Sysoev_TeorosnovyTMSlekc

Для табулирования получено уравнение:

По этому уравнению в приложении 1 составлены таблицы Ф(z) при различных значениях безразмерного квантиля распределения (коэффициента) z (dx=σdz). Вся площадь под кривой нормального распределения F=1.

Для практических целей нет необходимости использовать бесконечные пределы: в интервале x= ±0,7σ (z= ±0,7) 50%F, x= ±3σ (99,73%F). Поэтому считают, что все поле рассеивания параметра лежит в интервале ± 3σ при ошибке 0,27% . Тогда все поле рассеивания равно: ωp = 6σ.

6.2. Расчетно - аналитический метод определения

суммарных погрешностей

Последовательность определения суммарной погрешности:

изучение условий изготовления (способ обработки, характеристика станка, режущего и измерительного инструментов, режимов резания, испытаний и т. д.);

выявление перечня факторов, обуславливающих появление первичных погрешностей изготовления;

определение значений первичных погрешностей, вызываемых действием каждого из факторов, внесенных в перечень, используя формулы расчета элементарных погрешностей. В большинстве случаев задача заключается в определении поля погрешностей. Когда величину погрешности установить нельзя, используют нормативные и справочные данные (например, погрешность установки деталей в патроне, в тисках и т. п.);

установление законов распределения для каждой из первичных погрешностей установки, обработки и испытания. Их нельзя просто сложить, так как они найдены для худших условий, но их сочетание в таком виде маловероятно. Поэтому следует учитывать, что:

а) случайные погрешности, подчиняющиеся закону нормального распределения, складываются по правилу квадратичного корня;

б) случайные погрешности, подчиняющиеся другим законам, и закономерно - изменяющиеся погрешности суммируются с учетом закона их распределения;

в) систематические постоянные погрешности складываются алгебраически с учетом их знака, а для генеральной совокупности - арифметически.

Для генеральной совокупности погрешности изготовления определяют по формуле:

Используя формулы 6.1 и 6.2 можно рассчитывать погрешность любого параметра в изготовленной партии изделия либо генеральной совокупности, представляющей технологический процесс по стабильному технологическому процессу.

6.3.Статистический метод определения суммарной погрешности

Воснову метода положены законы теории вероятности и математической статистики [10], например, частота появления события в прошлом при увеличении числа событий приближается к вероятности появления его в будущем. Использование статистического метода позволяет прогнозировать точность изготовления изделий.

При статистическом анализе точности необходимо соблюдение следующих требований:

для анализа следует брать параметры изделий, изготовленных при стабильных условиях;

число деталей в выборке должно быть значительным; измерение параметров должно выполняться инструментом или прибора-

ми, цена деления которых должна быть: 1/6...1/10δ , где δ - допуск на параметр.

Рассмотрим применение статистического метода на следующем приме-

ре.

Условие:

давление за насосом «О» должно быть Р = 20-0,2 МПа. При испытании ТНА получены давления жидкости и занесены в табл. 6.1. Построить практическую и теоретическую кривые распределения.

Таблица 6.1

Результаты измерения давления по линии «О» при проливе, Р, МПа

Решение задачи выполняют в следующей последовательности. 1. Вычисляют практическое поле рассеивания:

wф = Xmax - Xmin ;

wф = X97 - X14 = 0,13 МПа.

2. Распределяют величину R на разряды К при условии: N = 50... 100 из-

быть больше цены деления измерительного инструмента для того, чтобы уменьшить влияние погрешности измерения:

при К = 7, C = 0,13 = 0,0185, С = 0,02 МПа. 7

3. Вычисляют статистический центр группирования по формуле:

где xi - значения представителей разрядов;

ni - частота в разряде (количество деталей).

4. Вычисляют среднеквадратическое отклонение по формуле

5. Для выполнения расчетов заполняют табл. 6.2.

Таблица 6.2

Расчетные данные для построения полигона распределения

Рис. 6.1. Кривые распределения: 1 – практическая, 2 – теоретическая

6. Строят практическую кривую распределения в координатах xi , ni (рис.

6.1).

По результатам построения ломаной кривой можно примерно определить, что самое близкое распределение измеренных параметров изделия - нормальное.

ωр = 6σ; ωр = 0,168 МПа > 0,13 МПа;

ωр > ωф.

7. Строят теоретическую кривую, совместив ее с практической кривой. Для этого используется уравнение:

M H = MЭ CNσ ,

где МН и МЭ - масштабы для кривой нормального распределения и эмпирической кривой;

С - цена разряда принята С = 0,02; N - число деталей в выборке.

MH = 2 × 0,02 ×100 = 143 . 0,028

Воспользовавшись табличными значениями функции

получим табл. 6.3.

Таблица 6.3

Вычисление координат точек для построения кривой нормального распределения

9. Выполняют анализ экспериментальных данных. На рис. 6.2 показано, что кривая распределения смещена относительно центра поля допуска на ω/n:

где xср - середина поля допуска;

х - среднее значение поля размаха;

ω′n - характеризует направление и степень влияния систематических факторов.

Однако при анализе генеральной совокупности нас интересует, как кривая будет вести себя в данном случае, поэтому поле рассеивания параметра определяется зависимостью:

Если, например, ωn = 0,06 МПа,

тогда ω = ωn + ωр = 0,06 + 0,168 = 0,228 МПа,

то есть ω > Т на параметр (0,228 > 0,2). Это значит, что часть параметров изделия в выборке выйдет за пределы допуска.

По форме кривой распределения можно судить о доминирующем закономерно - изменяющемся факторе: двухвершинная кривая при стабильном технологическом процессе указывает на то, что сбилось положение настройки параметра.

По величине ω′n можно судить о качестве настройки параметра при изготовлении изделия.

По соотношению поля рассеивания ωp = 6σ и поля допуска Т можно судить о возможности обеспечение параметра при изготовлении по настройке и допуске на настройку: если ω = ωn + ωp > Т, то возможно появления бракованных изделий.

Следовательно, метод кривых распределения позволяет определить возможный процент годных сборок или деталей.

6.4. Применение статистических методов исследования для оценки точности и настроенности технологических процессов

Заданный уровень качества изделия обеспечивается не только при проектировании конструкции, но и при его изготовлении, ремонте и эксплуатации. В практике после набора статистических данных в случае появления брака по некоторым параметрам технологу приходится разрабатывать мероприятия по обеспечению заданной точности и настроенности технологического процесса. Повышение качества равноценно увеличению объема выпуска, уменьшению затрат труда и материалов.

Рассмотрим решение некоторых часто встречающихся типовых задач при выполнении практических и лабораторных работ.

Задача №1. Требуется определить точность и настроенность процесса обработки, а также возможный процент брака при тонком точении шейки вала

= 0,005 мм. Предположительно рассеивание размеров подчиняется нормальному закону распределения. По результатам расчетов необходимо предложить пути снижения брака на данной операции.

Последовательность решения подобных задач следующая.

1.Вычисляют допуск на диаметр - Т = 0,024 мм.

2.Определяют поле рассеивания размеров:

ω= 6σ,

ω= 6 . 0,005 = 0,030.

3.Рассчитывают коэффициент точности процесса:

ω

kТ = Т ,

0 ,030 =

kТ = 0 ,024 1,25,

следовательно, процесс неточен.

Коэффициент точности процесса не должен превышать единицы. В некоторых случаях принимают, что kТ не должен превышать 0,8, чтобы создать не-

где Dcр – средний диаметр вала по чертежу,

tγ - квантиль распределения при уровне значимости γ (приложение 2). При уровне значимости γ = 0,95 и N = 50 квантиль tγ = 2,01. Тогда

Бнис = {0,5 + F[(29,988 – 30,008)/0,005} .100 =0%,

{0,5 - F[(30.012 – 30,008)/0,005} .100 =21,1%.

Данные расчеты позволяют судить о том, что при изготовлении деталей появился брак, но он исправим. Для уменьшения брака центр группирования

Задача №2. На револьверном станке обработали партию заготовок для форсунок 500 шт. диаметром 20-0,2 мм. По результатам измерения N = 50 пробных заготовок величины среднего и среднего квадратического отклонений составляют d = 19,97 мм и σ = 0,019 мм. Определить число годных и бракованных деталей.

Решение.

Определяют интервал рассеяния размеров обрабатываемых валов относительно выборочного среднего (в предположении, что их распределение подчиняется закону Гаусса)

ω = ±3 σ = ±3. 0,019 = ±0,057 мм.

Из расположения поля рассеяния фактических размеров заготовок по отношению к полю допуска очевидно, что часть размеров (область размеров F2) будут выходить за допустимый наибольший размер (рис. 1.7).

ó

F1

Вся площадь под кривой распределения (полагаем, что она подчиняется закону Гаусса) равна 1, половина ее равна -0,5.

Тогда

где Ф(z) - функция Лапласа.

Величина z =Т/σ в рассматриваемом случае равна

z = dнб − d ,

σ

= 20 −19,97 =

z 1,58. 0,019

Тогда по приложению 1

Ф(z) = Ф(1,58) = 0,44

и

F2 = 0,5 - Ф(z) ; F2= 0,5 - 0,44 = 0,06,

то есть 6% деталей (18 шт.) будут бракованными, но брак исправим.

Задача 3. По результатам измерения диаметров пяти корпусов агрегата автоматики, обработанных на токарном полуавтомате, сразу после настойки станка и через некоторый промежуток времени получены следующие значе-

ния выборочных средних d 1 = 80 ,01мм и d 2 = 80 ,042 мм , дисперсий σ21 = 0,001 мм2 и σ22 = 0,004 мм2. Определить настоечный размер.

Решение.

1. Сначала проверяют гипотезу о равенстве выборочных дисперсий: σ12 = σ22 по критерию Фишера (приложение 2):

F= σ22 ;

σ12

=0,004 = F 4.

0,001

Так как найденное значение критерия Фишера меньше табличного F = 5,25 при принятом уровне значимости α = 0,05, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается. Значит, уровень точности станка не изменился.

2.Вычисляют средневзвешенную дисперсию:

σ2 = (n1 −1)σ12 + (n2 −1)σ 22 ;

+n2 − 2n1

σ1 + 1

n1 n2

t = 80,01 − 80,042 =1,01.

0,05 1 + 1

5 5

Расчетный критерий Стьюдента меньше табличного t = 2,78 (приложение 3), то гипотеза о равенстве средних значений в выборке принимается. Следовательно, настроечный размер за данный промежуток времени не изменился.

Если выборочные дисперсии окажутся неоднородными, значение критерия Стьюдента следует вычислить по формуле:

где ϑ1 = σ 12 / n1 и ϑ2 = σ 22 / n2 .

Разницу между средними значениями выборки можно считать значимой (на уровне значимости α), если

распределения f(x), то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу интервалу (li, ls), такова:

По таблице приложения 1 находим Ф(2) = 0,4772. Отсюда искомая вероятность

Р(-120< X < 0);

Р = 2 . 0,4772 = 0,9544.

Следовательно, при изготовлении корпусов ТНА годных деталей будет

95,44%.

Задача №5. Погрешность обработки наружного диаметра турбины подчиняется закону нормального распределения с Т = -85 мкм и σ = 38 мкм.

Известны: ls = 0, ll = -190 мкм. Определить % брака и величину подналадки, обеспечивающую обработку без неисправимого брака.

По аналогии с предыдущей задачей, подставляя в формулу