Пособие по терверу

значении аргумента x совпадает с вероятностью того, что случайная величина X приняла значение меньше, чем x: F (x) = P (X < x).

Свойства функции распределения.

1.0 6 F (x) 6 1.

2.F (x) неубывающая функция.

3.F (x) непрерывна слева.

5. P (a 6 X < b) = F (b) F (a).

5.3 Дискретные случайные величины

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, у которой множество возможных значения является конечным или счетным.

Примеры.

1.Случайная величина X количество очков, выпавших при бросании игральной кости. Множество возможных значений (1; : : : ; 6) содержит 6 элементов.

2.Случайная величина Z количество звонков, принятых на телефонной станции в течение суток. Возможные значения образуют счетное множество: 0; 1; 2; : : :.

3.Примером случайной величины, не являющейся дискретной, служит расстояние Y , которое пролетит снаряд, выпущенный из орудия.

Ряд распределения дискретной случайной величины

Наиболее удобным способом задания закона распределения дискретной случайной величины является ряд распределения, в первой строке которой перечисляются все возможные значения случайной величины, а во второй соответствующие вероятности, с которыми случайная величина эти значения принимает.

51

Всегда выполняется соотношение: p1 + p2 + : : : = 1.

Пример. Ряд распределения случайной величины X, равной числу очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, имеет вид:

Пример. Монета бросается два раза. Случайная величина Y количество случаев выпадения герба. Тогда

Ряд распределения имеет вид:

Пример. В автомагазине ведется ежедневная запись числа продаваемых машин. Эти данные использованы для составления ряда распределений случайной величины X числа ежедневных продаж:

Требуется найти вероятность того, что на следующий день число проданных автомобилей составит от 2 до 4 включительно.

B Искомая вероятность определяется путем сложения соответствующих значений ряда распределения:

P (2 6 X 6 4) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) =

= 0;2 + 0;2 + 0;3 = 0;7: C

Если случайная величина X дискретная, имеющая ряд распределения

52

то ее функция распределения имеет следующий вид:

5.4 Независимые случайные величины

Произвольные случайные величины X1, X2, : : :, Xn называются независимыми, если независимы всякие n событий вида fX1 2 B1g, fX2 2 B2g,

. . . , fXn 2 Bng где B1, B2, : : :, Bn подмножества R.

Дискретные случайные величины X1, X2, : : :, Xn являются независимыми, если для любого набора возможных значений a1, a2,

: : :, an выполняется равенство

P (X1 = a1; X2 = a2; : : : ; Xn = an) =

=P (X1 = a1) P (X2 = a2) P (Xn = an):

5.5Функции от дискретных случайных величин

Пусть X дискретная случайная величина. Новая случайная вели-

чина Y строится по X с помощью заданной числовой функции g(x):

Y = g(X).

Если закон распределения случайной величины X задан таблицей

то ряд распределения величины Y = g(X) имеет следующий вид:

53

Если среди значений Y имеются равные, то соответствующие столбцы надо объединить в один столбец, сложив соответствующие вероятности.

Пример. Случайная величина задана рядом распределения

Требуется составить ряд распределения величины Y = X2 + 1.

B Возможными значениями Y являются числа 1, 2, 5.

Действия над дискретными случайными величинами.

Часто для случайных величин X и Y , образующих систему, приходится рассматривать их сумму и произведение. В более общем случае можно рассматривать случайную величину Z = g(X; Y ), где g(x; y)

некоторая числовая функция.

Пусть X и Y независимые дискретные случайные величины, заданные таблицами

В этом случае величина Z = g(X; Y ) также будет дискретной. Ее возможными значениями будут числа: z11 = g(x1; y1), z12 = g(x1; y2), : : :

Закон распределения величины Z задается следующей таблицей

Если в полученной таблице будут встречаться столбцы с одинаковыми значениями zij, их следует объединить в один столбец, сложив стоящие в них вероятности pi qj.

54

5.6 Задания

Задачи для практических занятий

5.1.Рассматривается работа двух независимо работающих устройств. Вероятность нормальной работы первого устройства равна 0;6, для второго соответствующая вероятность составляет 0;8. Случайная величина X число работающих устройств. Постройте ряд распределения величины X.

5.2.Экзаменатор задает студенту вопросы до тех пор, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырех либо студент ответит неправильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос 23. Составьте закон распределения числа заданных вопросов.

5.3.Три раза бросается монета. Случайная величина X модуль разности числа появлений герба и числа появлений цифры. Опишите ее закон распределения.

5.4.Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0;8. Стрелку выдают один патрон, он производит выстрел. Если он попадает, все заканчивается, если нет, ему выдается новый патрон, и так до тех пор, пока он впервые не попадет в мишень. Постройте ряд распределения случайной величины X числа выданных патронов.

5.5.Случайная величина X имеет функцию распределения

8

>0; если x < 2,

>

<

>

>

:1; если x > 4:

Найдите следующие вероятности:

а) P (X < 1);

б) P (X < 3);

в) P (X > 3;5);

г) P (1 < X < 3).

5.6. Случайная величина X имеет следующий ряд распределения:

55

Постройте ряд распределения случайной величины Y = X2.

5.7. Случайные величины X1 и X2 независимы и имеют одинаковые законы распределения:

Найдите вероятность события X1 + X2 > 1.

5.8. Случайные величины X1, X2 и X3 независимы и имеют одинаковые законы распределения:

Найдите вероятность события X1 + X2 > X3.

5.9. Дискретные независимые случайные величины X и Y имеют следующие законы распределения:

Новые случайные величины U и V строятся из величин X и Y по следующим формулам: U = minfX; Y g, V = maxfX; Y g. Найдите законы распределения величин U и V и выясните, являются ли эти величины зависимыми.

5.10. Независимые дискретные случайные величины X, Y , Z принимают только целые значения: X от 1 до 12 с вероятностью 121 , Y от 1 до 8 с вероятностью 18, Z от 1 до 6 с вероятностью 61. Найдите вероятность того, что X, Y , Z примут различные значения (X 6= Y , X 6= Z,

Y 6= Z).

Ответы

56

Домашнее задание

5.11. Случайная величина X имеет ряд распределения:

Найдите значение константы C и P (X > 0).

5.12. Дискретная случайная величина X задана распределением:

Найдите вероятность события fX < 5g при условии, что X > 2.

5.13.В урне 3 белых и 2 черных шара. Из нее последовательно без возвращения извлекают шары до первого появления белого шара. Постройте ряд распределения случайной величины X числа извлеченных шаров.

5.14.Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка 0;4, для второго 0;8. Первый стрелок делает 2 выстрела, второй 1 выстрел. Постройте ряд распределения для величины X числа попаданий в мишень после трех выстрелов.

5.15.Законы распределения числа очков, выбиваемых каждым из двух стрелков (X и Y соответственно), таковы:

Найдите закон распределения суммы очков, выбиваемых этими стрелками.

5.16. Из урны, содержащей 2 белых и 1 черный шар, по одному, без возвращения извлекаются все шары. Случайные величины Xi имеют вид:

(

0; если i-й извлеченный шар черный,

Xi =

1; если i-й извлеченный шар белый,

i = 1; 2; 3. Установите, зависимы ли случайные величины X1, X2 и X3.

5.17. Случайные величины X1 и X2 независимы и имеют одинаковое распределение:

57

Найдите: а) вероятность события X1 + X2 > 2; б) условную вероятность

P (X1 = 3 j X1 + X2 > 2).

5.18. Независимые дискретные случайные величины X1; X2; : : : ; X9

принимают только целые значения, при этом Xn (n = 1; : : : ; 9) принимает только значения от 0 до n и все эти значения равновероятны. Найдите

P (X1 X2 X9 = 0).

Ответы

Дополнительные задачи

5.19.В урне содержится один шар с номером 1, два шара с номером 2 и три шара с номером 3. Из урны случайным образом выбираются два шара. Случайная величина X = {число непоявившихся номеров}. Постройте ряд распределения X.

5.20.Подбрасываются две игральные кости. Запишите распределение для наибольшего из двух выпавших чисел.

5.21.Случайные величины X и Y независимы и имеют следующие законы распределения:

Найдите закон распределения случайной величины X=Y .

5.22. Пусть p цена, S(p) функция предложения, D(p) функция спроса. Найдите распределение равновесной цены p0, если S(p) = p,

D(p) = A=(p + B), где A и B независимые случайные величины, заданные распределениями:

58

5.23. Дискретные случайные величины X1, X2, X3 независимы и имеют одинаковое распределение:

Пусть Y максимум чисел X1, X2, X3. Найдите распределение Y .

5.24. Пусть x1 < x2 < : : : < x10 все равновозможные значения случайной величины X, F (x) = P (X < x) ее функция распределения. Найдите P F (X) < 37 .

Ответы

59

6 Числовые характеристики дискретных случайных величин

6.1 Математическое ожидание

Основной характеристикой положения случайной величины на числовой оси является ее математическое ожидание E(X) (среднее значение). Для дискретной случайной величины

E(X) = x1p1 + x2p2 + : : : ;

где xi возможные значения случайной величины, pi соответствующие вероятности, pi = P (X = xi).

Свойства математического ожидания:

1.E(C) = C.

2.E(CX) = C E(X).

3.E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

4.E(XY ) = E(X) E(Y ) для независимых случайных величин X

иY .

5.Если '(x) числовая функция, то

E['(X)] = ' (x1) p1 + ' (x2) p2 + : : : :

6.Если '(x) выпуклая функция, то для любой случайной величины X выполняется неравенство Йенсена:

E ['(X)] ' [E(X)] :

60