Пособие по терверу
.pdf7.6.Случайные величины X и Y распределены по геометрическому закону. Известно, что E(X) = E(Y ) = 2, xy = 0;8. Найдите D (X Y ).
7.7.Случайное число сбоев ЭВМ за сутки работы подчиняется закону
Пуассона с параметром = 2. Найдите вероятность того, что в течение суток произойдет от одного до трех сбоев.
7.8. Случайные величины X1; : : : ; X12 распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным 6. Найдите математическое ожидание E(X12 + : : : + X122 ).
7.9. Случайная величина X распределена по закону Пуассона. Известно, что P (X > 0) = 0;8. Найдите математическое ожидание случайной величины 4X2 X + 3.
7.10. Производится 14 независимых испытаний с вероятностью успеха 0;8 в каждом испытании. Пусть X число успехов в испытаниях с номерами 1; 2; : : : ; 9, Y число успехов в испытаниях с номерами
5; 6; : : : ; 14. Найдите дисперсию D(X + 2Y ).
7.11. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается 20 палаток и 20 рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).
Ответы
7.1. E(X) = 259 2;78; D(X) 2;546. 7.2. E(X) = 12; D(X) = 132
. 7.3. E(X) = 2;06; D(X) = 0;9991. 7.4. E(X) = 4; D(X) = 2;4.
7.5. 12405. 7.6. 1;2. 7.7. 0;72. 7.8. 504. 7.9. 18;19. 7.10. 11;04.
7.11. 7;5.
Домашнее задание
7.12. Анализ большого количества деклараций о доходах показал, что одна из десяти деклараций заполняется с ошибками. Пусть случайная величина X представляет собой число деклараций с ошибками среди
20 выбранных случайным образом деклараций. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение этой случайной величины.
71
7.13.Две монеты подбрасываются до тех пор, пока одновременно не выпадут два герба. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа бросков.
7.14.На станции автосервиса в среднем каждые 15 минут оформляет заказ один клиент. Какова вероятность того, что в течение часа заказ сделают более одного клиента? Предполагается, что количество заказов, поступающих в единицу времени, имеет распределение Пуассона.
7.15.Случайные величины X и Y распределены по закону Пуассона.
Найдите дисперсию D(3X 5Y ), если E(X) = E(Y ) = 4, а xy = 0;8.
7.16.Независимые случайные величины X1; : : : ; X6 распределены по геометрическому закону. Найдите E (X1 + : : : + X6)2 , если E(Xi) = 4,
i = 1; : : : ; 6.
7.17.На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых 5 и 25
соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина X число бросаний. Найдите математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X).
7.18. Случайная составляющая выручки равна 2X, где X случайная величина, распределенная по биномиальному закону с параметрами n = 100 и p = 0;5. Случайная составляющая затрат имеет вид 50Y , где Y случайная величина распределенная по закону Пуассона с параметром = 2. Найдите дисперсию прибыли, считая, что случайные составляющие выручки и затрат независимы.
Ответы
7.12.E(X) = 2; (X) 1;34. 7.13. 4; 12. 7.14. 0;91. 7.15. 40.
7.16.648. 7.17. E(X) = 25; D(X) = 600. 7.18. 5100.
Дополнительные задачи
7.19. Две игральные кости одновременно бросают два раза. Пусть X
количество таких ситуаций, при которых на обеих костях выпали четные числа. Составьте закон распределения случайной величины X.
7.20. Производится 90 независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются 2 игральные кости. Пусть X число испытаний,
72
в которых все выпавшие цифры оказались больше четырех. Найдите
дисперсию D(X).
7.21.Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет цифра \6”. Случайная величина X количество произведенных бросаний кости. Найдите E(X).
7.22.Для пуассоновской случайной величины X известно отношение:
P (X=10) = 4. Найдите математическое ожидание E(X).
P (X=9)
Ответы
7.19. |
X |
0 |
1 |
2 |
. 7.20. 809 8;89. 7.21. 6. 7.22. 40. |
|
|
|
|
||
P |
9=16 |
6=1 |
1=16 |
||
|
|
|
|
|
|
73
8 Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция
распределения F (x) непрерывна в любой точке X.
Любая непрерывная случайная величина каждое отдельное конкрет-
ное значение принимает с вероятностью 0 : P (X = x) = 0.
Для непрерывной случайной величины X, имеющей функцию распре-
деления F (x), справедливы соотношения:
P (a 6 X 6 b) = P (a 6 X < b) = P (a < X 6 b) = P (a < X < b) = = F (b) F (a):
8.1 Абсолютно непрерывные случайные величины
Случайная величина X называется абсолютно непрерывной, если найдется неотрицательная функция f(x), называемая плотностью распределения, такая, что вероятность попадания X в промежуток [a; b]
получается путем интегрирования данной функции
P (a 6 X 6 b) = Za |
b |
f(x) dx: |
Свойства плотности распределения.
1. f(x) > 0 при всех x.
74
1
R
2.f(x) dx = 1:
1
3.Во всех точках, где плотность распределения непрерывна, выполняется равенство f(x) = F 0(x):
4.Когда длина интервала x достаточно мала ( x ! 0), справедлива приближенная формула: P (x < X < x + x) f(x) x.
Функция распределения F (x) выражается через плотность распреде-
ления по формуле:
x
Z
F (x) = f(t) dt:
1
Пример. Случайная величина X имеет плотность распределения
(
1; если x 2 [ 1; 3], f(x) = 4
0; если x 2= [ 1; 3].
Требуется найти 1) функцию распределения F (x); 2) P (1 < X < 2).
C 1. При x < 1
x x
ZZ
F (x) = f(t) dt = 0 dt = 0:
1 1
При x > 3
x |
|
3 |
|
|
|
Z |
|
Z |
|||
F (x) = |
f(t) dt = |
|
1 |
dt = 1: |
|
4 |
|||||
1 |
|
|
|||
|
1 |
||||
И, наконец, когда 1 6 x 6 3
xx
Z |
|
Z |
|
|
|
|
F (x) = |
f(t) dt = |
|
1 |
dt = |
x + 1 |
: |
1 |
|
4 |
4 |
|
||
|
1 |
|
|
|
||
2. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал можно вычислять как с использованием плотности распределения, так и функции распределения:
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
||||
P (1 < X < 2) = Z |
|
dx = |
|
x 1 = |
|
|
; |
||
4 |
4 |
4 |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
75
P (1 < X < 2) = F (2) F (1) = 2 +4 1 1 +4 1 = 14: C
Абсолютно непрерывная случайная величина X называется сосредоточенной на отрезке [a; b], если плотность распределения равна нулю вне этого отрезка.
В этом случае справедливы соотношения:
|
b |
x |
|
Za |
f(x) dx = 1; |
F (x) = Za |
f(x) dx; a 6 x 6 b: |
8.2 Числовые характеристики абсолютно непрерывных случайных величин
8.2.1 Математическое ожидание
Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины X с плотностью распределения f(x) определяется по формуле
1
Z
E(X) = xf(x) dx:
1
Если случайная величина X сосредоточена на отрезке [a; b], то
b
Z
E(X) = xf(x) dx:
a
8.2.2 Дисперсия
Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины X с плотностью распределения f(x) определяется по формулам
1 |
1 |
|
D(X) = Z [x E(X)]2f(x) dx = Z |
x2f(x) dx [E(X)]2: |
|
1 |
1 |
|
76
Если случайная величина X сосредоточена на отрезке [a; b], то
|
b |
b |
D(X) = Za |
[x E(X)]2f(x) dx = Za |
x2f(x) dx [E(X)]2: |
Математическое ожидание непрерывной функции '(x) от случайной величины X находится путем интегрирования произведения данной функции на плотность распределения:
1
Z
E(X) = '(x)f(x) dx:
1
Пример. Случайная величина X имеет плотность распределения
f(x) = |
8Cx; |
если |
x |
|
|
> |
0; |
|
x > 0; |
|
< |
|
|
2 [0; 1], |
|
> |
|
если |
|
|
>0; |
если |
x > 1, |
|
|
> |
|
|
|
:
где C константа. Требуется найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, а также математическое ожидание случайной величины X3.
B Случайная величина сосредоточена на отрезке [0; 1]. Значение кон-
R b
станты C находим из условия нормировки: a f(x) dx = 1.
1 |
x2 |
1 |
|
||
Z Cx dx = 1; C |
|
0 = 1; C = 2: |
2 |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
77
Итак, f(x) = 2x при x 2 [0; 1].
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
1 |
2 |
|
||||||
E(X) = Z |
xf(x) dx = Z |
x |
2x dx = 2 |
|
|
|
0 = |
|
|
|
; |
|
|||||||||||||||
3 |
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
D(X) = Z x2f(x) dx [E(X)]2 = Z x2 2x dx |
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
1 |
4 |
|
|
1 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= 2 |
|
0 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
4 |
9 |
2 |
9 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
|
|
|
|||||
E(X |
) = Z |
x |
f(x) dx = Z |
x |
|
2x dx = 2 |
|
|
: |
C |
|||||||||||||||||
|
5 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Случайная величина X распределена в соответствии с плотностью распределения f(x). Требуется найти плотность распределения
случайной величины Y = 3X + 2.
B Сначала найдем функцию распределения FY (x) случайной величины Y = 3X + 2 :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
||
|
Y |
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Z |
||||||
F |
|
(x) = P (Y < x) = P (3X + 2 < x) = P |
X < |
x 2 |
= |
f(t) dt: |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Тогда |
0 |
|
f(t) dt10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
fY (x) = FY0 (x) = |
3 |
= 1f x 2 : C |
|||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
Cx |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
B 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
@ |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
8.2.3 Другие числовые характеристики
Медианой Me = Me(X) непрерывной случайной величины X называется число, которое делит всю область возможных значений на две части таким образом, что вероятность того, что значение случайной величины превысит медиану, равно вероятности того, что оно окажется меньше медианы: P (X < Me) = P (X > Me) = 0;5:
78
Для случайной величины любого типа квантилем порядка p 2 (0; 1) называется такое число xp, что P (X < xp) 6 p и P (X 6 xp) > p.
Для непрерывной случайной величины квантилем xp порядка p является число, определяемое из уравнения: F (xp) = p. Таким образом, квантиль xp такое число, для которого вероятность того, что случайная величина X окажется меньше этого числа, равна величине поряд-
ка p : P (X < xp) = p.
100q–процентной точкой !q называется квантиль порядка 1 q. Для непрерывной случайной величины процентная точка !q определяется из соотношения: P (X !q) = q. Например, для 20%-ной точки !0;2 :
P (X !0;2) = 0;2.
Пример. Случайная величина Z задана рядом распределения
|
Z |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
0;1 |
0;3 |
0;2 |
0;1 |
0;3 |
|
|
|
|
|
|
|
Требуется найти квантиль x0;4 порядка p = 0;4, медиану Me и 30%-ную точку !0;3.
B Покажем, что x0;4 = 1. Действительно,
P (Z < 1) = 0;1 < p; P (Z 6 1) = 0;1 + 0;3 = 0;4 = p:
Медиана Me = 2, так как
P (Z < 2) = 0;4 < 0;5; P (Z 6 2) = 0;6 > 0;5:
30%-ная точка !0;3 = 3. Действительно, 30%-ная точка это квантиль порядка 0;7, и P (Z < 3) = 0;6 < 0;7; P (Z 6 3) = 0;7: B
Пример. Случайная величина X имеет плотность распределения
f(x) = |
80x;; |
если |
x |
|
0, |
|
|
|
> |
|
x < |
|
|
|
|
< |
|
|
2 [0; 1], |
|
|
|
>2 |
если |
|
||
|
|
> |
если |
x > 1. |
||
|
|
0; |
||||
|
|
: |
|
|
|
|
Требуется найти медиану, |
квантиль порядка 0;9 и 20%-ную точку. |
|||||
|
> |
|
|
|
|
|
B Сначала найдем функцию распределения. При x < 0 F (x) = 0, при x > 1 F (x) = 1, при x 2 [0; 1] :
x |
x |
x |
|
F (x) = Z |
f(t) dt = Z |
||
2t dt = t2 0 = x2: |
|||
1 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
79
Медиана Me находится из уравнения P (X < Me) = 12 или F (Me) = 12,
т.е. Me |
2 |
|
1 |
; |
1 |
. |
|
|
= |
2 |
Me = p |
|
|||
|
2 |
||||||
Квантиль x0;9 находится из уравнения F (x0;9) = 0;9, т.е. x2 = 0;9;
p 0;9
x0;9 = 0;9 0;95.
20%-ная точка !0;2 находится из уравнения P (X !0;2) = 0;2 или
1 F (!0;2) = 0;2; !02;2 = 0;8; !0;2 = p0;8 0;89: C
Начальным моментом k порядка k называется число, равное математическому ожиданию k-й степени случайной величины, т.е.
k = E Xk :
Центральным моментом k порядка k называется число, равное математическому ожиданию k-й степени центрированной случайной ве-
личины, т.е.
|
k = E [X E(X)]k = E Xk : |
||
Асимметрия |
As вычисляется по формуле |
||
|
|
|
|
|
As = |
3 |
; |
|
3 |
||
где 3 центральный момент третьего порядка, стандартное отклонение. Асимметрия позволяет оценить "скошенность"плотности распределения в сторону меньших или б´ольших значений случайной величины. Положительные значения асимметрии означают, что значения случайной величины, превосходящие математическое ожидание, присутствуют в б´ольшем количестве, нежели значения, не достигающие математического ожидания. Для симметричных распределений As = 0.
Эксцесс Ex вычисляется по формуле
Ex = 44 3;
где 4 центральный момент четвертого порядка. Эксцесс позволяет оценить сравнительную долю случайных величин, удаленных от математического ожидания дальше, чем на стандартное отклонение.
Пример. Найдем асимметрию и эксцесс случайной величины, распределенной по закону Лапласа с плотностью вероятности
f(x) = 12e jxj; x 2 (1; 1):
80