11.Фиктивные переменные: определение, назначение, типы.

В некоторых случаях, при повышении качества моделей, возникает необходимость оценки влияния качественных признаков на эндогенную переменную (пр.: для ф-ии спроса – это вкус потребителя, возраст, сезонность...).

Эти показатели нельзя представить в численном виде. Поэтому используют фиктивные переменные – переем-е с дискретным множеством значений, которые образом описывают качественные признаки. Обычно используются фиктивные переменные бинарного типа «О—1»:

В общем случае, когда качественный признак имеет более двух значений, вводится несколько бинарных переменных. При использовании нескольких бинарных переменных необходимо исключить линейную зависимость между переменными, так как в противном случае, при оценке параметров, это приведет к полной мультиколлинеарности.

Поэтому применяется следующее правило: если качественная переменная имеет к альтернативных значений, то при моделировании используются только к-1 фиктивная переменная.

Фиктивные переменные позволяют объединить в одной модели выборки, имеющие отличия. В принципе, их можно рассматривать отдельно, но объединение может дать более качественную модель. Повышение качества модели можно оценить, используя тест Чоу.

Если при проведении статистических исследований какую-либо переменную сложно или невозможно измерить, но существует и известна её зависимость от другой, доступной переменной, то применяются замещающие (proxy) переменные: измеряют доступную переменную, строят с ней регрессионную модель, а затем прогнозируют значения недоступной переменной. Конечно, точность прогноза падает, но в некоторых случаях иначе не получается.

В регрессионных моделях применяются фиктивные переменные двух типов: переменные сдвига и переменные наклона.

12.Автокорреляция случайного возмущения. Причины. Последствия.

Модель называется автокоррелированной, если не выполняется третья предпосылка теоремы Гаусса-Маркова: Cov(ui,uj)≠0 при i≠j. Те между ними есть зависимость.

Согласно теореме Гаусса-Маркова, Метод наименьших квадратов, приведённый к линейному преобразованию матриц или к системе линейных уравнений, обеспечивает наилучшую несмещенную, эффективную и сходящуюся к пределу (“состоятельную”) оценку вектора параметров, т.е. наилучшее качество линейной модели, если соблюдаются условия (по [ 1 ]):

1. Линейная модель соответствует действительности.

2. Существует дисперсия регрессора.

3. Математическое ожидание возмущения равно нулю: E(u_i) = 0.

4. Возмущение имеет нормальное распределение.

5. Равенство ожидаемых значений дисперсий возмущений в разных диапазонах Х: E(u²) = Const. Это свойство называется гомоскедастичность, его несоблюдние – гетероскедастичность. Отклонение от гомоскедастичности проверяется по тесту Голдфелда-Квандта

GQ = e₁²/e₂²

где e₁² и e₂² – суммы квадратов остатков (отклонений) в первой и последней трети (или в половинах) диапазона Х; большая сумма делится на меньшую!!!; GQ сравнивают с критерием Фишера для заданных уровня значимости и количества измерений; гипотеза о гомоскедастичности принимается при GQ <4,35.

6. Отсутствие автокорреляции, т.е. взаимозависимости возмущений. Её оценивают, вычисляя статистику Дарбина-Уотсона остатков е:

для которой вычислены критические значения при различных уровнях значимости и числе измерений. Приблизительно DW=0…1 означает положительную автокорреляцию, 3…4 отрицательную автокорреляцию, DW=1,5…2,5 позволяет принять гипотезу об отсутствии автокорреляции, DW=1…1,5 и DW=2,5…3 не позволяют принять гипотезу о наличии или отсутствии автокорреляции. Наличие автокорреляции означает, что аппроксимирующая функция подобрана неверно, или же требуется применение других методов и моделей. Автокорреляция разобрана в главе 8.

Статистику Дарбина-Уотсона можно вычислить по формуле

DW = 2(1-Rавт),

где Rавт - коффициент автокорреляции, вычисляемый с помощью функции КОРРЕЛ: задать в окне Массив1 диапазон остатков с номерами 1 : n-1, а в окне Массив2 диапазон 2 : n.

Понятия “гетероскедастичность” и “автокорреляция” актуальны, если массивы данных упорядочены, что имеет место для временных рядов. “Пространственные” данные можно искусственно упорядочить, например, отсортировав их по возрастанию какой-либо переменной; при этом можно выявить кластеры с аномальной дисперсией остатков, что может означать неоднородность выборки или неадекватность модели.

Считается, что гетероскедастичность может привести к снижению эффективности оценок коэффициентов, и надо её искусственно подавлять: делить остатки в таблице 3.3 на их стандартные отклонения в диапазонах, а затем минимизировать сумму их квадратов. Эта технология называется Взвешенный метод наименьших квадратов (ВМНК) и обычно используется в матричном варианте МНК (раздел 3.3). При обнаружении автокорреляции остатков применяется Обобщённый метод наименьших квадратов ОМНК, основанный на преобразовании матриц, но с учётом корреляций остатков.

Есть положительная автокорреляция, где за положительным отклонением следует положительное, за отрицательным – отрицательное. Отрицательная автокорреляция - за положительным чаще всего следует отрицательное.

Автокорреляция чаще всего появляется в моделях временных рядов и моделировании циклических процессов

Причина – неправильный выбор спецификации модели.

^ Последствия автокорреляции

- оценки коэффициентов теряют эффективность;

- стандартные ошибки коэффициентов занижены

Типы автокорреляции

Модели с автокоррелированными остатками называются авторегрессионными. Рассматриваем модель парной регрессии,

Авторегрессия 1-го порядка: AR(1)

Авторегрессия 5-го порядка: AR(5)

Автокорреляция скользящих средних 3-го порядка: