Пособие по терверу

9.4 Центральная предельная теорема

Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых:

Для бесконечной последовательности одинаково распределенных случайных величин X1, X2, : : :, Xn, : : :, для которых существует математическое ожидание m = E(Xi) и дисперсия 2 = D(Xi), функции распределения нормированных частичных сумм

стремятся при n ! 1 к функции распределения нормального закона с параметрами (0; 1):

Из этой теоремы следует, что для промежутка любого вида предел вероятности попадания нормированной частичной суммы в существует и

lim P (Sn 2 ) = P (Z 2 );

n!1

где Z N(0;1) стандартная нормально распределенная случайная величина. В частности, для промежутка = (a; b) или = [a; b] имеем

lim P (Sn 2 ) = (b) (a);

n!1

где (x) функция Лапласа.

Пример. Для независимых, распределенных по показательному закону случайных величин X1, X2, : : : с математическим ожиданием E(Xi) = 4, требуется найти предел

B Сначала найдем дисперсию D(Xi). Для показательного закона имеем: D(Xi) = 1= 2 и E(Xi) = 1= , следовательно, (Xi) = E(Xi) = 4. Левую часть неравенства, данного в условии задачи, приведем к виду,

91

9.5 Задания

Задачи для практических занятий

9.1.Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [3; 23]. Найдите вероятность P (4 < X < 17).

9.2.Длина комнаты измеряется с помощью рулетки с грубыми делениями по 10 см. Округление производится до ближайшего деления. Случайная величина X ошибка измерения. Найдите ее математическое ожидание и стандартное отклонение.

9.3.Случайная величина равномерно распределена на отрезке [ 5; 10]. Найдите P (X2 > 9).

9.4.Случайные величины X1, X2, X3, X4 независимы и распределе-

9.5.Случайная величина X распределена по показательному закону

спараметром = 2. Найдите вероятность попадания этой случайной величины в интервал (0;5; 1).

9.6.Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно m = 5, а дисперсия 2 = 9. Напишите плотность распределения случайной величины X.

9.7.Известно, что плотность распределения случайной величины X

имеет следующий вид:

Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

92

9.8.Случайная величина X распределена нормально со средним значением 50 и стандартным отклонением, равным 5. Найдите P (X < 45).

9.9.Магазин торгует мужскими сорочками разных размеров. Обработка данных о продажах сорочек позволила сделать вывод, что размер воротничков продаваемых сорочек является случайной величиной X, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 39

истандартным отклонением 3. Какой процент мужских сорочек размером 40 от общего числа следует заказать магазину?

9.10.Математические ожидания и дисперсии независимых нормальных случайных величин X, Y , Z, U равны 1. Найдите вероятность

P (X + Y + Z U < 0):

9.11. Для независимых случайных величин X1, X2, : : :, равномерно

9.12. В кассе организации имеется сумма C = 100 000 руб. В очереди стоит n = 20 лиц. Сумма X, которую надо выплатить отдельному лицу, является случайной величиной с математическим ожиданием

E(X) = 4500 руб и стандартным отклонением (X) = 1000 руб. Оцените вероятность того, что суммы C не хватит для выплаты денег всем людям, стоящим в очереди.

Ответы

9.9. 13%. 9.10. 0;16. 9.11. 0;72.9.12. 0;026.

Домашнее задание

9.13. Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [2; 10]. Найдите: а) математическое ожидание и дисперсию X; б) вероятность попадания случайной величины X на отрезок [4; 7]; в) вероятность события: f1=(X 2) > 10g.

93

9.14. Известно, что случайная величина X распределена равномер-

но на отрезке [ 1; 1]. Найдите математическое ожидание и дисперсию p

случайной величины Y = 3 X5.

9.15.Случайная величина X, которая равна длительности работы элемента в часах, имеет плотность распределения f(x) = 0;005e 0;005x, x > 0. Найдите среднее время работы элемента и вероятность того, что элемент проработает не менее 300 часов.

9.16.Некоторая фирма установила гарантийный срок работы холодильника 10 лет, рекламируя этим его высокую надежность. Каким должно быть среднее время безотказной работы холодильника, чтобы с претензиями в течение гарантийного срока обращались 5% владельцев? (Время безотказной работы холодильника распределено по показательному закону).

9.17.Добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 600 тонн и стандартным отклонением 50 тонн. Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля упадет ниже 500 тонн.

9.18.Случайные ошибки измерения детали подчинены нормальному закону с характеристиками: E(X) = 0, (X) = 5 мм. Найдите вероятность того, что измерение детали произведено с ошибкой, не превосходящей по модулю 7;25 мм.

9.19.Для нормальной случайной величины X известно, что дисперсия

D(X) = 100 и вероятность P (X < 57) = 0;18406. Найдите математическое ожидание m = E(X).

9.20. Для независимых нормально распределенных случайных величин X и Y известны характеристики: E(X) = 3, E(Y ) = 5, D(X) = 4,

D(Y ) = 1. Найдите P (X < Y ).

9.21. Для независимых, распределенных по закону Пуассона случай-

если известно, что E(Xi) = 5 при всех i = 1; 2; : : :.

9.22. Известно, что шаг некоторого пешехода распределен равномерно в пределах от 70 см до 80 см и размеры отдельных шагов независимы между собой. Используя центральную предельную теорему, оцените

94

вероятность того, что за 10000 шагов, пройденный пешеходом путь составит 7;5 км 50 м.

Ответы

9.13. а) E(X) = 5;5; D(X) = 34; б) 38; в) 801 . 9.14. E(Y ) = 0;

D(Y ) = 133 . 9.15. E(X) = 200; P 0;223. 9.16. 195 лет. 9.17. 0;023.

9.18. 0;853. 9.19. 66. 9.20. 0;81. 9.21. 0;78. 9.22. 1.

Дополнительные задачи

9.23.Случайная величина X равномерно распределена на промежутке

сцентром в точке 3, и известно, что P (X > 4) = 0;25. Найдите математическое ожидание случайной величины Y = 1 2X + 3X2.

9.24.Случайная величина X имеет равномерное распределение с характеристиками: E(X) = 0, D(X) = 2. Найдите E(X2) и D(X2).

9.25.Рост призывников, направляемых на службу в армию, является случайной величиной X, распределенной по нормальному закону с математическим ожиданием 170 см и стандартным отклонением 20 см. В церемониальную роту принимаются те юноши, рост которых превышает 185 см. Сколько кандидатов в церемониальную роту может быть отобрано из 100 призывников по этому признаку? Найдите наиболее вероятное количество кандидатов.

9.26.90% лампочек перегорают после 500 часов работы. Найдите вероятность того, что лампочка перегорит, не проработав 300 часов. (Предполагается, что время безотказной работы лампочки подчиняется показательному закону распределения).

9.27.85%-ная точка нормально распределенной случайной величины X равна 12, а 40%-ная точка равна 16. Найдите математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины X.

Ответы

9.23.26. 9.24. E(X2) = 2; D(X2) = 0;8 4. 9.25. 22. 9.26 0;75.

9.27.E(X) 15;2; (X) 3;1.

95

10 Случайные векторы

10.1 Двумерный случайный вектор

Случайным двумерным вектором (двумерной случайной величиной) называют упорядоченный набор двух обычных случайных величин

(X; Y ), заданных на одном и том же пространстве элементарных событий.

Одномерные случайные величины X, Y называются компонентами

или составляющими двумерной случайной величины (X; Y ).

Функция распределения двумерного случайного вектора (X; Y ) определяется формулой

F (x; y) = P (X < x; Y < y):

Свойства функции распределения:

1.F (x; y) не убывает по обеим переменным.

2.F (x; y) непрерывна слева по обеим переменным.

3.P (x1 6 X < x2; y1 6 Y < y2) = F (x1; y1) + F (x2; y2) F (x1; y2)

F (x2; y1):

Случайный вектор (X; Y ) называется дискретным, если его компоненты X и Y дискретные случайные величины.

Закон распределения дискретного случайного вектора (X; Y ) задается таблицей, содержащей значения вероятностей pij = P (X = xi; Y = yj), i = 1; 2; : : :; j = 1; 2; : : :

96

выражаются через вероятности совместных значений pij по формулам

X X

P (X = xi) = pij; P (Y = yj) = pij:

j i

Математическое ожидание функции от компонент дискретного случайного вектора вычисляется в виде суммы

X

E['(X; Y )] = '(xi; yj)pij:

i;j

В частности, математическое ожидание E(XY ) находится по формуле

X

E(XY ) = xiyjpij:

i;j

Пример. Закон распределения случайного вектора (X; Y ) задан таблицей

Требуется найти:

1)законы распределения одномерных случайных величин X и Y ;

2)вероятность P (Y > X);

3)Cov(X; Y ).

B 1. Случайная величина X принимает значения: 1 с вероятностью

p1 = 0;2 + 0;4 = 0;6 и 1 с вероятностью p2 = 0;3 + 0;1 = 0;4, т.е. ее закон распределения:

Случайная величина Y принимает значения: 0 с вероятностью

q1 = 0;2 + 0;3 = 0;5 и 1 с вероятностью q2 = 0;4 + 0;1 = 0;5, т.е. ее закон распределения:

97

2. Для нахождения вероятности P (Y > X) складываем те вероятности

событий pij из таблицы распределения (X; Y ), для которых yj > xi.

Врезультате получим: P (Y > X) = 0;2 + 0;4 = 0;6.

3.Ковариацию находим по формуле: Cov(X; Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ).

E(X) = ( 1) 0;6 + 1 0;4 = 0;2; E(Y ) = 0 0;5 + 1 0;5 = 0;5:

Для нахождения E(XY ) используем вероятности pij :

E(XY ) = ( 1) 0 0;2 + ( 1) 1 0;4 + 1 0 0;3 + 1 1 0;1 = 0;3;

Cov(X; Y ) = 0;3 ( 0;2) 0;5 = 0;2: C

Компоненты X и Y случайного вектора (X; Y ) являются независимыми тогда и только тогда, когда выполняются равенства: pij = pi qj

при всех i = 1; 2; : : :; j = 1; 2; : : :.

Пример. Случайный вектор (X; Y ) распределен в соответствии с таб-

лицей

Требуется проверить, являются ли случайные величины X и Y независимыми или нет.

B Ряды распределения компонент X и Y имеют вид:

Так как p11 = P (X = 1; Y = 1) = 14, а p1 q1 = 34 38 6= 14, то случайные величины X и Y зависимые. C

10.2 Плотность распределения абсолютно непрерывного вектора

Случайный вектор (X; Y ) называется абсолютно непрерывным, если найдется неотрицательная функция f(x; y), называемая плотностью

98

распределения, такая, что для любой ограниченной области G R2 вероятность попадания точки (X; Y ) в G находится по формуле

ZZ

P f(X; Y ) 2 Gg = f(x; y) dxdy:

G

Функция распределения F (x; y) абсолютно непрерывного случайного вектора (X; Y ) является непрерывной, и определяется через плотность распределения по формуле

Свойства плотности распределения:

1. f(x; y) > 0 для любой точки (x; y) 2 R2.

Компоненты X, Y абсолютно непрерывного случайного вектора (X; Y )

являются также абсолютно непрерывными. Плотности распределения компонент fX(x) и fY (y) выражаются через плотность совместного распределения по формулам

10.3 Равномерно распределенный случайный вектор

Случайный вектор (X; Y ) называется равномерно распределенным в ограниченной области G R2, если он имеет плотность распределения вида

99

где S(G) площадь области G.

Для равномерного в области G закона распределения, вероятность попадания в подмножество A G случайной точки (X; Y ), находится по формуле:

P f(X; Y ) 2 Ag = S(A);

S(G)

где S(A) и S(G) площади областей A и G.

Компоненты X и Y абсолютно непрерывного случайного вектора (X; Y )

являются независимыми случайными величинами тогда и только тогда, когда произведение их плотностей является плотностью совместного распределения:

fX(x) fY (y) = f(x; y):

Математическое ожидание функции от компонент абсолютно непрерывного случайного вектора вычисляется в виде интеграла

В частности, математическое ожидание E(XY ) находится по формуле

Пример. Дана плотность распределения случайного вектора (X; Y ) : f(x; y) = cos x cos y в квадрате 0 6 x 6 2 , 0 6 y 6 2 ; вне квадрата f(x; y) = 0. Требуется:

1)найти плотности распределения компонент X и Y ;

2)вычислить E(XY );

3)проверить, являются ли случайные величины X и Y независимыми или нет.

100