Пособие по терверу

33,7% имеют первую, 37,5% вторую, 20,9% третью и 7,9% четвертую группы крови. Найдите вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора (тем самым выясните, сколько процентов переливаний были смертельными до открытия групп крови).

Ответы

3.22.0;75. 3.23. а) 0;844; б) 0;386. 3.24. 0;4. 3.25. А. 1625 = 0;64;

Б.161 = 0;0625. 3.26. От третьего поставщика. 3.27. 67. 3.28. Независимы.

3.29.P (BjA) 0;39; P (BjA) 0;10; P (BjA) 0;61; P (BjA) 0;90.

3.30.0;991. 3.31. 0;574:

41

4 Схема Бернулли

4.1 Последовательность независимых испытаний

Предположим, что производятся независимые испытания и при каждом испытании может быть только два исхода \успех” с вероятностью p

или \неудача” с вероятностью 1 p = q.

Примеры таких испытаний:

1.Подбрасывание монеты (успех выпадение герба).

2.Стрельба по цели (успех попадание).

Последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых может быть только два исхода: \успех” с вероятностью p или неудача с вероятностью q = 1 p, называется схемой Бернулли (или биномиальной схемой испытаний или последовательной схемой испытаний).

4.2 Формула Бернулли

Вероятность того, что при n испытаниях, проводимых по схеме Бернулли, \успех” происходит ровно k раз (0 6 k 6 n), дается формулой Бернулли:

Pn(k) = Cnkpk(1 p)n k:

Пример. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0;8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

B Здесь n = 5, p = 0;8 и k = 2; по формуле Бернулли находим:

P5(2) = C52 0;82 0;23 = 0;0512: C

42

Пример. Пусть q = 0;1 вероятность того, что наугад выбранный студент пропустит лекцию. Требуется вычислить вероятность того, что из 60 студентов на лекцию придут больше 57.

B Здесь n = 60, p = 1 q = 0;8, k = 58, или 59, или 60. Искомая вероятность вычисляется как сумма трех слагаемых, соответствующих конкретным значениям k:

P60(58) + P60(59) + P60(60) =

=C6058 0;958 0;12 + C6059 0;959 0;11 + C60560 0;960 0;10 =

=60 59 0;958 0;01 + 60 0;959 0;1 + 1 0;960 1 0;053: C 2

Количество успехов k0 в схеме Бернулли из n независимых испытаний называется наиболее вероятным, если Pn(k0) > Pn(k) для любого числа k = 0; 1; : : : ; n.

Справедливо следующее утверждение. Если число np + p не является целым, то с изменением k от 0 до n вероятность Pn(k) сначала монотонно возрастает, а затем монотонно убывает, достигая наибольшего значения при k0 = [np + p] (наиболее вероятное число успехов). Если число np + p целое, то наиболее вероятное число успехов имеет два значения: k0 = np + p и k0 1, т.е Pn(k0) = Pn(k0 1), и при k < k0 1 вероятность Pn(k) монотонно возрастает, а при k > k0 монотонно убывает.

Пример. По данным наблюдений, доля солнечных дней в средней полосе России в июле составляет 70%. Требуется найти наиболее вероятное количество солнечных дней в июле.

B Если считать успехом событие \очередной день июля является солнечным”, то будем иметь схему испытаний Бернулли с параметрами: n = 31; p = 0;7; q = 0;3. Здесь число np + p = 31 0;7 + 07 = 22;4

не является целым. Наиболее вероятное число k0 = [22;4] = 22. C

4.3 Формула Пуассона

Пусть число испытаний n, проводимых по биномиальной схеме, достаточно велико, вероятность успеха p в одном испытании достаточно мала. Тогда вероятность Pn(k) того, что при n испытаниях произойдет ровно k успехов, определяется по приближенной формуле, называемой

43

формулой Пуассона:

Pn(k) = k e ; k!

в которой = np, k = 0; 1; 2; : : : ; n.

Формулу Пуассона можно применять, когда np 6 10.

Замечание. При больших n и значениях p, близких к 1, следует вычислить величину nq. Если произведение 0 = nq незначительно (не более 10), можно использовать формулу Пуассона для числа неудач.

Пример. Вероятность безаварийной работы энергоблока АЭС в течение года 0;999. Требуется найти вероятность того, что при эксплуатации 100 энергоблоков в течение года произойдет не более двух аварий.

B Для решения задачи используем формулу Пуассона. Так как ве-

роятность успеха p близка к 1, перейдем к числу неудач. Вероятность аварии q = 1 p = 0;001, 0 = nq = 0;1.

P100(0 6 k 6 2) = P100(0) + P100(1) + P100(2)

00!;10 e 0;1 + 01!;11 e 0;1 + 02!;12 e 0;1 0;9998: C

4.4Теорема Муавра-Лапласа

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме испытаний Бернулли число испытаний n достаточно велико, то для вероятности появления k успехов справедлива приближенная формула

'(x) Pn(k) pnpq;

В практических задачах значения функции Гаусса берут из специальных таблиц.

Таблицы существуют только для положительных значений аргумента x. Если необходимо вычислить функцию Гаусса '(x) для x < 0, нужно использовать четность этой функции: '( x) = '(x).

44

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме испытаний Бернулли число испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что число успехов k заключено в пределах от k1 до k2, вычисляется по следующей приближенной формуле:

В практических задачах значения функции Лапласа берут из специальных таблиц.

Таблицы существуют только для положительных значений аргумента x. Если необходимо вычислить функцию Гаусса (x) для x < 0, нужно использовать нечетность этой функции: ( x) = (x).

Приближенные формулы Лапласа можно использовать, когда выполняется неравенство npq > 10.

Пример. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие имеет нарушение финансовой дисциплины. Требуется найти вероятность того, что из 1600 предприятий имеют нарушение от 750 до 825 предприятий.

B Здесь n = 1600, p = 0;5, np = 800. Формула Пуассона не применима, но применима интегральная теорема Муавра-Лапласа. Имеем:

Из таблицы значений функции Лапласа находим:

( 2;5) = (2;5) = 0;4938; (1;25) = 0;3944:

Искомая вероятность: P = 0;3944 ( 0;4938) = 0;8882. C

45

4.5 Задания

Задачи для практических занятий

4.1.Определите, являются ли приведенные примеры опытов испытаниями, проводимыми по биномиальной схеме. Если не являются, то выясните, какие из необходимых признаков нарушаются.

1. Последовательное подбрасывание n раз симметричной игральной кости.

2. Испытания n изделий при контроле уровня их надежности, если на испытания поставлены образцы, выпущенные различными предприятиями.

3. Проверка на выигрыш n билетов лотереи.

4. Последовательность n выстрелов стрелка по мишени в ситуации, когда стрелок после каждого выстрела, в зависимости от его результата, производит корректировку стрельбы.

5. Последовательность n выстрелов из лука на открытом воздухе при сильном ветре.

4.2.Фирма \Белка” выпустила противопожарные спички: в среднем зажигаются 10 спичек из ста. В коробке осталось 8 спичек. Какова вероятность, что 5 из них можно будет зажечь?

4.3.Что вероятнее: выиграть у равносильного противника три партии из четырех или пять партий из восьми?

4.4.В квартире 4 электрические лампочки. Для каждой лампочки вероятность того, что она выйдет из строя в течение года, равна 0;8. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее половины лампочек?

4.5.В круг вписан квадрат. В данный круг четыре раза бросается наугад точка. Каково наиболее вероятное число точек, попавших в квадрат?

4.6.В урне 100 белых и 80 черных шаров. Из урны извлекают n шаров (с возвратом каждого извлеченного шара). Наиболее вероятное число появлений белого шара равно 11. Найдите n.

4.7.На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

46

4.8.Завод отправил на базу 10000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке, составляет 0,02%. Найдите вероятность того, что из 10000 изделий: а) будет повреждено 3; б) будет повреждено по крайней мере 3.

4.9.Игральную кость подбрасывают 500 раз. Какова вероятность, что шестерка при этом выпадет ровно 50 раз?

4.10.Какова вероятность, что при 100 бросаниях монеты орел появится от 40 до 60 раз (включительно)?

4.11.Менеджер ресторана по опыту знает, что 70% людей, сделавших заказ на вечер, придут в ресторан поужинать. В один из вечеров менеджер решил принять 100 заказов, хотя в ресторане было лишь 75 свободных столиков. Чему равна вероятность того, что более 75 посетителей придут на заказанные места?

4.12.При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставный фонд свыше 100 млн руб. Найдите вероятность того, что среди 1800 банков количество банков, имеющих уставный фонд свыше 100 млн руб., заключено в пределах от 300 до 400 включительно.

Ответы

4.1. 1) да; 2) нет, не выполняется условие постоянства вероятности p

успеха в одном испытании; 3) да; 4) нет, нарушены условия независимости и постоянства вероятности p; 5) нет, опыты происходят не в одинаковых условиях. 4.2. 0;0003. 4.3. Три партии из четырех. 4.4. 0;97.

4.5. 3. 4.6. n1 = 19, n2 = 20. 4.7. 0;18. 4.8. а) 0;18; б) 0;32. 4.9. 0;000016. 4.10. 0;95. 4.11. 0;095. 4.12. 0;99.

Домашнее задание

4.13. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0;3. Найдите вероятность того, что в течение гарантийного срока из пяти телевизоров:

а) потребуют ремонта ровно два; б) все 5 телевизоров потребуют ремонта;

в) не менее 4 телевизоров потребуют ремонта;

47

г) хотя бы один телевизор потребует ремонта.

4.14.Два игрока играют в бильярд. В каждой партии, независимо от результатов других партий, игрок A выигрывает с вероятностью p = 0;7. Что вероятнее для игрока A: выиграть две партии из трех или три из пяти?

4.15.Монета подбрасывается до тех пор, пока герб не выпадет 5 раз. Найдите вероятность, что будет произведено 10 бросков.

4.16.В помещении 7 электролампочек. Вероятность того, что каждая лампочка останется исправной в течение года, равна 0;6. Найдите наиболее вероятное число лампочек, которые будут исправно работать в течение года.

4.17.В среднем левши составляют 1%. Найдите вероятность того, что

ваудитории из 200 студентов окажется: а) ровно 2 левши; б) не менее, чем 4 левши.

4.18.Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0;75. Найдите вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

4.19.Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найдите вероятность того, что при размещении 100 тысяч листков число заказов будет находиться в пределах от 45 до 55 включительно.

Ответы

4.13. а) 0,3087; б) 0,00243; в) 0,03078; г) 0,83193. 4.14. Две партии из трех. 4.15. 0;123. 4.16. 4. 4.17. а) 0;271; б) 0;143. 4.18. 0;017.

4.19. 0;52.

Дополнительные задачи

4.20. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0;15. Поступило 4 вызова. Определите вероятность того, что произошло ровно 3 сбоя.

48

4.21.Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наугад ящике детали окажутся стандартными, равна 0;75. Найдите наиболее вероятное число ящиков, в которых все детали стандартные.

4.22.Первый рабочий за смену может изготовить 120 изделий, а второй 140 изделий, причем вероятности того, что эти изделия высшего сорта, составляют соответственно 0;94 и 0;8. Определите наиболее вероятное число изделий высшего сорта, изготовленных каждым рабочим.

4.23.Пусть вероятность того, что покупателю необходимо купить обувь 41 размера, равна 0;2. Найдите вероятность того, что из 400 покупателей не более 100 потребуют обувь этого размера.

4.24.У страховой компании 10000 клиентов. Каждый из них при страховании вносит 500 руб. Вероятность несчастного случая 0;0055, а страховая сумма, выплачиваемая пострадавшему, составляет 50000 руб. Какова вероятность того, что: а) страховая компания потерпит убыток; б) на выплату страховых сумм уйдет более половины всех средств, поступивших от клиентов?

4.25.У страховой компании 50000 клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 600 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого составляет p = 0;005, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 100 тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с надежностью 0;9?

4.26.Для лица, дожившего до 50-летнего возраста, вероятность смерти на 51-м году равна 0;02. Застрахована группа в 1000 человек 50летнего возраста, причем каждый застрахованный внес 2000 ден. ед. Какую выплату наследникам нужно установить, чтобы вероятность убытка для страховой компании в конце года не превышала 0;1?

Ответы

4.20. 0;011. 4.21. 15. 4.22. 113 и 112. 4.23. 0;994. 4.24. а) 0; б) 0;71. 4.25. 2 млн. 978 тыс. руб. 4.26. 38948 ден. ед.

49

5Дискретные случайные величины

5.1 Определение случайной величины

Пусть дано вероятностное пространство ( ; F; P ).

Случайной величиной, связанной с данным вероятностным пространством называется действительная функция X, определенная на множестве такая, что для любого действительного числа x множество элементарных событий, для которых выполняется неравенство X < x, является событием (т.е. входит в -алгебру F).

Пример. Случайная величина X количество очков, выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина Y расстояние, которое пролетит снаряд, выпущенный из орудия.

5.2Функция распределения случайной величины

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она \распределена” по данному закону распределения или \подчинена” этому закону распределения.

Закон распределения случайной величины любого типа описывается с помощью функции распределения F (x), которая при заданном

50