Пособие по терверу

степенью свободы, находится из таблиц процентных точек распределения Стьюдента.

Пример. Требуется найти доверительный интервал с доверительной вероятностью = 0;95 для математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если по выборке объема n = 30 най-

дено выборочное среднее X = 4. Дисперсия случайной величины:

а) известна и равна 1;21; б) неизвестна; по выборке найдена исправленная выборочная диспер-

Искомый доверительный интервал

б) Исходные данные: X = 4; s2 = 1;21; n = 30; = 0;05.

2 = 0;025; t=2(n 1) = t0;025(29) = 2;045;

s 2;2495

t=2(n 1) pn = 5;477 0;41:

Искомый доверительный интервал

Если исследуемый признак имеет закон распределения, отличный от нормального, то приведенные выше интервальные оценки дают приближенный доверительный интервал для математического ожидания.

151

15.3 Доверительный интервал для вероятности успеха в схеме Бернулли

Проводятся испытания по схеме Бернулли с неизвестной вероятностью успеха p. Требуется построить доверительный интервал для параметра p.

Исходные данные: n число испытаний, k число \успехов”;

уровень значимости.

Искомый доверительный интервал:

Пример. Требуется найти доверительный интервал для вероятности попадания снаряда в цель с доверительной вероятностью = 0;95, если

известно, что в результате 200 выстрелов в цель попало 80 снарядов.

p 2 (0;4 0;07; 0;4 + 0;07) = (0;393; 0;407): C

15.4 Задания

Задачи для практических занятий

15.1.Найдите доверительный интервал с доверительной вероятностью

= 0;9 для математического ожидания нормально распределенной случайной величины, с известной дисперсией 2 = 100, если по выборке найдено выборочное среднее X = 50. Объем выборки:

а) n = 30; б) n = 100.

152

15.2.На овцеводческой ферме из стада произведена выборка для взвешивания 40 овец. Их средний вес оказался равным 50 кг, исправленная выборочная дисперсия s2 = 16. Найдите приближенный доверительный интервал для математического ожидания веса овцы с доверительной вероятностью:

а) = 0;8; б) = 0;95.

15.3.Для случайной величины X получена выборка из десяти значений: 1;0; 0;2; 1;0; 0;1; 0;5; 5;0; 1;0; 3;0; 0;5; 1;0.

Полагая, что случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения, постройте доверительный интервал для ее математического ожидания с доверительной вероятностью = 0;99.

15.4.Для случайной величины X получен интервальный статистический ряд:

Постройте приближенный доверительный интервал с доверительной ве-

роятностью = 0;95 для математического ожидания случайной величи-

ны X.

15.5.По результатам испытаний 15 электроламп была найдена оценка средней продолжительности горения лампы X = 3000 ч. Считая, что срок службы лампы X распределен нормально с = 16 ч, определите доверительную вероятность того, что интервал (2990; 3010) накроет неизвестное математическое ожидание E(X).

15.6.Обследуется средняя продолжительность телефонного разговора. Сколько телефонных разговоров должно быть зафиксировано, чтобы

свероятностью 0;95 можно было бы утверждать, что отклонение средней продолжительности зафиксированных разговоров от генеральной средней не превосходит 9 секунд, если стандартное отклонение длительности одного разговора равно 3 минутам?

15.7.Найдите доверительный интервал для вероятности попадания снаряда в цель с доверительной вероятностью = 0;9, если после 220 выстрелов в цель попало 75 снарядов.

15.8.Из 1000 случайно отобранных деталей оказалось 50 нестандартных. Предполагая, что при отборе соблюдались условия испытаний по

153

схеме Бернулли, найдите вероятность того, что интервал (0;04; 0;06)

накроет неизвестную вероятность p появления нестандартной детали.

15.9. В результате проведенного социологического опроса n = 1100 человек рейтинг кандидата в президенты составил 10%. Найдите доверительный интервал для рейтинга кандидата с гарантированной надежностью 95%.

Ответы

15.1. а) (47;00; 53;00); б) (48;35; 51;65). 15.2. а) (49;18; 50;82); б) (48;72; 51;28). 15.3. ( 0;81; 2;83). 15.4. (48; 56). 15.5. 0;98.

15.6. 385. 15.7. (0;29; 0;39). 15.8. 0;85. 15.9. (8;2; 11;8).

Домашнее задание

15.10.Постоянная величина измерена 25 раз с помощью прибора, систематическая ошибка которого равна нулю, а случайные ошибки измерения распределены по нормальному закону со стандартным отклонением = 10. Определите значения границ доверительного интервала для измеряемой величины с доверительной вероятностью = 0;99, если X = 100.

15.11.По результатам n измерений получены оценки математическо-

го ожидания и дисперсии нормально распределенной случайной вели-

^

чины X : X = 50, D = 20. Определите доверительные границы для E(X) с доверительной вероятностью 0;9 при различных объемах выборки: а) n = 5, б) n = 20, в) n = 100.

15.12.Для случайной величины X получена выборка из восьми значений: 5; 4; 11; 6; 8; 4; 12; 2.

Полагая, что случайная величина X подчиняется нормальному закону распределения, постройте доверительный интервал для ее математического ожидания с доверительной вероятностью = 0;9.

15.13.Для случайной величины X получен интервальный статистический ряд:

154

Постройте приближенный доверительный интервал с доверительной ве-

роятностью = 0;95 для математического ожидания E(X).

15.14.Проведено 100 испытаний по подбрасыванию монеты. При этом герб выпал 45 раз. Постройте доверительный интервал с доверительной вероятностью = 0;95 для вероятности p выпадения герба.

15.15.Найдите минимальный объем выборки из нормальной генеральной совокупности, при котором с доверительной вероятностью = 0;95

погрешность оценки математического ожидания X, найденного по этой выборке, будет меньше " = 0;25, если стандартное отклонение = 4.

Ответы

15.10. (94;85; 105;15). 15.11. а) (45;2; 54;8); б) (48;2; 51;8); в) (49;25; 50;75). 15.12. (4;35; 8;65). 15.13. (8;8; 10;1). 15.14. (0;38; 0;52).

15.15. 984.

Дополнительные задачи

15.16.В некотором городе население составляет 1 млн человек. Для случайно отобранных 625 жителей средний возраст составил 33 года при стандартном отклонении 15 лет. Найдите приближенный 95%-ный доверительный интервал для среднего возраста жителей города.

15.17.В некотором городе население составляет 1 млн человек. Для случайно отобранных 625 жителей средний возраст составил 33 года при стандартном отклонении 15 лет. Определите доверительную вероятность того, что интервал (32; 34) накроет неизвестное математическое ожидание E(X) возраста жителей X.

15.18.В некотором городе население составляет 1 млн человек. Какое минимальное количество жителей нужно опросить, чтобы с доверительной вероятностью = 0;95 погрешность оценки X среднего возраста X

жителей города, найденной по этой выборке, была меньше " = 1;2, если известно, что стандартное отклонение (X) = 15.

15.19. Проведено 100 испытаний по биномиальной схеме с неизвестной вероятностью p \успеха” в каждом испытании; при этом наблюдалось k = 50 \успехов”. Постройте доверительный интервал с доверительной вероятностью = 0;9 для вероятности p.

155

15.20. Среди случайно отобранных 625 жителей оказалось 125 учащихся. Требуется найти 95%-ный доверительный интервал для доли p

учащихся среди всех жителей города.

15.21.Среди случайно отобранных 625 жителей оказалось 125 учащихся. Найдите вероятность того, что интервал (0;18; 0;22) накроет неизвестную долю p учащихся среди всех жителей города.

15.22.Найдите минимальный объем выборки из нормальной генеральной совокупности, при котором с доверительной вероятностью = 0;9

погрешность оценки математического ожидания X, найденной по этой

выборке, будет меньше " = 0;3, если стандартное отклонение = 2.

Ответы

15.16.(31;8; 34; 2). 15.17. 0;95. 15.18. 601. 15.19. (0;492; 0;508).

15.20.(0;169; 0;231). 15.21. 0;79. 15.22. 121.

156

Литература

1.Солодовников A.C., Бабайцев В.A., Браилов A.B. Математика в экономике: учебник: В 3-х ч. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Финансы и статистика, 2008. 464 с.

2.Браилов А.В., Солодовников A.C. Сборник задач по курсу ¾Математика в экономике¿. Ч. 3. Теория вероятностей: учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2010. 128 с.

3.Браилов A.B. Лекции по математической статистике. М.: Финакадемия, 2007. 172 с.

4.Браилов A.В, Зададаев С.А., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации по самостоятельной работе. Часть 1. М.: Финакадемия, 2010. 52 с.

5.Браилов A.В., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации по самостоятельной работе. Часть 2. М.: Финакадемия, 2010. 52 с.

6.Браилов A.В., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации по самостоятельной работе. Часть 3. М.: Финакадемия, 2010. 53 с.

7.Браилов A.В., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации по самостоятельной работе. Часть 4. М.: Финакадемия, 2010. 66 с.

8.Браилов A.В., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации по самостоятельной работе. Часть 5. М.: Финакадемия, 2011. 72 с.

157

9.Браилов A.В., Люлько Я.А., Рябов П.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Методические рекомендации по самостоятельной работе. Часть 6. М.: Финакадемия, 2011. 58 с.

10.Глебов В.И., Криволапов С.Я. Теория вероятностей и математическая статистика: Методические рекомендации. М., Налоговая академия, 2008, 316 с.

11.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1997, 400 с.

12.Горяинов В.Б., Павлов И.В., Цветкова Г.М. и др. Математическая статистика. М: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001, 423 с.

13.Зеленцов Б.П., Тутынина О.И. Теория вероятностей в познавательных и забавных задачах. М., Книжный дом \ЛИБРОКОМ”, 2013, 128 с.

14.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000, 543 с.

15.Печинкин А.В., Текин О.И., Цветкова Г.М. и др. Теория вероятностей. М: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001, 455 с.

16.Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособ. / Под ред. А.В. Ефимова. М.: Наука, 1990, 428 с.

17.Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. М.: Наука, 1980, 223 с.

158