Пособие по терверу

Оглавление

2.2.2Геометрическое определение вероятности . . . . . . 25

2.2.3Аксиоматическое определение вероятности . . . . . 26

2.3Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3Независимые события . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1Последовательность независимых испытаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2Формула Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3Формула Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4Теорема Муавра-Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3

5.1Определение случайной величины . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2Функция распределения случайной величины . . . . . . . . 59

5.3 Дискретные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4Независимые случайные величины . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5Функции от дискретных случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.6Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2Дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.3Ковариация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.4Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.1Биномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

8Числовые характеристики непрерывных случайных

8.1Абсолютно непрерывные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.2Числовые характеристики абсолютно непрерывных

случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8.2.1 Математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . 90

8.2.2Дисперсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.2.3 Другие числовые характеристики . . . . . . . . . . 93

4

9.1Равномерное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

9.2Показательное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10.2Плотность распределения абсолютно непрерывного вектора . . . . . . . . . . . . . . . 117

10.3Равномерно распределенный

случайный вектор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

10.4Системы n случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . 120

10.5Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

11.1Закон распределения монотонной функции от абсолютно непрерывной

случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11.2Закон распределения

12.1Условный закон распределения . . . . . . . . . . . . . . . . 135

12.2Условное математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . 137

13.1Эмпирические характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . 148

13.2Выборочные характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

13.3Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5

14.1Свойства статистических оценок . . . . . . . . . . . . . . . 166

14.2Методы получения оценок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

14.2.1 Метод моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

14.2.2 Метод максимального правдоподобия . . . . . . . . 169

14.3Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

15.1Определение интервальной оценки . . . . . . . . . . . . . . 177

15.2Доверительный интервал для математического ожидания . . . . . . . . . . . . . . . . 177

15.3Доверительный интервал для вероятности успеха

в схеме Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

15.4Задания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

6

Предисловие

Пособие предназначено для проведения занятий со студентами по теории вероятностей и математической статистике. Рассмотрены основные разделы теории вероятностей: случайные события, классическое и аксиоматическое определение вероятности, случайные величины, их законы и числовые характеристики, предельные теоремы, а также следующие разделы математической статистики: статистические преобразования, выборочные числовые характеристики, точечное и интервальное оценивание. Все основные понятия проиллюстрированы примерами. Значками / и .

отмечены начало и окончание решения примера.

7

Основные обозначения

/ и . начало и окончание решения примера

знак равенства, задаваемого приближенной формулой det A определитель матрицы A

Amn число размещений из n элементов по m

Amk число размещений из k элементов по m с повторениями

Cnm число сочетаний из n элементов по m

Cmk число размещений из k элементов по m с повторениями

Pn число перестановок из n элементов

Pn(n1; n2; : : : ; nk) число перестановок с повторениями

пространство элементарных исходов

!i элементарный исход

jAj количество элементов в конечном множестве A

? невозможное событие

A B событие A включено в событие B (A влечет B)

AB произведение (пересечение) событий A и B

A + B сумма (объединение) событий A и B

A событие, противоположное событию A

P (A) вероятность события

n число элементарных исходов в пространстве элементарных исходов; число испытаний (опытов)

n(A) число элементарных исходов, благоприятствующих событию A

F сигма-алгебра событий

P (AjB) условная вероятность события A при условии события B Pn(k) биномиальная вероятность

(x) функция Лапласа

'(x) функция Гаусса

F (x) = FX(x) функция распределения случайной величины X

8

f(x) = fX(x) плотность распределения случайной величины X E(X) математическое ожидание случайной величины X

D(X), 2(X) дисперсия случайной величины X

= (X) стандартное отклонение случайной величины Xk начальный момент k-го порядка случайной величины

k центральный момент k-го порядка случайной величины

Me медиана случайной величины

X центрированная случайная величина (X = X E(X)) p вероятность успеха в схеме испытаний Бернулли

q = 1 p, где p вероятность успеха в схеме испытаний Бернулли

параметр распределения Пуассона

N(m; 2) нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием m и дисперсией 2

xp квантиль уровня p случайной величины

!q (100q)%-ная точка случайной величины

(X; Y ) двумерный случайный вектор

F (x; y) функция распределения двумерного случайного вектора f(x; y) плотность распределения двумерного случайного вектора

Cov(X; Y ) ковариация случайных величин X и YXY = (X; Y ) коэффициент корреляции

случайных величин X и Y C ковариационная матрица

R корреляционная матрица f g свертка функций f и g

fXjY (xjy) условная плотность распределения случайной величины X при условии, что Y = y

E(XjY = y) условное математическое ожидание случайной величины X при условии, что Y = y

E(XjY ) условное математическое ожидание случайной величины X относительно случайной величины Y

D(XjY ) условная дисперсия случайной величины X

относительно случайной величины Y X(i) элементы вариационного ряда

9

X выборочное среднее случайной величины X

^ ^

D = D(X) выборочная дисперсия случайной величины X^ = ^(X) выборочное стандартное отклонение случайной

величины X

s2 исправленная выборочная дисперсия

параметр распределения случайной величины

^

точечная оценка параметра

L(x; ) функция правдоподобия в методе максимального правдоподобия

zp (100p)%-ная критическая точка стандартного нормального распределения

tp(n) (100p)%-ная критическая точка распределения Стьюдента с n степенями свободы

2p(n) (100p)%-ная критическая точка хи-квадрат распределения с n степенями свободы

10