Mech-Slobod

342

Рис. 8.22. Хвильовий пакет.

ω1 =υ ô k1 , ω2 =υ ô k2 , ω3 =υ ô k3 ..., то групова швидкість

υãð співпадає з фазовою швидкістю υ ô гармонійних складових і його форма (форма обвідної) не

змінюється в процесі розповсюдження. Рівність фазових швидкостей означає лінійний зв’язок між

ω і k для хвиль різних частот (довжин хвиль), що можуть розповсюджуватись в середовищі.

Виявляється, що це можливо лише в ідеалізованій моделі суцільного (неперервного) середовища.

В дійсності речовина має дискретну атомно-молекулярну структуру. Тому лінійний зв’язок між ω

і k має місце лише для малих частот і малих хвильових чисел, тобто в так званому

довгохвильовому наближенні, коли довжина хвилі набагато більша за характерний параметр дискретності речовини, а поза межами цього наближення стає нелінійним (Рис. 8.24). Наприклад,

для кристалів довжина пружної хвилі має бути

здійснені в рамках довгохвильового наближення і тому розраховані швидкості поширення не залежать від довжини хвилі14. Теоретичне і експериментальне дослідження впливу дискретного характеру середовища на швидкість поширення хвиль на моделі однакових точкових мас

14 Виняток становлять гази, де при окремому розгляді випадків ізотермічного (дуже низькі частоти – дуже довгі хвилі)

і адіабатичного (більш високі частоти) процесів поширення пружної хвилі, знайдено різні швидкості, υ³ç ≠ υàä .

344

групова швидкість перевищує фазову швидкість і швидко зростає зі збільшенням k , що призводить до настільки сильного спотворення імпульсу, що саме поняття групової швидкості втрачає сенс. Аномальна дисперсія спостерігається при поширенні світла в поглинаючих середовищах і відіграє значну роль в оптиці.

8.2.4. Енергія, що переноситься пружними хвилями

Пружні хвилі, зокрема звукові хвилі, переносять енергію. У демонстраційному досліді з двома камертонами, налаштованими на одну й ту саму частоту, удар по одному з камертонів викликає звучання іншого. При цьому частина енергії наданої першому камертону,

перетворюється в енергію звукових хвиль у вигляді ділянок підвищеного і зниженого тиску, які розповсюджуються в повітрі і досягають другого камертона, викликаючи його змушені коливання.

Аналогічно переносять енергію пружні хвилі, що розповсюджуються у твердих тілах. Енергія, що переноситься пружними хвилями може бути дуже значною, про що свідчать різноманітні технічні застосування ультразвуку, наприклад, для зварювання металів.

Середовище (тіло), в якому поширюється пружна хвиля, має додаткову (порівняно з незбуреним середовищем) внутрішню енергію, яка поширюється в напрямку поширення хвилі. Це додаткове збільшення внутрішньої енергії відбувається за рахунок додатної роботи зовнішніх сил,

прикладених до частинок середовища в деякій його ділянці, яка править за джерело хвиль.

Найчастіше збудження пружних хвиль здійснюється на границі середовища але за певних умов їх можна збудити в будь-якій ділянці середовища.

Підкреслимо, що перенесення енергії хвилею не супроводжується перенесенням частинок речовини, як це має місце при перенесенні енергії потоком частинок, потоком рідини чи газу: при розповсюдженні хвилі частинки середовища лише здійснюють коливання поблизу положень рівноваги, а перенесення енергії в просторі відбувається шляхом її передачі сусіднім частинкам завдяки наявності взаємодії з ними.

Кількість енергії, що переноситься через деяку поверхню за одиницю часу називають

потоком енергії через цю поверхню. Середнє за часом значення потоку енергії через деяку

поверхню є

модуль якого дорівнює густині потоку енергії, а напрям вказує напрям поширення енергії. За його допомогою зручно розраховувати потік енергії через поверхню. Елементарну ділянку поверхні

Щоб скористатися формулою (8.164) необхідно знати об’ємну густину енергії хвилі w . Для її знаходження обчислимо повну механічну енергію dE деякого фізично малого об’єму твердого тіла dV , що бере участь у коливальному русі при розповсюдженні пружної хвилі. Під фізично малим об’ємом ми будемо розуміти об’єм малий порівняно з довжиною хвилі, але такий, розміри якого настільки перевищують відстані між атомами чи молекулами середовища, що його можна вважати суцільним. За відсутності пружної хвилі будь який фізично малий об’єм твердого тіла як ціле знаходиться в стані рівноваги. Це означає, що сума сил і моментів сил прикладених до деякого виділеного об’єму дорівнює нулю. Кінетична енергія dT руху такого об’єму як цілого дорівнює нулю, а його потенціальну енергію в незбуреному тілі можна прийняти за нуль. При проходженні пружної хвилі частинки малі об’єми середовища здійснюють коливний рух поблизу положень рівноваги. Зміна положень атомів (молекул) при деформації тіла призводить до виникнення в тілі внутрішніх сил (внутрішніх механічних напруг), що намагаються повернути тіло до положення рівноваги. Такі сили будуть прикладені і до фізично малого об’єм твердого тіла

незалежно Пойнтінгом і Хевісайдом і за ним в англомовній літературі закріпилася назва вектор Пойнтінга.

347

dV , причому можна вважати, що ці сили прикладені до поверхні цього об’єму, оскільки ефективно взаємодіють між собою лише сусідні атоми або молекули.

Кінетична енергія зазначеного об’єму є

а відповідна об’ємна густина кінетичної енергії хвилі

деформації цього об’єму. Для визначеності розглянемо деформацію розтягу при поширенні повздовжньої пружної хвилі у твердому тілі. Обчислимо роботу по розтягу елементу об’єму тіла,

який до початку деформації мав форму циліндра з площею основи S і висотою ∆z . При

проходженні повздовжньої хвилі в додатному напрямку осі Oz зміщення лівої і правої основ цього циліндра будуть різними. Нехай в деякий момент часу зміщення лівої основи від її рівноважного положення становить ζ , а правої – ζ + ∆ζ , причому ζ , ∆ζ > 0 . Це означає, що

Відносне видовження цього циліндру становить величину ε = ∆ζ / ∆z . Елементарна робота по збільшенню довжини цього об’єму від ∆z до ∆z + ∆ζ під дією прикладеної до границі об’єму в напрямку ζ сили F (Рис. 8.21) становить

пружних деформацій механічна напруга σ пропорційна відносному видовженню: σ = εE , де E –

модуль Юнга. Отже,

Ця робота дорівнює потенціальній енергії пружної деформації розглядуваного елементу тіла, U = 12 Eε 2V , де V = S∆z є об’єм цього елементу. Отже об’ємна густина потенціальної енергії пружної деформації є

349

Таким чином, об’ємна густина повної механічної енергії середовища, в якому

Перенесення енергії плоскою гармонійною хвилею. Розглянемо перенесення енергії плоскою гармонійною хвилею. Об’ємна густина повної механічної енергії гармонійної хвилі виду(8.110) є

де було використано вираз для коливної швидкості ∂ζ / ∂t = −ωasin(ωt − kz + α ) , а також

швидкістю поширення пружної хвилі υ , але з вдвічі меншими просторовими і часовими

350

середня за часом об’ємна густина повної механічної енергії середовища, в якому

розповсюджується пружна хвиля з амплітудою a і частотою ω , є

оскільки середнє значення за період косинуса в квадратних дужках у формулі (8. 179) дорівнює нулю. Для опису переносу енергії хвилею зручніше використовувати усереднене за часом (середнє за період T = 2π /ω ) значення густини потоку енергії J , яке іноді називають інтенсивністю

біжучої хвилі I :

Інтенсивність біжучої хвилі I , як і енергія біжучої хвилі, пропорційна квадрату її амплітуди і квадрату частоти. Якщо в середовищі, де розповсюджується хвиля, відсутня дисипація енергії, то інтенсивність плоскої хвилі, а разом з нею й амплітуда, залишаються незмінними. Якщо ж,

хвильовий фронт неплоский, то навіть при відсутності дисипації енергії амплітуда хвилі буде змінюватись.

Перенесення енергії сферичною хвилею. Розглянемо ізотропне однорідне середовище,

всередині якого відбувається збурення, наприклад шляхом періодичного створення стиснення і розрідження поблизу деякої сферичної поверхні. Таке збурення можна створити періодично змінюючи тиск всередині еластичної сферичної оболонки19. Хвильовий фронт збуреної таким чином хвилі поблизу поверхні сферичної оболонки буде мати форму сфери з центром у центрі

18Цей вектор був уведений Умовим в 1874 р. для пружних хвиль і в російськомовних джерелах його називають вектором Умова. Пізніше подібний вектор для електромагнітних хвиль був введений незалежно Пойнтінгом і Хевісайдом і за ним закріпилася назва вектор Пойнтінга .

19Прикладом такої оболонки може бути святкова гумова кулька сферичної форми наповнена повітрям або іншим газом.