Пособие по терверу

3. Извлечение \туза” или \дамы” при извлечении карты из колоды. Справедливы следующие формулы де Моргана:

1.A + B = AB:

2.AB = A + B:

Операции сложения и произведения событий обладают переместительным и сочетательным свойствами:

2.2 Вероятность случайного события

Количественной характеристикой возможности наступления случай-

ного события является вероятность этого события число от 0 до 1.

2.2.1 Классическое определение вероятности

Применяется только в тех случаях, где в силу симметрии или однородности условий нет никаких оснований считать, что одни элементарные события более возможны, чем другие.

Пусть n общее число равновозможных элементарных событий из := f!1; !2; : : : ; !ng, n(A) число тех элементарных событий из , которые образуют A (т.е. появление которых приводит к осуществлению события A). В этом случае принимается следующее определение.

Вероятностью события A называется число P (A) =

Пример. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность того, что выпадет не менее 5 очков.

B Пространство элементарных событий содержит 6 элементов: цифры 1; 2; 3; 4; 5; 6; n = 6. К осуществлению события A = {выпало не менее 5 очков} приводит появление одного из двух элементарных событий: цифр 5 и 6, следовательно, n(A) = 2. В соответствии с классическим определением, P (A) = n(nA) = 26 = 13. C

Пример. Опыт состоит в извлечении наугад одного шара из урны, содержащей 3 белых и 5 черных шаров, которые отличаются лишь цветом. Событие A состоит в извлечении белого шара. Требуется найти P (A).

21

B В этом опыте восемь элементарных событий вынуть первый шар, второй, ..., восьмой. Только n(A) = 3 из n = 8 элементарных событий повлекут за собой наступление события A. В соответствии с классическим определением, P (A) = n(nA) = 38. C

Пример. Из урны с тем же составом шаров извлекают наугад два шара. Какова вероятность, что оба извлеченных шара окажутся белыми?

B Элементарные события это всевозможные наборы из двух шаров, выбранных из имеющихся восьми шаров. Количество таких наборов число сочетаний из 8 элементов по 2:

n = C82 = 2!6!8! = 827 = 28:

Из них к интересующему нас результату будут вести только те, в которых два шара выбирают из имеющихся трех шаров. Таких сочетаний:

n(A) = C32 = 2!1!3! = 3:

В соответствии с классическим определением, P (A) = n(nA) = 283 . C

2.2.2 Геометрическое определение вероятности

Обобщение классического определения на случай, когда пространство элементарных событий является непрерывным, основано на использовании понятия меры. Пусть пространство элементарных событий представляет собой отрезок прямой ( R), или фигуру на плоскости ( R2), или тело в пространстве ( R3). Или даже является частью векторного пространства более высокого числа измерений ( Rn). Пусть событие A состоит в случайном попадании наугад \брошенной” точки в область D.

Вероятностью события называется отношение меры этой области к мере всего пространства элементарных событий: P (A) = jDj=j j. В качестве меры выступает длина, площадь, объем, время и т.д.

Пример. Говорят, что снаряд не попадает дважды в одну воронку. Пусть диаметр воронки d = 5 м, а площадь обстрела представляет собой круг диаметром D = 100 м. Считая, что обстрел ведется равномерно, оценим вероятность попадания снаряда в ту же воронку.

22

B Будем считать вероятность попадания снаряда в пределы круга диаметром d = 5 м. В этом случае мерой является площадь:

2.2.3 Аксиоматическое определение вероятности

Пусть некоторое множество элементарных событий; A; B; : : : его подмножества (события); F некоторая система (набор) событий.

Система событий F называется сигма-алгеброй событий, если выполняются следующие два условия:

1.Если A 2 F, то и A 2 F.

2.Если A1; A2; : : : 2 F, то и A1 + A2 + : : : 2 F.

Пример. Для любого множества система F, состоящая из всех подмножеств множества , является -алгеброй.

Пусть каждому событию A, принадлежащему -алгебре F поставлено в соответствие число P (A). Числовую функцию P , заданную на F, называют вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам.

Аксиома 1. (аксиома неотрицательности). Для любого события A выполняется: P (A) > 0.

Аксиома 2. (аксиома нормированности). P ( ) = 1.

Аксиома 3. (Аксиома счетной аддитивности). Если события A1; A2; : : :

попарно несовместны (т.е. AiAj = ?), то

P (A1 + A2 + : : :) = P (A1) + P (A2) + : : : :

Тройку ( ; F; P ), состоящую из пространства элементарных исходов , с -алгеброй событий F и определенной на вероятности P , называют

вероятностным пространством.

Пример. Пусть некоторое конечное множество, j j = n < 1,

F система всех подмножеств множества , P вероятность, определенная на элементах системы F, вычисляемая с помощью классического

23

определения вероятности: P (A) = jAj=j j. Тогда тройка ( ; F; P ) образует вероятностное пространство.

Свойства вероятности P(A).

1.P (?) = 0, где ? невозможное событие.

2.P (A) = 1 P (A).

3.Для любых событий A и B, таких, что A B выполняется неравенство P (A) 6 P (B).

4.Для любого события A выполняется неравенство 0 6 P (A) 6 1.

Пример. Бросаются две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

B Пусть событие A = {появление хотя бы одной шестерки при двух бросаниях игральных костей}. Тогда A = {выпадение цифр, отличных от \6”}. В соответствии со свойством 2:

2.3 Задания

Задачи для практических занятий

2.1.Бросаются одновременно две игральные кости. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков будет равно 8.

2.2.Игральная кость бросается два раза. Найдите вероятность того, что оба раза появится одинаковое число очков.

2.3.Числа 1; 2; : : : ; 9 записываются в случайном порядке. Найдите вероятность события A = {числа 1 и 2 будут стоять рядом и в порядке возрастания}.

2.4.Из урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров, случайным образом извлекают 3 шара. Найдите вероятность того, что все извлеченные шары будут белыми.

2.5.Имеется две урны: в первой 3 белых и 7 черных шаров; во второй 6 белых и 4 черных шара. Из каждой урны вынимают по шару. Найдите вероятность того, что шары будут разного цвета.

2.6.В ночь на первое апреля группа студентов случайным образом перевесила таблички на десяти дверях помещений первого этажа института.

24

Какова вероятность, что декан, придя утром на работу, увидит на своем кабинете надпись \Столовая”, а на столовой будет вывеска\Спортивный зал”?

2.7.Из урны, в которой 3 белых шара и 7 черных, вынимают подряд все находящиеся в ней шары. Найдите вероятности следующих событий:

а) A = {первым по порядку будет извлечен белый шар}; б) B = {вторым по порядку будет извлечен белый шар}; в) C = {последним по порядку будет извлечен белый шар}.

2.8.На перекрестке установлен автоматический светофор, на котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты красный, затем снова одну минуту зеленый и полминуты красный и т.д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки?

2.9.Внутрь круга радиуса 50 наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата?

2.10.На отрезок AB длины 240 наудачу поставлена точка X. Найдите вероятность того, что меньший из отрезков AX и XB имеет длину большую, чем 48.

2.11.В каждой из четырех урн по 4 белых и 6 черных шаров. Из каждой урны извлекли по одному шару. Какова вероятность того, что извлекли 2 белых и 2 черных шара?

2.12.Выбрасывают шесть игральных костей. Найдите вероятность того, что в полученном наборе из шести цифр будут присутствовать как четные, так и нечетные цифры (хотя бы по одной).

2.13.Независимо друг от друга 5 человек садятся в поезд, содержащий 8 вагонов. Найдите вероятность того, что по крайней мере двое из них окажутся в одном вагоне.

2.14.Имеется две урны: в первой 3 белых, 2 черных и 2 красных шара; во второй 2 белых, 4 черных и 1 красный шар. Из каждой урны вынимают по два шара. Найдите вероятность того, что все 4 шара будут иметь одинаковый цвет.

2.15.Монету бросают до тех пор, пока не выпадет герб. Найдите следующие вероятности:

а) будет произведено 4 бросания (т.е. первое появление герба произойдет при четвертом бросании);

25

б) будет произведено не менее четырех бросаний (т.е. первое появление герба произойдет не ранее чем при четвертом бросании).

Ответы

2.1. 181 . 2.2. 16. 2.3. 19. 2.4. 301 . 2.5. 0;54. 2.6. 901 . 2.7. P (A) = P (B) = = P (C) = 0;3. 2.8. 23. 2.9. 2 0;637. 2.10. 0;6.2.11. 0;3456. 2.12. 3132. 2.13. 407512 0;795. 2.14. 214 0;19. 2.15. а) 161 ; б) 18.

Домашнее задание

2.16.Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков будет больше 9?

2.17.Код домофона состоит из четырех цифр, которые могут повторяться. Какова вероятность того, что случайно набирая цифры, можно угадать код?

2.18.В десятиугольнике случайным образом выбираются две вершины. Чему равна вероятность того, что эти вершины являются соседними?

2.19. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку \отлично”, 10 учеников \хорошо”, 9 учеников \удовлетворительно”. Какова вероятность того, что все три ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе?

2.20.Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров, случайным образом извлекаются 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся белыми?

2.21.20 студентов пошли в поход. Из них 5 обгорели на солнце, 8 были сильно искусаны комарами, а 10 не пострадали и остались всем довольны. Какова вероятность того, что обгоревший студент не был искусан комарами?

2.22.Интервал движения автобуса равен 20 мин. Какова вероятность того, что пассажир, приходя на остановку автобуса в случайный момент времени, будет ожидать транспорт не более 5 минут?

2.23.На отрезок AB длины 120 наудачу поставлена точка X. Найдите вероятность того, что меньший из отрезков AX и XB имеет длину меньшую, чем 30.

26

2.24.Студент знает 14 вопросов из 20. В билете содержится 4 вопроса. Найдите вероятность того, что студент ответит хотя бы на 2 вопроса.

2.25.В урне находятся 1 белый, 2 черных и 3 красных шара. Из нее наугад извлекают один за другим по одному шару. Какова вероятность того, что белый шар появится раньше красного?

2.26.Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет цифра \6”. Какова вероятность того, что будет произведено 6 бросаний (т.е. первое появление цифры \6” произойдет при шестом бросании)?

Ответы

2.16. 16. 2.17. 0;0001. 2.18. 29. 2.19. 4061 0;00246.2.20. 151 . 2.21. 0;4. 2.22. 14. 2.23. 0;5. 2.24. 0;92. 2.25.14. 2.26. 0;067.

Дополнительные задачи

2.27.Рассматривается множество всевозможных треугольников. Опыт состоит в случайном выборе одного из них. Даны события: A = {выбранный треугольник является равносторонним}; B = {выбранный треугольник является равнобедренным}. Найдите A + B и AB.

2.28.Подбрасываются две монеты. Элементарные события: A1 = {появление герба на первой монете}; A1 = {появление цифры на первой монете}; A2 = {появление герба на второй монете}; A2 = {появление цифры на второй монете}. Выразите через A1; A1; A2; A2 следующие события:

1) появление двух гербов;

2) появление двух цифр;

3) появление хотя бы одного герба;

4) появление ровно одного герба;

5) появление не более одной цифры; 6) появление на первой монете герба, на второй монете цифры.

2.29.Стрелок произвел три выстрела по мишени. Обозначим события:

Ai = {попадание при i-м выстреле}, Ai = {промах при i-м выстреле},

i = 1; 2; 3. Выразите через Ai; Ai следующие события:

1)только одно попадание;

2)три промаха;

27

3)хотя бы один промах;

4)три попадания;

5)не менее двух попаданий;

6)не больше одного попадания;

7)попадание в мишень после первого выстрела (при первом выстреле промах, затем хотя бы одно попадание).

2.30.Наугад выбирается пятизначное число. Какова вероятность события A = {число одинаково читается как слева направо, так и справа налево (как, например, 24142)}?

2.31.Числа 1; 2; : : : ; 9 записываются в случайном порядке. Найдите вероятность события A = {на четных местах будут стоять четные числа}.

2.32.В квадрат со стороной 10 см случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем в 2 см от центра квадрата.

2.33.На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 20 и 100 соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

2.34.В круг вписан правильный треугольник. В круг случайным образом бросается точка. Чему равна вероятность того, что точка попадет внутрь треугольника?

2.35.Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что хотя бы на одной кости выпадет 6 очков?

2.36.Найдите вероятность того, что случайно выбранное целое число из первого миллиона (от 0 до 999999) содержит цифру 1 в десятичной записи.

2.37.Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот, у которого раньше появится герб. Найдите вероятность выигрыша каждого из игроков.

2.38 Вы задались целью найти человека, день рождения которого совпадает с вашим. Сколько незнакомцев вам придется опросить, чтобы вероятность встречи такого человека была не меньше 0;5?

2.39. Секретарь должна была разложить 4 письма, написанных по разным адресам, в 4 заранее заготовленных конверта. Второпях она

28

разложила их случайным образом. Найдите вероятность того, что хотя бы одно письмо дойдёт до нужного адресата.

Ответы

2.27. A+B = B; AB = A. 2.28. 1) A1A2; 2) A1A2; 3) A1 +A2 = A1A2 +

+A1A2+A1A2; 4) A1A2+A1A2; 5) A1A2+A1A2+A1A2 = A1+A2; 6) A1A2.

2.29. 1) A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3; 2) A1A2A3 = A1 + A2 + A3;

3) A1 + A2 + A3 = A1A2A3; 4) A1A2A3; 5) A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + + A1A2A3 = A1A2 + A2A3 + A1A3; 6) A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 +

A1A2A3 = A1A2+A2A3+A1A3; 7) A1(A2A3+A2A3+A2A3) = A1(A2 + A3).

2.30. 10p10. 2.31. 1261 0;008. 2.32. 25+4100 0;376. 2.33. 0;96.

2.34. 34 3 0;413. 2.35. 1136 0;306. 2.36. 0;469. 2.37. 23 и 13. 2.38. 253. 2.39. 58.

29

3 Основные формулы для вычисления

вероятностей

3.1 Теорема сложения

Для любых двух событий A и B справедлива формула:

P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB):

Пример. Бросаются две игральные кости. Требуется определить вероятность появления хотя бы одной шестерки.

B Пусть A = {появление шестерки на первой кости}, B = {появление шестерки на второй кости}. Тогда A+B = {появление хотя бы одной шестерки при бросании костей}. События A и B совместные. Произведение событий AB = {появление двух шестерок}; P (AB) = 361 . Итак,

P (A + B) = P (A) + P (B) P (AB) = 16 + 16 361 = 1136: C

Теорема сложения обобщается на произвольное число сомножителей. Так, для трех событий A, B, C справедливо соотношение

P (A + B + C) =

=P (A) + P (B) + P (C) P (AB) P (AC) P (BC) + P (ABC):

3.2Условная вероятность

Пусть A и B два события, рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного события (скажем, B) может влиять на возможность

30