1.Метод наименьших квадратов: алгоритм метода; условия применения.

Для оценки параметров линейной или линеаризованной модели применяется метод наименьших квадратов (МНК). Суть метода состоит в следующем: к реальным данным подбирается функция и её параметры, чтобы разности (отклонения, остатки) между реальными и вычисленными значениями у были минимальны. Но разностей много, поэтому минимизируется сумма квадратов этих разностей:

МНК с Поиском решения можно использовать непосредственно. Для этого надо задать произвольные коэффициенты a и b, построить по ним функцию Ŷ = a + bX, вычислить остатки e = Y – Ŷ и их квадраты, сумму e2.

В окне Поиска решения установить Целевая ячейка ∑e2 минимум, Изменяя ячейки a и b, ограничений нет.

Матричный метод МНК основан на представлении множеств X, Y, остатков E и параметров линейной модели B в виде векторов, над которыми затем проводятся операции. Векторное представление модели

Y = B * X + E

где

Y B X E

y₁ 1 x₁ e₁

y₂ 1 x₂ e₂

. a . .

. b . .

. . .

y_n 1 x_n e_n

Эту модель, записанную в векторном виде или в виде системы линейных уравнений, называют схемой Гаусса-Маркова.

Условие МНК e² - min , или в матричном виде (Y-XB)^T(Y-XB) - min.

Т означает транспонирование, то есть преобразование столбца в строку. Решением является вектор В:

B = (X^TX)^-1X^TY

Здесь -1 означает обращение матрицы. Транспонирование и обращение матриц можно выполнять в Excel, используя функции ТРАНСП и МОБР.

Согласно теореме Гаусса-Маркова, Метод наименьших квадратов, приведённый к линейному преобразованию матриц или к системе линейных уравнений, обеспечивает наилучшую несмещенную, эффективную и сходящуюся к пределу (“состоятельную”) оценку вектора параметров, т.е. наилучшее качество линейной модели, если соблюдаются условия:

1. Линейная модель соответствует действительности.

2. Существует дисперсия регрессора.

3. Математическое ожидание возмущения равно нулю: E(u_i) = 0.

4. Возмущение имеет нормальное распределение.

5. Равенство ожидаемых значений дисперсий возмущений в разных диапазонах Х: E(u²) = Const. Это свойство называется гомоскедастичность, его несоблюдние – гетероскедастичность.

2.Типы переменных в эконометрических моделях. Структурная и приведённая формы спецификации эконометрических моделей.

Основные виды переменных в эконометрике:

- эндогенные, или зависимые переменные, прогнозирование которых является одной из основных задач эконометрики;

- экзогенные, или влияющие переменные; могут быть внешними по отношению к системе (курс доллара, учетная ставка, время), или мы можем ими управлять: расходы на разные цели;

- лаговые: переменные прошедших временных интервалов; вчера мы пытались их прогнозировать, а сегодня знаем.

Экзогенные и лаговые объединяют термином предопределённые. Кроме того, существуют фиктивные, замещающие, инструментальные переменные

Для построения прогнозов эндогенных переменных необходимо выразить текущие эндогенные переменные модели в виде явных функ­ций предопределённых переменных. Последняя спецификация, полученная путем включе­ния случайных возмущений получена в результате математической формализации экономических закономер­ностей. Такая форма спецификации называется структурной. В общем случае в структурной спецификации эндогенные переменные не выра­жены в явном виде через предопределенные.

Модель, в которой эндогенные переменные выражены в явном виде через предопределенные переменные получила название приведенной.

В частном случае структурная и приведённая фор­мы модели могут совпадать. При правильной спецификации модели пере­ход от структурной к приведённой форме всегда возможен, обратный пе­реход возможен не всегда.

Введем следующие обозначения:

• Y_t — вектор-столбец текущих значений эндогенных переменных;

• X_t — расширенный вектор-столбец предопределённых переменных, значения которых известны к моменту t;

• А и В — матрицы коэффициентов структурной формы модели (струк­турные коэффициенты);

• V_t — вектор-столбец текущих возмущений.

С учетом данных обозначений матричная запись структурной формы эконометрической модели принимает вид

A Y_t +B X_t=V_t .

Матричное представление приведённой формы спецификации сле­дующее:

Y_t=M X_t+U_t,

где М— матрица приведенных коэффициентов, то есть

М = –А^-1 В.