Пособие по терверу

B Находим плотности распределения компонент вектора.

3. Произведение плотностей имеет вид: fX(x) fY (y) = cos x cos y, когда точка (x; y) принадлежит квадрату 0 6 x 6 =2; 0 6 y 6 =2. Вне квадрата произведение плотностей равно 0. Таким образом, справедливо равенство fX(x) fY (y) = f(x; y), следовательно, случайные величины

X и Y независимы. C

10.4 Системы n случайных величин

Пусть имеется набор случайных величин X1, X2, : : :, Xn.

Ковариационной матрицей C = (cij) и корреляционной матрицей R = ( ij) называются матрицы порядка n, составленные из всех

101

парных ковариаций cij = Cov(Xi; Xj) и всех коэффициентов корреляции

ij = (Xi; Xj), i; j = 1; : : : ; n.

Свойства ковариационной и корреляционной матриц:

1.Ковариационная и корреляционная матрицы являются симметричными матрицами.

2.Ковариационная и корреляционная матрицы неотрицательно определены.

3.Определители этих матриц неотрицательны.

4.Определитель корреляционной матрицы не превосходит единицу: det R 6 1.

Пример. Дисперсии независимых случайных величин U, V равны 1. Для случайных величин X = U +V , Y = 7U +V , Z = 7U V требуется найти: а) ковариационную матрицу C; б) корреляционную матрицу R.

B Находим ковариации.

c11 = Cov(X; X) = D(X) = D(U + V ) = D(U) + D(V ) = 2; c22 = Cov(Y; Y ) = D(Y ) = D(7U + V ) = 49 1 + 1 = 50; c33 = Cov(Z; Z) = D(Z) = D(7U V ) = 49 1 + 1 = 50;

c12 = c21 = Cov(X; Y ) = Cov(U + V;7U + V ) = 7 Cov(U; U) +

+ Cov(U; V ) + 7 Cov(V; U) + Cov(V; V ) = 7D(U) + 0 + 0 + D(V ) = 8;

c13 = c31 = Cov(X; Z) = Cov(U + V;7U V ) =

= 7 Cov(U; U) Cov(V; V ) = 6;

c23 = c32 = Cov(Y; Z) = Cov(7U + V;7U V ) =

= 49 Cov(U; U) Cov(V; V ) = 49 1 = 48:

Ковариационная матрица:

01

Находим значения коэффициентов корреляции.

102

Корреляционная матрица:

01

10.5 Задания

Задачи для практических занятий

10.1. Закон распределения случайного вектора (X; Y ) задан таблицей

Найдите а) E(X + Y ); б) D(X + Y ).

10.2. Случайный вектор (X; Y ) задан законом распределения

Найдите условный закон распределения случайной величины X

при Y = 0.

10.3. Дискретные случайные величины X и Y и их произведение

Z = XY имеют следующие распределения:

Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

10.4. Случайный вектор (X; Y ) распределен в соответствии с таблицей

103

Докажите, что случайные величины X и Y некоррелированные, но зависимые.

10.5. Дана плотность распределения случайного вектора Z = (X; Y ):

Найдите функцию распределения вектора Z.

10.6. Дана функция распределения случайного вектора Z = (X; Y ) :

Найдите плотность распределения вектора Z.

10.7. Случайный вектор (X; Y ) имеет плотность распределения

Являются ли случайные величины X и Y зависимыми?

10.8. Случайный вектор (X; Y ) имеет плотность распределения

Найдите xy.

10.9. Распределение вероятностей случайного вектора (X1; X2) задано таблицей

Найдите ковариационную и корреляционную матрицы случайных величин X1 и X2.

Ответы

104

10.6. f(x; y) = 8e 4x 2y, x; y > 0. 10.7. Являются. 10.8. 0.

Домашнее задание

10.10. Закон распределения случайного вектора (X; Y ) задан таблицей

1.Найдите вероятность события fX 6 Y g.

2.Установите, зависимы ли случайные величины X и Y .

10.11. Случайный вектор (X; Y ) распределен в соответствии с таблицей

Требуется найти условный закон распределения случайной величины Y

при X = 2.

10.12. Закон распределения случайного вектора (X; Y ) задан табли-

цей

Найдите коэффициент корреляции xy.

10.13. Случайный вектор (X; Y ) имеет плотность распределения

(

C; если (x; y) 2 G,

f(x; y) =

0; если (x; y) 2= G,

где G = f(x; y) : 1 6 x 6 2; 0 6 y 6 1g. Найдите

1)величину постоянной C;

2)плотность распределения случайных величин X и Y ;

3)P (X > 0);

4)выясните, являются ли случайные величины X и Y зависимыми.

105

10.14.Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезках: X на [ 1; 1], Y на [ 2; 2]. Найдите P X2 + Y 2 < 1 .

10.15.Плотность распределения случайного вектора (X; Y ) имеет вид:

Найдите ковариацию Cov(X; Y ).

10.16. Распределение вероятностей случайного вектора (X1; X2) задано таблицей

Найдите ковариационную и корреляционную матрицы случайных величин X1 и X2.

Ответы

Дополнительные задачи

10.17. Закон распределения случайного вектора (X; Y ) задан таблицей:

106

Найдите коэффициент корреляции xy.

10.18.В урне содержится 3 белых и 2 черных шара. Из нее случайным образом извлекается 2 шара без возвращения. Пусть случайная величина X число белых шаров в выборке, случайная величина Y число черных шаров в выборке. Найдите закон распределения случайного вектора (X; Y ) и коэффициент корреляции xy.

10.19.Случайный вектор (X; Y ) распределен в соответствии с табли-

цей

Найдите D(X + Y ).

10.20. Дискретные независимые случайные величины X и Y имеют следующие законы распределения:

Найдите закон распределения случайного вектора (U; V ), компоненты которого определяются формулами: U = minfX; Y g, V = maxfX; Y g. Зависимы ли случайные величины U и V ?

10.21. Случайная величина X равномерно распределена в промежутке [0; 2 ]; Y = cos X; Z = sin X. Найдите yz. Являются ли случайные величины Y и Z зависимыми?

Ответы

10.21. yz = 0; Y и Z зависимы.

107

11Функции от случайных величин

11.1 Закон распределения монотонной функции от абсолютно непрерывной случайной величины

Пусть X абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью распределения fX(x), а '(x) монотонная дифференцируемая функция. Тогда плотность распределения случайной величины Y = '(X)

определяется по формуле

Пример. Случайная величина X имеет плотность распределения

B Функция '(x) = 1=x при x > 0 является монотонно убывающей, поэтому справедлива формула для нахождения плотности распределе-

108

11.2 Закон распределения суммы двух случайных величин

Если случайный вектор (X; Y ) распределен с плотностью f(x; y), то случайная величина Z = X + Y имеет плотность fZ(z), которая определяется формулой

Если случайные величины X и Y независимы, то f(x; y) = fX(x)fY (y). В этом случае формула принимает вид:

Операция, которая каждой паре функций fX(x) и fY (y) ставит в соответствие функцию fZ(z) по приведенной выше формуле, называется

свертыванием, а функция fZ (z) называется сверткой и кратко записывается в виде: fZ = fX fY .

Пример. Даны две независимые случайные величины X и Y , распределенные равномерно на отрезке [0; 1]. Требуется найти плотность распределения их суммы Z = X + Y .

B Используем формулу свертки: fZ(z) = R 11 fX(x)fY (z x) dx. Плотности распределения случайных величин X и Y имеют вид:

fX(x) = fY (y) = 1; x; y 2 [0; 1]:

109

Так как X 2 [0; 1], Y 2 [0; 1], то случайная величина Z принимает значения только в отрезке [0; 2], причем должны выполняться условия:

0 6 x 6 1 и 0 6 z x 6 1, откуда z 1 6 x 6 z. Следовательно, если

z2 [0; 1], то x 2 [0; z], если z 2 [1; 2], то x 2 [z 1; 1]. Итак, если z 2 [0; 1],

z z

Z Z

fZ(z) = fX(x)fY (z x) dx = (1 1) dx = z:

0 0

Если z 2 [1; 2],

11.3 Задания

Задачи для практических занятий

11.1. Случайный вектор (X; Y ) имеет следующее распределение:

110