Mech-Slobod

251

6.7.1 Гіроскопічні сили

Коли в деякій ІСВ ми спостерігаємо прискорений, зокрема, криволінійний рух частинки, ми робимо висновок, про те, що на таку частинку діє якась сила, яка спричинює це прискорення і напрям якої відповідно до другого закону Ньютона співпадає з напрямом спостережуваного прискорення (варто згадати задачу про автомобіль, що починає прискорено рухатись по горизонтальній поверхні). Аналогічно, у випадку повороту осі обертання гіроскопа в якомусь напрямку, ми робимо висновок про те, що на такий гіроскоп діють сили, момент яких співпадає з напрямом повороту осі гіроскопа, а більш точно, з напрямом повороту його вектора моменту

імпульсу L , як то випливає з рівняння моментів (6.2) .

Розглянемо поворот осі гіроскопа, схематично зображеного на Рис.6.22. Вісь обертання ротора гіроскопа AA′ лежить у горизонтальній площині і може обертатися навколо нерухомої вертикальної осі OO′ при повороті рамки-паралелограма. Цю рамку можна повернути навколо вертикальної осі

OO′ приклавши до неї силу F зовн в горизонтальній площині. Разом із рамкою навколо вертикальної осі OO′ повертається вісь гіроскопа AA′ , а разом з нею, залишаючись у горизонтальній площині, й

вектор моменту імпульсу гіроскопа LG = IωG. При цьому за елементарний проміжок часу dt виникає

252

приріст вектора моменту імпульсу гіроскопа dL , який відповідно до рівняння моментів (6.2)

може бути подано у вигляді dLG = MGdt , де M − відповідний момент пари сил F , прикладених до осі гіроскопа AA′ , M = 2[l × F], де lG− радіус-вектор з початком в центрі мас ротора, кінець якого вказує точку прикладення до осі гіроскопа сили F з боку рамки. Таким чином, горизонтальний приріст вектора моменту імпульсу гіроскопа dL може виникнути лише за рахунок співнапрямленого з ним моменту сил M , що також лежить у горизонтальній площині. Цей момент сил M може виникнути, в свою чергу, лише за рахунок пари сил F , прикладених до осі гіроскопа AA′ у

вертикальному напрямку з боку рамки (на Рис. 6.22 M вектори M та F показані синім кольором).

Відповідно до третього закону Ньютона до рамки з боку осі гіроскопа прикладені сили реакції F′ ,

які створюють момент M ′ відносно центру мас ротора, M ′ = 2[l × F′] . Цей момент направлено протилежно моменту MG , тобто M ′ = −M . Легко бачити, що момент сил M спричинив би поворот

осі ротора AA′ у вертикальній площині, але цього не відбувається завдяки наявності моменту

MG ′ сил FG′ . Ці сили FG′ , що прикладені до осі гіроскопа з боку рамки і які виникають при спробі змінити напрям осі обертання гіроскопа, називають гіроскопічними силами, а їх момент −

гіроскопічним моментом (на Рис. 6.22 M вектори M та F показані зеленим кольором).

Зауважимо, що у розглянутому прикладі гіроскоп не виявляє здатності протидіяти зміні напряму його осі обертання.

Виникнення гіроскопічних сил при спробі змінити напрям осі обертання гіроскопа називають гіроскопічним ефектом. Гіроскопічний ефект має місце при поворотах різних машин і механізмів, що містять частини, які швидко обертаються: вали двигунів, трансмісій, ротори електродвигунів, турбін тощо. Найбільше він виявляється у транспортних засобах, які можуть мати значну кутову швидкість при поворотах: підшипники валу турбіни на кораблі або газової турбіни і компресора в турбореактивному двигуні літака зазнають значних навантажень при маневрах.

Гіроскопічні сили і гіроскопічний момент легко відчути безпосередньо, якщо тримаючи в руках вісь тіла, що швидко обертається, наприклад, велосипедне колесо в описаних у Розділі 5

253

дослідах з лавою Жуковського, спробувати змінити напрям осі обертання: вісь тіла буде буквально вириватися з рук у напрямку перпендикулярному до бажаного напрямку повороту. Для того щоб утримати вісь в руках і здійснити свій намір, необхідно прикласти до неї значне зусилля, причому тим більше, чим більша швидкість, з якою здійснюється поворот. Неготовність до повороту в неочікуваному «перпендикулярному» напрямі осі обертання ручного інструменту типу

«болгарки», ручних шліфувальних машин, дрилів тощо може спричинити тяжкі травми.

Розглянемо дію гіроскопічного моменту на гіроскоп, вісь обертання якого AA′ має можливість обертатися навколо горизонтальної осі OO′ разом з рамкою-паралелограмом, яка в свою чергу має можливість обертатися навколо вертикальної осі разом з U-подібною підставкою

(Рис. 6.23).

Рис. 6.23.

Почнемо обертати підставку з кутовою швидкістю ω′ навколо вертикальної осі. При

цьому, як і в попередньому випадку, за елементарний проміжок часу dt виникне приріст вектора

моменту імпульсу гіроскопа dL1 , що лежить у горизонтальній площині й направлений за площину

254

рисунка. Як і в попередньому випадку, такий приріст через рівняння моментів пов’язаний з моментом сил MG1 , співнапрямленим з вектором dL1 , і зумовленим дією на вісь гіроскопа AA′

пари сил FG з боку рамки-паралелограма. За третім законом Ньютона з боку осі гіроскопа на

показаний на рисунку), під дією якого, на відміну від попереднього випадку, рамка почне

повертатись навколо горизонтальної осі OO′ , а разом з нею й вісь гіроскопа AA′ , внаслідок чого

вектор L набуде елементарного приросту dL2 спрямованого вгору. Виникнення цього приросту dL2 завдячує існуванню відповідного моменту сил M 2 , також направленого вгору, що виникає внаслідок дії сил прикладених до осі гіроскопа AA′ з боку рамки-паралелограма (не показані на рисунку). У результаті вектор L , а разом з ним і вісь гіроскопа OO′ будуть наближатися до напряму вектора ωG′ , тобто до напряму вектора кутової швидкості обертання підставки. Необхідно підкреслити, що хоча ми розглянули ланцюжок послідовних процесів, кожен з яких є наслідком попереднього, починаючи з обертання підставки навколо вертикальної осі й закінчуючи

навколо горизонтальної осі OO′ , а друга, на відміну від попереднього випадку, протидіє повороту навколо вертикальної осі всієї системи разом з U-подібною підставкою.

Гіроскопічний ефект лежить в основі дії різноманітних пристроїв, в яких використовують гіроскопи, серед яких гірокомпаси, гіростабілізовані платформи на кораблях, ракетах, космічних об’єктах, гіроскопічні стабілізатори напрямків прицілювання та зображень у фотоапаратах,

гіроскопічні заспокоювачі качки на морських суднах тощо.

255

Дія гірокомпаса, запропонованого Фуко, ґрунтується на щойно розглянутій властивості осі двостепеневого гіроскопа при обертанні U-подібної підставки займати положення колінеарне до осі обертання підставки. Якщо такою підставкою є поверхня Землі, то вісь такого гіроскопа буде встановлюватись в одній площині з віссю обертання Землі, тобто в площині меридіана, що дає можливість визначати напрям на географічний, а не магнітний полюс Землі.

Дія гіростабілізаторів здебільше ґрунтується на властивості тристепеневого гіроскопа зберігати незмінним напрям своєї осі обертання. При цьому можуть використовуватись як безпосередньо гіроскопічні моменти важкого масивного гіроскопа, як наприклад, у деяких заспокоювачах качки, так і порівняно невеликий гіроскоп як датчик напрямку, гіроскопічні моменти якого використовують для керування силовими пристроями, що забезпечують стабілізацію орієнтації масивної платформи або якогось пристрою в просторі.

Контрольні питання і вправи.

1.Чи є поняттями «результуюча сила» і «рівнодійна сила» тотожними?

2.Від яких величин залежить кутове прискорення тіла?

3.Чи може напрям вектора кутової швидкості тіла, що обертається, не співпадати з напрямом вектора моменту імпульсу?

4.Домогосподарки відрізняють варене яйце від сирого раптово надаючи яйцю, що лежить на горизонтальній поверхні, обертання навколо вертикальної осі. При цьому варене яйце обертається тривалий час, а обертання сирого яйця припиняється через кілька обертів.

Поясніть, на чому ґрунтується цей метод. Запропонуйте контрольні експерименти для

перевірки наданого пояснення.

5.Чому про змушену прецесію гіроскопа (дзиґи) говорять, що вона безінерційна? Які експерименти, що доводять це твердження, можна запропонувати?

6.У демонстраційному досліді використовується важка котушка з намотаним на неї дротом,

що лежить на шорсткій поверхні лабораторного столу. Маса котушки разом з дротом m , її

стола, причому напрям її руху залежить від кута α між напрямом натягнутої ділянки дроту і

256

поверхнею стола. Описати можливі рухи котушки залежно від кута α і вказати напрям сили зчеплення з поверхнею стола при цих рухах. Чи можна в цьому досліді визначити коефіцієнт тертя ковзання k між котушкою та поверхнею стола?

Розділ 7

ЗАКОН ВСЕСВІТНЬОГО ТЯЖІННЯ

7.1. Закони Кеплера та закон всесвітнього тяжіння

Закон всесвітнього тяжіння був уперше сформульований Ісаком Ньютоном у 1687 році в роботі

"Математичні принципи натуральної філософії". Сучасне формулювання цього закону звучить так:

Дві матеріальні точки притягують одна одну вздовж прямої, що їх з’єднує, з силою,

величина якої є прямо пропорційна добутку їх мас і обернено пропорційна квадрату відстані між ними,

1.Усі планети рухаються по еліпсам, в одному з фокусів яких знаходиться Сонце (Рис. 7.2).

1Цьому факту завдячує саме слово планета: про небесне світило, що безладно рухається по небосхилу греки говорили як про αστρον πλαυηετης − зірку, що блукає.

258

2.Радіус-вектор, що з'єднує Сонце з планетою, за однакові проміжки часу замітає однакові площі (Рис. 7.3).

3.Відношення кубу довжини великої півосі a еліптичні орбіти планети до періоду її обертання T навколо Сонця є величина постійна для всіх планет,

r

Рис. 7.2 Рис. 7.3

Покажемо як можна із законів динаміки Ньютона та законів Кеплера отримати формулу (7.1).

Оскільки ексцентриситет для більшості планет Сонячної системи (за винятком Плутона та Меркурія)

незначний, будемо вважати їх орбіти коловими. При рівномірному русі по колу прискорення планети

Відповідно до другого закону динаміки Ньютона таке прискорення планети виникає внаслідок того, що до неї прикладенаа сила, яка дорівнює добутку її маси m на це прискорення

259

Таким чином, на підставі другого закону Ньютона і третього закону Кеплера можна зробити надзвичайно важливий висновок, що сила, яка прикладена до планети з боку Сонця, є обернено пропорційною квадрату відстані від планети до Сонця. Варто зазначити, що такого кількісного висновку не можна дійти на підставі якихось загальних міркувань: не досить самих законів Кеплера − необхідно використати і другий закон динаміки2. Припускаючи, що всі тіла мають масу, і

спираючись на третій закон Ньютона, можна припустити, що сила притягання між планетою і Сонцем є взаємною, і величина її пропорційна не лише масі планети, рух якої розглядається, а й масі

Сонця MC , яка буде однаковою при розгляді руху будь-якої планети навколо Сонця3. Тоді рівняння

(7.5) можна переписати у вигляді

який є векторною формою запису закону (7.1).

Цю формулу отримано для руху небесних тіл. Але з давніх давен відоме явище вільного падіння всіх без винятку тіл на поверхню Землі по нормалі до її поверхні. Ґалілей експериментально показав, що при усуненні опору повітря4 всі тіла незалежно від їх складу, форми та інших

властивостей падають по вертикалі з прискоренням g = 9,81 м/ c2 . З точки зору другого закону Ньютона це прискорення зумовлено силою притягання з боку Землі. Відповідно до третього закону Ньютона тіло з такою ж силою притягує Землю.

2До Ньютона висувалися гіпотези щодо зростання сили тяжіння між небесними тілами при зменшенні відстані між ними, зокрема Кеплер припускав, що ця сила обернено пропорційна просто відстані від планети до Сонця. Сам Ньютон відзначав, що до правильної залежності сили тяжіння від відстані деякі вчені прийшли раніше.

3Сталі Кеплера для систем супутників планет Марса, Юпітера, Сатурна відрізняються від сталої Кеплера для Сонця і

пропорційні масам відповідних планет.

4Ґалілей використовував трубку, з якої було викачане повітря: всередині такої трубки, розміщеної вертикально, різні тіла,

зокрема, важка свинцева кулька і легенька пір’їнка долали відстань від верхнього до нижнього кінця трубки за один і той же час − надані самі собі біля верхнього кінця трубки вони надалі рухалися разом.