40. Ожидаемое значение случайной переменной, её дисперсия и среднее квадратическое отклонение. (20) с.12-21

Переменная величина х с областью изменения Х называется случайной, если в результате некоторого опыта со случайными элементарными исходами она принимает значение из множества Х, которое заранее невозможно предсказать. Случайная величина может быть дискретной или непрерывной.

Важную роль играют две количественные харак­теристики случайной переменной х: математическое ожидание (ожидаемое значение) и дисперсия. Ожидаемое зна­чение, которое обычно обозначают , m или Е(х) находится по формуле

( 2.1 )

Подчеркнем, что  – это константа, вокруг которой рассеяны возможные значения q случайной переменной х.

Дисперсия ², Var(x) – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной переменной х от её ожидаемого значения:

( 2.2 )

Положительный квадратный корень из дисперсии именуетсясредним квадратическим отклонением (СКО), или стандартным отклонением. Размерно­сти  и х совпадают. Величина  (как и ²) служит характеристикой неопределенности (изменчивости) х. Формула ( 2.2) может быть преобразована к виду

² = Е(х²) - ² ( 2.3 )

который часто используется для расчётов вручную. Из формул (2.1) - (2.2) видно, что для отыскания величин ,  нужно знать закон распределения P_x(q) случайной пере­менной х. Часто это закон неизвестен, и тогда можно оценить (приближенно определить) характеристики , ² по результатам n независимых наблюдений (опытов) { х₁, х₂, …, х_n}. В этом наборе каждая компонента х_i – это случайная пере­менная с одним и тем же законом распределения P_x(q), при этом величины х_i являются независимыми.

Что такое наилучшая оценка, или наилучшая технология оценки (estimator) математического ожидания случайной величины? Каковы её критерии?

1. Несмещенность. Применяя правильную технологию расчёта, мы не получим в результате обработки серии замеров статистически значимого отклонения от реального значения оцениваемого параметра.

2. Эффективность. среднее значение обеспечивает наиболее эффективную оценку математического ожидания Е(х). Эффективность может вступить в противоречие с несмещённостью. Например, исключение переменных из эконометрических моделей может привести к уменьшению дисперсий оцениваемых параметров и к их смещению относительно истинных значений.

3. Consistency. В российских учебниках это слово переводят как “состоятельность”, но правильнее говорить о сходимости. Это значит, что увеличивая количество замеров в серии n, мы можем получить разность оценок исследуемого параметра меньше любого , то есть наши оценки сходятся к какому-то пределу.

41. Оценка параметров парной регрессионной модели методом наименьших квадратов с использованием сервиса Поиск решения.

Парная регрессия характеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями: Прямой - , Гиперболы, ПараболыСущность МНК заключается в нахождении параметров модели (а₀, а₁), при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии: .

Проводят дифференцирование S по коэффицентам и приравнивают уравнения к 0. Из системы уравнений, получаем: Здесь

Значимость коэффициента регрессии осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента (отношение коэффициента регрессии к его средней ошибке):

. Коэффициент регрессии считается статистически значимым, если превышаетt_табл  - табличное (теоретическое) значение t-критерия Стьюдента.

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью F-критерия и величины средней ошибки аппроксимации .

Проверка адекватности всей модели осуществляется с помощью F-критерия и величины средней ошибки аппроксимации 

Использование сервиса Поиск решения позволяет наглядно продемонстрировать суть метода наименьших квадратов (МНК). Вызывается он так же, как и Анализ данных: в Excel-2003 и более ранних версиях через меню Сервис (если не вызывается, то Сервис-Надстройки) ; в Excel-2007 и 2010 в меню Данные (если не вызывается, то Пуск – Параметры Excel – Надстройки – Перейти). Схема расчетов та же, что и в задачах математического программирования:

задать произвольные коэффициенты аппроксимирующей функции f(X) ,

построить функцию Ŷ = f(X) в заданном диапазоне Х,

вычислить отклонения Y – Ŷ для диапазона, в котором значения Y используются для настройки модели, то есть оценки коэффициентов,

вычислить все (Y – Ŷ )² и их сумму (Y – Ŷ )² (сумма квадратов отклонений (остатков) ,

вызвать Поиск решения, целевая ячейка (Y – Ŷ)², Изменяя ячейки коэффициенты, ограничений нет, Выполнить.

Метод наименьших квадратов с Поиском решения может применяться для настройки нелинейных моделей.

Показатель качества линейной модели – коэффициент корреляции Х и Y R_xy и его квадрат – коэффициент детерминации R².

Вычисленные для обеих моделей R², DW, GQ представлены в таблицах, а также показаны графики остатков. Видно, что качество обеих моделей высокое, применение МНК правомерно. Применение для прогноза одной из двух моделей зависит от дополнительной информации и личного опыта.