Пособие по терверу

наступления другого (A). Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности.

Условной вероятностью события A при условии, что произошло событие B, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события B, причем P (B) 6= 0. Условная вероятность обозначается символом P (AjB).

Формула для условной вероятности. По определению,

Аналогично определяется P (BjA):

Пример. Брошены две игральные кости. Требуется найти вероятность того, что сумма выпавших на них очков равна 8 (событие A), если известно, что эта сумма есть четное число (событие B).

B Первый способ. Общее число возможных случаев 36, благоприятствующих событию A: 5 ((2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3); (6; 2)). Таким образом, безусловная вероятность P (A) = 365 .

Так как A B, то AB = A и

P (AjB) = P (AB) = P (A) = 5=36 = 5 :

P (B) P (B) 1=2 18

Второй способ. Если событие B произошло, то новое пространство элементарных событий содержит уже не 36, а 18 элементов (те исходы, в которых сумма очков четная) и, следовательно, условная вероятность равна 185 . C

3.3 Независимые события

Случайные события A и B называются независимыми, если условная вероятность события A при условии B совпадает с безусловной вероятностью события A, т.е.

P (A j B) = P (A):

31

Пример. Два раза бросается монета. События A = {при первом бросании выпал герб} и B = {при втором бросании выпал герб} независимые.

Пример. В урне 2 шара, белый и черный. Последовательно, наугад извлекаются сначала один шар, затем второй. События A = {первый извлеченный шар оказался белым} и B = {второй извлеченный шар оказался белым} зависимые.

Теорема умножения. Для произвольных событий A и B имеют место следующие правила вычисления вероятности их произведения:

P (AB) = P (A) P (B j A);

P (AB) = P (B) P (A j B):

Если A и B независимые события, то P (AB) = P (A)P (B).

Пример. Три раза бросается игральная кость. Какова вероятность, что хотя бы один раз выпадет цифра \6”?

B Пусть A искомое событие. Тогда противоположное событие A :

{при трех бросаниях ни разу не выпала цифра \6”} можно представить как произведение событий B1, B2, B3, где Bi = {при i-м бросании выпала цифра, отличная от цифры \6”}, i = 1; 2; 3. События Bi независимые, и по теореме умножения

Тогда P (A) = 1 125216 = 21691 . C

Пример. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна

0;9, для второго 0;7. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок?

B Пусть Ai = {попадание в цель i-го стрелка, i = 1; 2}; B = {в мишени одна пробоина}. Событие B происходит, когда первый стрелок попадает, второй промахивается (A1A2), или первый промахивается, второй

попадает (A1A2). Указанные два события несовместные, поэтому

P (B) = P (A1A2 + A1A2) = P (A1A2) + P (A1A2):

Попадание в цель для одного и для второго стрелка события независимые, поэтому события A1 и A2, а также A1 и A2 независимые,

32

следовательно,

P (A1A2) + P (A1A2) = P (A1)P (A2) + P (A1)P (A2) =

= 0;9 0;3 + 0;1 0;7 = 0;34: C

Независимость n событий, n > 2. События A1, A2, : : :, An называются независимыми, если вероятность любого из них не меняется при наступлении какого угодно числа событий из остальных. Для независимых событий теорема умножения имеет вид:

P (A1A2 : : : An) = P (A1)P (A2) P (An):

Теорема умножения обобщается на произвольное число сомножителей. Так, для трех событий A, B, C справедливо соотношение

P (ABC) = P (A)P (B j A)P (C j AB):

Пример. В урне 6 красных, 5 черных и 4 белых шара. Из урны поочередно извлекают по одному шару, не возвращая их обратно. Требуется найти вероятность того, что при первом извлечении появится красный шар, при втором черный, при третьем белый.

B Пусть A = {при первом извлечении красный шар}; B = {при втором извлечении черный шар}; C = {при третьем извлечении белый шар}. По теореме умножения

P (ABC) = P (A)P (B j A)P (C j AB) = 156 145 134 = 914 : C

Пример. Бросается игральная кость. Событие A = {появление четного числа очков}, B = {появление более трех очков}. Зависимы или нет события A и B?

B Событие A состоит из трех элементарных событий: f2; 4; 6g, следовательно, P (A) = 36 = 12; событие B также состоит из трех элементарных событий: f4; 5; 6g, P (B) = 12. Событие AB, состоящее в появлении четного числа очков, большего трех, состоит из двух элементарных событий: f4; 6g, поэтому P (AB) = 26 = 13. Так как P (AB) 6= P (A) P (B), то события A и B зависимые. C

Замечание. Если имеется некоторый набор событий A1, A2, : : :, An, n > 2 и любые два события из этого набора независимы, то из этого еще

33

не следует, что все события A1, A2, : : :, An независимы. Говорят еще так: из попарной независимости событий не следует независимость событий в совокупности.

Пример. Бросаются две монеты. Пусть A = {на первой монете выпал герб}, B = {на второй монете выпал герб}, C = {обе монеты упали одинаковым образом}. Требуется определить, независимы ли эти события

попарно и в совокупности.

B Пространство элементарных событий = {гг,гц,цг,цц}. Имеем:

Итак, события в системе являются попарно независимыми, но независимыми в совокупности не являются: события A, B и C зависимые. C

Для событий, являющихся совместными, но независимыми, вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятностей отдельных событий, используя формулы де Моргана.

Пример. События A, B, C и D независимы и P (A) = 0;8; P (B) = 0;9;

P (C) = 0;7; P (D) = 0;5. Требуется найти P (A + B + C + D).

B Переходим к противоположному событию, используем формулу де Моргана и независимость событий.

P (A + B + C + D) = 1 P (A + B + C + D) =

=1 P (A B C D) = 1 P (A)P (B)P (C)P (D) =

=1 0;2 0;1 0;3 0;5 = 0;997: C

3.4Формула полной вероятности

Говорят, что события H1, H2, : : :, Hn составляют полную группу событий, если все они попарно несовместны и в сумме составляют все пространство элементарных событий.

Пример. 1. Опыт два выстрела по мишени; события: H1 = {ни одного попадания}, H2 = {одно попадание}, H3 = {два попадания} образуют полную группу событий.

34

2.Опыт бросание двух монет; события: H1 = {появление двух гербов}, H2 = {появление двух цифр} не образуют полную группу событий, так как не выполняется требование H1 + H2 = (возможен еще один исход опыта: появление одного герба и одной цифры).

3.Опыт два выстрела по мишени; события: H1 = {хотя бы одно попадание}; H2 = {хотя бы один промах} не образуют полной группы событий. В сумме эти два события исчерпывают все возможности,

H1 + H2 = , но не выполняется требование несовместности: множество

H1H2 = {одно попадание и один промах} не пустое.

Когда осуществление события A зависит от того, какое из событий H1,

H2, . . . , Hn, составляющих полную группу событий, произошло, применяют формулу полной вероятности:

n

X

P (A) = P (Hi)P (A j Hi):

i=1

Пример. В группе из 20 стрелков имеются 4 отличных, 10 хороших и 6 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для отличного стрелка равна 0;9, для хорошего 0;7, для посредственного 0;5. Требуется найти вероятность того, что наудачу выбранный стрелок попадет в цель.

B Пусть событие A = {наудачу выбранный стрелок попадет в цель};

гипотезы:

Искомая вероятность вычисляется по формуле полной вероятности:

P (A) = P (H1)P (A j H1) + P (H2)P (A j H2) + P (H3)P (A j H3) =

=0;2 0;9 + 0;5 0;7 + 0;3 0;5 = 0;68: C

3.5Формула Байеса

Формула Байеса позволяет пересчитывать имеющиеся априорные (доопытные) вероятности гипотез H1, H2, : : :, Hn, когда становится известно,

35

P

Пример. Из 10 стрелков 3 попадают в цель с вероятностью 0;8 и 7

с вероятностью 0;4. Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Требуется выяснить,что вероятнее: принадлежит он к первым трем или к семи последним.

B Пусть A = {наудачу выбранный стрелок попал в цель}; гипотезы

H1 = {наудачу выбранный стрелок оказался из числа первых трех};

H2 = {наудачу выбранный стрелок оказался из числа последних семи}. Тогда P (H1) = 0;3; P (H2) = 0;7; P (A j H1) = 0;8; P (A j H2) = 0;4. По формуле полной вероятности

P (A) = P (H1) P (A j H1) + P (H2) P (A j H2) = 0;3 0;8 + 0;7 0;4 = 0;52:

По формуле Байеса, апостериорные (послеопытные) вероятности ги-

Итак, более вероятно, что стрелял стрелок, принадлежащий группе из числа последних семи. C

3.6 Задания

Задачи для практических занятий

3.1.Вероятность выигрыша по любому билету лотереи равна 0;05. Приобретено 100 билетов. Чему равна вероятность выигрыша хотя бы по одному билету?

3.2.Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0;8, для второго 0;7, для третьего 0;9. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадут все 3 стрелка?

36

3.3.Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0;9, для второго 0;7. Каждый из стрелков делает по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок?

3.4.12 студентов получили дисциплинарные выговоры в деканате: трое за опоздания на занятия, трое за прогулы, двое за неуспеваемость и четверо за курение в здании учебного заведения. Найдите вероятность того, что двое случайно выбранных штрафников получили выговор за одно и то же нарушение.

3.5.Брошены две игральные кости. Найдите условную вероятность того, что произведение выпавших очков больше 30, если известно, что их сумма больше 10.

3.6.Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что на первой кости выпала единица, если известно, что на второй кости выпало очков больше, чем на первой?

3.7.Имеется набор из трех цифр {1, 2, 3}. Из этого набора случайным образом одну за другой извлекают все цифры. События: A = {первая извлеченная цифра меньше второй извлеченной цифры}; B = {второй по порядку извлекли цифру 2}. Зависимы или нет события A и B?

3.8.В урне 6 красных, 5 черных и 4 белых шара. Из урны поочередно извлекают по одному шару, не возвращая их обратно. Найдите вероятность того, что при первом извлечении появится красный шар, при втором черный, при третьем белый.

3.9.Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на 3 из четырех поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет?

3.10.Подбрасываются три игральные кости. События: A = {на трех костях выпадут разные числа}, B = {хотя бы на одной кости выпадет шестерка}. Найдите P (A j B) и P (B j A).

3.11.Имеются 2 урны. В первой 1 белый и 2 черных шара, во второй 2 белых и 1 черный шар. Из первой урны наугад извлекается 1 шар

иперекладывается во вторую урну. После этого из второй урны наугад извлекается 1 шар и перекладывается в первую урну. Найдите вероятность того, что после указанных операций состав шаров в первой урне не изменится.

37

3.12.В урне 3 белых и 1 красный шар. Два игрока поочередно без возвращения извлекают по одному шару. Выигрывает тот игрок, который первым извлечет красный шар. Найдите вероятность выигрыша игрока, начавшего игру.

3.13.Имеются три урны. В первой 4 белых шара и 8 черных; во второй 6 белых и 3 черных; в третьей только белые шары. Выбирается наугад одна из урн и из нее случайным образом извлекается один шар. Найдите вероятность того, что этот шар белый.

3.14.Каждая из трех урн содержит 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наугад извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наугад извлечен один шар и переложен в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, извлеченный случайным образом из третьей урны, окажется белым.

3.15.Имеются три урны: в первой из них 3 белых шара и 7 черных; во второй 6 белых и 4 черных шара; в третьей все 10 шаров белые. Выбирается наугад одна из урн и из нее извлекается шар. Этот шар оказался белым. Найдите вероятность того, что этот шар извлечен из третьей урны.

Ответы

3.1. 0;994. 3.2. 0;504. 3.3. 0;34. 3.4. 1366 0;197. 3.5. 13. 3.6. 13. 3.7. Не-

зависимы. 3.8. 914 0;044. 3.9. 0;9. 3.10. P (A j B) = 6091 0;66;

P (B j A) = 12. 3.11. 127 . 3.12. 12. 3.13. 23. 3.14. 0;4. 3.15. 1019 0;526.

Домашнее задание

3.16. Предприятию для успешного выпуска своей продукции необходима поставка комплектующих от двух смежников. Вероятность отказа в поставке продукции от первого из смежников равна 0;03, от второго

0;07. Найдите вероятность сбоя в работе предприятия.

3.17. Два стрелка стреляют по мишени. Первый стрелок делает 1 выстрел, вероятность его попадания 0;9. Второй стрелок делает 2 выстрела, вероятность попадания при каждом выстреле 0;7. Какова вероятность того, что в результате трех выстрелов будет 2 попадания?

38

3.18.Бросают две игральные кости. Известно, что выпала сумма очков, равная 5. Какова вероятность того, что выпали цифры \2” и \3”?

3.19.В урне 4 белых, 6 красных и 5 черных шара. Наудачу извлекаются 2 шара. Какова вероятность, что извлечены шары разного цвета, если известно, что среди них нет шаров красного цвета?

3.20.Брошены 3 игральные кости. Событие A = {на первой и второй кости выпало одинаковое число очков}, B = { на второй и третьей кости выпало одинаковое число очков}. Выясните, являются ли события A и

Bнезависимыми.

3.21.Среди водителей 20% робкие, 40% лихачи, остальные солидные. Вероятность попасть в аварию в течение одного года для водителей этих категорий составляет 0;2; 0;6 и 0;05 соответственно. А. Какова вероятность того, что наугад выбранный водитель попадет в течение года в аварию? Б. Один водитель попал в аварию. Какова вероятность того, что это был лихач?

Ответы

3.16.0;0979. 3.17. 0;427. 3.18. 12. 3.19. 59. 3.20. Являются. 3.21. А. 0;3;

Б.0;8.

Дополнительные задачи

3.22.Вероятность того, что телевизор не выйдет из строя, проработав 100 часов, равна 0;8, а вероятность того, что он не выйдет из строя, проработав 200 часов, равна 0;6. Найдите вероятность того, что телевизор, проработавший безотказно 100 часов, не выйдет из строя и в следующие 100 часов.

3.23.События A, B, C независимы. Известны вероятности:

P (A) = 0;8; P (B) = 0;7; P (C) = 0;6. Найдите: а) P [(A + B)(B + C)];

б) P (AB j B + C).

3.24.Какую наименьшую вероятность может иметь событие ABC, если P (A) = 0;9; P (B) = 0;8; P (C) = 0;7?

3.25.Из урны, в которой лежат 3 белых и 2 черных шара, наугад извлекают два шара, окрашивают в черный цвет и кладут обратно. А. Найдите вероятность того, что наугад извлеченный из урны шар окажется

39

черным. Б. Из урны случайным образом извлекают один шар он оказался черным. Какова вероятность того, что первоначально извлеченные шары не меняли своего цвета, т.е. были черными?

3.26.В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в количественном отношении 3 : 2 : 5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от первого, второго и третьего поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

3.27.Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0;8; для второго 0;4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит первому стрелку?

3.28.Из колоды в 36 карт извлекается наудачу одна карта. Зависимы ли события A = {извлечена дама} и B = {извлечена карта пиковой масти}?

3.29.По данным переписи населения в некоторой местности установлено: пары из темноглазых отцов (событие A) и темноглазых сыновей (событие B) составляют 5% от всех обследованных пар; пары темноглазых отцов и светлоглазых сыновей 7,9%, светлоглазых отцов и темноглазых сыновей 8,9%; светлоглазых отцов и светлоглазых сыновей

78,2%. Исследуйте связь между цветом глаз отца и сына, найдя вероят-

ности P (B j A); P (B j A); P (B j A); P (B j A).

3.30.Имеется 10 монет, причем 9 из них обычные, а у одной вследствие заводского брака с обеих сторон отчеканен герб. Наугад выбранную монету, не разглядывая, бросают 10 раз, причем при всех бросаниях она ложится гербом сверху. Найдите вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами.

3.31.При переливании крови нужно учитывать группы крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой группой можно перелить кровь только первой группы. Среди населения

40