Пособие по терверу

B Так как распределение случайной величины X симметрично относительно оси ординат, то все нечетные как начальные, так и центральные моменты равны 0, т.е. 1 = 0, 3 = 0, 3 = 0, следовательно, и асимметрия As = 0. Кроме того, так как E(X) = 0, то 2 = 2; 4 = 4.

Для нахождения эксцесса необходимо вычислить четные начальные моменты 2 и 4:

8.3 Задания

Задачи для практических занятий

8.1. Случайная величина X имеет функцию распределения

а) плотность распределения; б) P (X < 1);

в) P (X > 1;5);

г) P (1 < X < 3); д) E(X);

e) центральный момент четвертого порядка.

81

8.2. Случайная величина X имеет плотность распределения

Найдите:

а) P (X > 5);

б) P (0 < X < 2); в) P (X > 0);

г) функцию распределения; д) начальный момент третьего порядка.

8.3. Непрерывная случайная величина X имеет функцию распределе-

:

Найдите: а) значение константы C; б) дисперсию D(X).

8.5.Случайная величина X имеет плотность распределения f(x). Найдите плотность распределения случайной величины Y = 5X 3.

8.6.Случайная величина X имеет плотность распределения

8

>0; если x < 1,

>

<

>

>

:0; если x > 1.

Найдите асимметрию и эксцесс этой случайной величины.

8.7. Дана плотность распределения случайной величины X:

82

Найдите медиану этой случайной величины.

8.8.Найдите квантиль x0;5 и 80%-ную точку случайной величины X

сплотностью распределения f(x) = 3x2 при x 2 [0; 1].

8.9.Функция f(x) задана в следующем виде:

(

0; если x < 1,

f(x) =

xA4 ; если x > 1.

Найдите значение постоянной A, при которой функция f(x) будет плотностью распределения некоторой случайной величины X.

Ответы

Домашнее задание

8.10. Может ли плотность распределения быть:

а) больше единицы при каком-либо значении аргумента? б) отрицательной при каком-либо значении аргумента?

8.11. Дана функция распределения случайной величины X :

:

Найдите

а) значение постоянной a;

б) плотность распределения и постройте ее график; в) вероятность P 34 < X < 2 ;

г) E(X).

83

8.12. Дана плотность распределения случайной величины X :

8

>0; если x < 0,

>

<

f(x) = Cx; если x 2 [0; 4],

>

>

:0; если x > 4.

Найдите

а) значение постоянной C;

б) функцию распределения и постройте ее график; в) вероятности P (X < 1) и P (X > 2);

г) D(X).

8.13.Случайная величина X имеет плотность распределения f(x). Найдите плотность распределения случайной величины Y = X4+1.

8.14.Дана плотность распределения случайной величины X:

8

>0; если x < 3,

>

<

f(x) = 181 x2; если x 2 [ 3; 3],

>

>

:0; если x > 3.

Найдите асимметрию и эксцесс этой случайной величины.

8.15. Дана плотность распределения случайной величины X:

8

>0; если x < 0,

>

<

f(x) = 12x; если x 2 [0; 2],

>

>

:0; если x > 2.

Найдите медиану Me и 25%-ную точку распределения !0;25.

Ответы

8.10. а) да; б) нет. 8.11. а) a = 1; б) f(x) = 2x, x 2 [0; 1]; в) 167 ; г) 23.

8.12. а) C = 18; б) F (x) = 16x2 , x 2 [0; 4]; в) P (X < 1) = 161 ; P (X > 2) = 34;

p

г) D = p53. 8.13. 4f(4x 1). 8.14. As = 0; Ex 1;81. 8.15. Me = 2;

!0;25 = 3.

84

Дополнительные задачи

8.16. Случайная величина X имеет функцию распределения

:

Найдите E(X) и D(X).

8.17. Случайная величина X имеет плотность распределения

Найдите:

а) функцию распределения б) P (0 < X < 2);

в) начальный момент третьего порядка.

8.18. Случайная величина X имеет плотность распределения

:

При каком значении функция F x) может быть принята за функцию распределения случайной величины X? Определите это значение , найдите математическое ожидание и стандартное отклонение соответствующей случайной величины X.

8.20. Случайная величина X имеет плотность распределения

(

0; если x < 0,

f(x) =

ae 2x; если x > 0.

85

Определите: а) значение константы a; б) P (X > 1).

8.21. Дана плотность распределения случайной величины X :

а) асимметрию As; б) медиану Me;

в) 5%-ную точку w0;05.

Ответы

8.16. E(X) = 12; D(X) = 121 . 8.17. а) F (x) = 12x2 108x3 , x 2 [0; 6]; б) P = 277 0;26; в) 43;2. 8.18. C = 6; E(X) = 12; D(X) = 201 .

8.19. = 14; E(X) = 1615; (X) 0;44. 8.20. а) a = 2; б) P 0;135. 8.21. а) As 0;57; б) Me 2;12; в) w0;05 2;92.

86

9Основные непрерывные распределения

9.1 Равномерное распределение

Случайная величина X, принимающая значения в некотором конечном отрезке [a; b], называется равномерно распределенной в этом отрезке, если ее плотность распределения принимает одно и то же значение для всех точек этого отрезка:

Для любого отрезка [ ; ], целиком принадлежащего отрезку [a; b], вероятность того, что случайная величина X принадлежит этому отрезку, пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения внутри [a; b]:

P ( 6 X 6 ) = b a :

Для случайной величины X, имеющей равномерное распределение в отрезке [a; b], математическое ожидание и дисперсия вычисляются по

Пример. Интервал движения автобуса равен 20 мин. Какова вероятность того, что пассажир, приходя на остановку автобуса в случайный момент времени, будет ожидать транспорт не более 5 минут?

BПусть X время ожидания в минутах. Случайная величина X

имеет равномерное распределение на отрезке [0; 20]. Следовательно, плотность распределения f(x) = 201 , x 2 [0; 20]. Тогда

87

9.2 Показательное распределение

Случайная величина X, которая может принимать любые неотрицательные значения, имеет показательное (экспоненциальное) распределение с параметром , если ее плотность распределения f(x) и

функция распределения F (x) определяются по формулам:

f(x) = e x; F (x) = 1 e x; x > 0:

Для случайной величины X, распределенной по показательному закону с параметром , математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:

Пример. Математическое ожидание показательно распределенной случайной величины X равно 5. Требуется найти вероятность p = P (X < 5).

B Так как E(X) = 1= , где параметр распределения, то = 1=5.

Тогда функция распределения случайной величины X имеет следующий вид: F (x) = 1 e x5 , x > 0 и

p = F (5) = 1 e 55 = 1 1e 0;63: C

Пример. p-процентным ресурсом элемента называется такое число t, что за время t элемент не выходит из строя с вероятностью p=100. Считается, что время X непрерывной работы электрической лампочки распределено по показательному закону. Требуется найти вероятность того, что лампочка будет гореть в течение двух лет, если ее 90%-ный ресурс составляет 0;5 года.

B Пусть X время непрерывной работы лампочки в годах; F (x)

функция распределения случайной величины X. Используем два факта: 1) P (X > a) = 1 P (X < a) = 1 F (a); 2) для показательного

88

распределения F (x) = 1 e x.

P (X > 0;5) = 0;9; 1 F (0;5) = 0;9; F (0;5) = 0;1; 1 e 0;5 = 0;1; e 0;5 = 0;9;

0;5 = ln 0;9; = 2 ln 0;9 0;21:

Тогда

P (X > 2) = 1 F (2) = e 0;21 2 = e 0;42 0;66: C

9.3 Нормальное распределение

.

Случайная величина X, которая может принимать любые действительные значения, называется нормально распределенной с параметрами m и 2 (обозначают: X s N m; 2 ), если ее плотность распределения имеет вид:

2

Функция распределения нормального закона:

Для случайной величины X, имеющей нормальное распределение с параметрами m; 2 , математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам:

E(X) = m; D(X) = 2:

Стандартным нормальным распределением называется нормальный закон с параметрами (0; 1). Случайная величина X, имеющая стандартное нормальное распределение, X s N(0; 1), имеет следующие характеристики: E(X) = 0, D(X) = 1.

Плотность распределения стандартного нормального закона имеет вид f(x) = p12 e x2=2 и носит название функции Гаусса.

89

Функция распределения F0(x) для стандартного нормального распределения выражается через функцию Лапласа (x) с помощью соотношения:

F0(x) = (x) + 0;5:

Функция распределения F (x) произвольной нормально распределенной случайной величины с параметрами m; 2 выражается через функцию Лапласа по формуле

F (x) = x m + 0;5:

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины X s N m; 2 в заданный промежуток [a; b] равна

Правило трех сигм.

Пусть X s N(m; 2). Тогда с вероятностью 0;9973 ее значения попадают в интервал (m 3 ; m + 3 ) :

P (m 3 < X < m + 3 ) = 0;9973:

Таким образом, отклонение случайной величины X от своего математи-

ческого ожидания меньше, чем на 3 , почти достоверное событие.

Если X нормально распределенная случайная величина, то для любых чисел a, b (b 6= 0) случайная величина a + bX также нормально

распределена.

Справедлива теорема: сумма нескольких независимых нормально распределенных случайных величин снова имеет нормальный закон распре-

деления.

Пример. Текущая цена ценной бумаги представляет собой нормально распределенную случайную величину X со средним 100 и дисперсией 9. Требуется найти вероятность того, что цена актива будет находиться в

90