарешті, в останньому прикладі на Рис. 7.9 дві частинки однакової маси m2 = m1 рухаються

по орбітам близьким до колових навколо спільного центра мас. Така ситуація має місце в так званому атомі позітронія, роль ядра в якому формально за аналогією з протоном в атомі водню відіграє позитивно заряджений позітрон, маса якого дорівнює масі електрона, а також у системах фізичних подвійних зірок приблизно однакової маси.

283

Контрольні запитання та вправи.

Розділ 8

КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Серед різноманітних форм механічного руху особливе місце займає коливний рух, який характеризується регулярною повторюваністю (періодичністю) механічного стану частинки або системи частинок, причому напрямки швидкостей частинок протягом періоду коливань двічі змінюються на протилежний. Спорідненим до коливального руху є хвильовий рух, який можна розглядати як процес розповсюдження коливань в просторі.

Важливість вивчення коливань і хвиль зумовлена тим, що ці форми руху властиві як речовині так і полю, а тому є універсальними і відіграють виняткове значення у фізиці. Поряд з механічними коливаннями, такими як коливання різного роду маятників, деталей машин та конструкцій (вібрації), та пружними хвилями в різних середовищах, такими як звукові хвилі,

сейсмічні хвилі, хвилі на поверхні рідини тощо, відомі коливання заряду, струму та напруги в електричних колах і пов’язані з ними коливання векторів електричного та магнітного полів,

електромагнітні хвилі (радіохвилі, світло, рентгенівське та гамма-випромінення), плазмові хвилі,

хвилі де Бройля властиві мікрочастинкам, гравітаційні хвилі, існування яких передбачає теорія та інші. Існує ряд загальних властивостей і рис притаманних усім коливним і хвильовим рухам,

незалежно від фізичної природи об’єктів, які беруть участь у цих рухах. У цьому розділі загальні властивості коливних і хвильових рухів розглядаються на прикладах механічних коливань і хвиль.

8.1. Механічні коливання

У попередніх розділах нами було розглянуто низку прикладів коливного руху частинки,

зокрема, коливання тіла маси m під дією пружини з коефіцієнтом жорсткості k , коливний рух математичного маятника в полі сили тяжіння (3.6), коливання частинки поблизу мінімуму потенціальної енергії (5.5.1) тощо.

В усіх цих прикладах коливання починались після виведення коливної системи тим чи іншим способом з положення рівноваги (наданням початкового відхилення або поштовху або і відхилення і поштовху разом). Після цього система надавалась сама собі і не зазнавала ніяких подальших зовнішніх втручань.

285

Коливання, які відбуваються після виведення коливної системи з положення рівноваги вільно (без зовнішніх втручань) називаються вільними або власними коливаннями.

8.1. 1. Вільні коливання за відсутності дисипативних сил

У попередніх розділах ми розглядали лише вільні коливання під дією консервативної сили,

за відсутності сторонніх, зокрема, дисипативних сил. Було з’ясовано, що у випадку, коли сила прикладена до частинки пропорційна величині зміщення частинки з положення рівноваги, то це зміщення залежить від часу за гармонійним законом. При цьому потенціальна енергія коливної системи, або, як часто кажуть, осцилятора, квадратично залежить від величини зміщення.

Було також встановлено, що коли коливальна система має мінімум потенціальної енергії

U(x) , то завжди можна обмежитись настільки малими відхиленнями x від положення рівноваги при x = 0 , щоб у розвиненні функції U(x) у степеневий ряд за степенями x можна було

знехтувати доданками степеня вище другого, тобто подати потенціальну енергію як U (x) = kx2 2 .

При цьому сила, що прикладена до частинки є лінійною за зміщенням, F = −kx , і спрямована до положення рівноваги.

В усіх розглянутих нами випадках малих коливань під дією консервативної сили рівняння руху може бути зведено до рівняння подібного до рівняння (3.37) для коливального руху бруска по гладенькій горизонтальній площині під дією квазіпружної сили з боку пружини, а саме

Таким чином, повна механічна енергія осцилятора є прямо пропорційна квадрату амплітуди,

а при незмінній амплітуді також прямо пропорційна квадрату частоти.

286

Зауважимо, що хоча миттєві значення потенціальної та кінетичної енергії осцилятора у

загальному випадку різні, їх середні значення за період однакові й дорівнюють E / 2 .

У випадку руху бруска змінна x є декартовою координатою зміщення (відхилення) бруска

від положення рівноваги. Але, наприклад, у випадку математичного маятника, відхилення

підвішеного тіла від положення рівноваги можна характеризувати як координатою зміщення x ,

так і іншими змінними, наприклад, кутом θ відхилення підвісу від вертикалі, довжиною дуги

траєкторії s підвішеного тіла, відліченою від положення рівноваги тощо. Відповідно рівняння

малих коливань математичного маятника, які можна отримати з його рівняння руху у формі

де під q треба розуміти будь яку змінну, що характеризує механічний стан коливної

системи. Рівняння коливань (8.2) застосовне не лише до осциляторів, що здійснюють поступальний рух, наприклад, до руху бруска по горизонтальній площині під дією пружини,

коливань частинки поблизу мінімуму потенціальної енергії, коливань математичного маятника,

але й до тих, що здійснюють обертовий рух, наприклад, до крутильного маятника, фізичного маятника, перекочування циліндра по внутрішній поверхні більшого циліндра тощо. Ясно, що для кожного осцилятора фізичний зміст узагальненої координати q буде різний: зокрема, механічний

стан осциляторів, які здійснюють обертовий рух, наприклад, крутильного маятника, зручніше описувати кутом повороту ϕ . Для будь-якого виду руху (поступального чи обертового) тіла, що

здійснює малі коливання поблизу положення рівноваги під дією лише консервативних сил рівняння руху узагальнено можна подати як

якщо воно здійснює коливний рух поступально, або момент інерції I тіла відносно осі обертання,

якщо воно здійснює коливний рух при обертанні, а k − коефіцієнт пропорційності, відповідно, у

формулі сили або у формулі моменту сили, що пропорційні відхиленню тіла від положення рівноваги. Рівняння руху (8.3) може бути приведене до вигляду (8.2), в якому

тобто модуль максимального відхилення; аргумент ω0t + ϕ називають фазою коливань, яка при

t = 0 приймає значення ϕ , яке називають початковою фазою, а ω0 − циклічна частота власних

коливань осцилятора.

Повна механічна енергія E осцилятора може бути подана у вигляді

Таким чином, частоту власних вільних коливань осцилятора ω0 можна визначити за формулою (8.4) або з рівняння динаміки його руху у формі (8.3) або з виразу для його повної енергії E у формі (8.6).

За відсутності сторонніх, зокрема, дисипативних сил повна механічна енергія E осцилятора зберігається.

8.1.2. Згасання вільних коливань

Зрозуміло, що наявність дисипативних сил призводить до зменшення повної механічної енергії осцилятора, а, отже, відповідно до (8.1), і до зменшення амплітуди коливань або, як часто кажуть, до їх згасання.

Практично важливим випадком є коливання при наявності дисипативної сили, величина якої пропорційна швидкості, FG = −αυG. Така формула справедлива, наприклад, для сили опору

повітря, що призводить до згасання вільних коливань гравітаційного маятника, для сили рідинного тертя в усіх коливальних системах, де для зменшення тертя між поверхнями, що рухаються одна відносно одної в процесі коливань, використовують змащування, та в інших випадках, коли опір спричинюється рухом відносно газу або рідини. Для наочності повернемось до розглянутого в параграфі 3.6 руху бруска під дією пружної сили. Гладенька поверхня, рух по якій відбувається

288

без тертя, про яку йшлося у параграфі 3.6 є ідеалізацією. На практиці для зменшення тертя між бруском і горизонтальною поверхнею можна використати мастило, замінивши, таким чином, сухе тертя на рідинне. Отже, тепер до правої частини рівняння руху бруска (3.34) необхідно силу

рівняння коливань при наявності тертя або рівняння коливань, що згасають. Відповідно до загальної методики розв’язування таких рівнянь будемо шукати його загальний розв’язок у вигляді

λ2 Aeλt + 2βλAeλt + ω02 Aeλt = 0 ,

яке можна переписати у вигляді

Aeλt (λ2 + 2βλ + ω02 ) = 0 .

Тривіальним розв’язком цього рівняння є A = 0 , що відповідає нульовому зміщенню, яке не залежить від часу. Нас же цікавлять розв’язки, які відповідають ненульовим зміщенням x , тобто

A ≠ 0 . У цьому випадку вираз у дужках має бути рівний нулю, звідки випливає так зване

характеристичне рівняння для визначення λ :

то для одержання загального повного розв’язку лінійного диференційного рівняння (8.9)

треба взяти суму розв’язків, що відповідають обом кореням характеристичного рівняння,

z = a2 + b2 , а ϕ = arctg(b / a) . Комплексно спряжене до нього число є z = a − ib або z = z e−iϕ .

290

З умови дійсності розв’язку (8.14) випливає рівність

A1e+iωβ t + A2e−iωβ t = A1 e−iωβ t + A2 e+iωβ t ,

яка може виконуватись для довільних ωβ і t тоді, і лише, тоді, коли коефіцієнти при однакових

званий час згасання або час релаксації τ = 1 β , протягом якого амплітуда коливань зменшується в

e−1 разів. Тоді формулу залежності амплітуди від часу можна подати у вигляді