7. Классическая парная регресионная модель. Спецификация модели. Теорема Гаусса-Маркова.

Простая (парная) регрессия представляет собой модель, где ожидаемое значение зависимой (объясняемой, эндогенной) переменной y рассматривается как функция одной объясняющей (независимой или управляемой, предопределённой) переменной х, то есть модель вида

Е(y) =f(x)

Регрессионные модели, которые наиболее часто используются в эконометрике:

1) Линейная y = a + bx+u; употребляется наиболее часто, остальные функции стараются преобразовать к линейному виду, линеаризовать.

Регрессии, нелинейные относительно включённых в анализ объясняющих переменных:

2) Полином второй, редко третьей степени y = a + bx+сх²+u.

3) Равносторонняя гипербола y = a +b/x +u.

Эти модели сводятся к линейным заменой переменных: z = х² для полинома и z=1/x для гиперболы.

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся:

4) Степенная y = ax^b;

5) Показательная y = ab^x;

6) Экспоненциальная y = e^a+bx.

Согласно теореме Гаусса-Маркова, Метод наименьших квадратов, приведённый к линейному преобразованию матриц или к системе линейных уравнений, обеспечивает наилучшую несмещенную, эффективную и сходящуюся к пределу (“состоятельную”) оценку вектора параметров, т.е. наилучшее качество линейной модели, если соблюдаются условия (по [ 1 ]):

5. Линейная модель соответствует действительности.

6. Существует дисперсия регрессора.

7. Математическое ожидание возмущения равно нулю: E(u_i) = 0.

8. Возмущение имеет нормальное распределение.

5. Равенство ожидаемых значений дисперсий возмущений в разных диапазонах Х: E(u²) = Const. Это свойство называется гомоскедастичность, его несоблюдние – гетероскедастичность. Отклонение от гомоскедастичности проверяется по тесту Голдфелда-Квандта

GQ = e₁²/e₂²

где e₁² и e₂² – суммы квадратов остатков (отклонений) в первой и последней трети (или в половинах) диапазона Х; большая сумма делится на меньшую!!!; GQ сравнивают с критерием Фишера для заданных уровня значимости и количества измерений; гипотеза о гомоскедастичности принимается при GQ <4,35.

6. Отсутствие автокорреляции, т.е. взаимозависимости возмущений. Её оценивают, вычисляя статистику Дарбина-Уотсона остатков е:

для которой вычислены критические значения при различных уровнях значимости и числе измерений. Приблизительно DW=0…1 означает положительную автокорреляцию, 3…4 отрицательную автокорреляцию, DW=1,5…2,5 позволяет принять гипотезу об отсутствии автокорреляции, DW=1…1,5 и DW=2,5…3 не позволяют принять гипотезу о наличии или отсутствии автокорреляции. Наличие автокорреляции означает, что аппроксимирующая функция подобрана неверно, или же требуется применение других методов и моделей. Автокорреляция разобрана в главе 8.

Статистику Дарбина-Уотсона можно вычислить по формуле

DW = 2(1-Rавт),

где Rавт - коффициент автокорреляции, вычисляемый с помощью функции КОРРЕЛ: задать в окне Массив1 диапазон остатков с номерами 1 : n-1, а в окне Массив2 диапазон 2 : n.

Понятия “гетероскедастичность” и “автокорреляция” актуальны, если массивы данных упорядочены, что имеет место для временных рядов. “Пространственные” данные можно искусственно упорядочить, например, отсортировав их по возрастанию какой-либо переменной; при этом можно выявить кластеры с аномальной дисперсией остатков, что может означать неоднородность выборки или неадекватность модели.

Считается, что гетероскедастичность может привести к снижению эффективности оценок коэффициентов, и надо её искусственно подавлять: делить остатки в таблице 3.3 на их стандартные отклонения в диапазонах, а затем минимизировать сумму их квадратов. Эта технология называется Взвешенный метод наименьших квадратов (ВМНК) и обычно используется в матричном варианте МНК (раздел 3.3). При обнаружении автокорреляции остатков применяется Обобщённый метод наименьших квадратов ОМНК, основанный на преобразовании матриц, но с учётом корреляций остатков.