книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

а сжимающая сила, обусловившая такое состояние, называется критической сжимающей силой.

Таким образом, признаком критического состояния стержня по отношению к определенному возмущению является условие (4.20) нулевой отпорности по отношению к этому возмущению. Однако таким признаком может быть и определенная величина сжимающей силы, называемая критической.

Следовательно, состояния равновесия стержня будут устой­ чивыми по отношению к определенному возмущению, если вы­ полняются условия

dT

(4.21)

Критическое значение сжимающей силы можно найти, решив задачу о собственных значениях линейного однородного уравне­ ния типа левой части (3.63), которое составлено для дополни­ тельных отклонений оси изогнутого стержня, определяемой ре­ шением полного неоднородного уравнения (3.63). Предполага­ ется, что устойчивость идеально прямого упругого стержня переменной жесткости по длине и стержня с таким же законом изменения жесткостей, но слегка искривленного, одинаковы. Это допущение анализировалось в [7, 28] и др. и было показа­ но, что для использования в практических целях оно приемлемо.

Для стержня с шарнирно-закрепленными концами при от­ сутствии сжимающей силы N2 и при произвольном законе изме­ нения жесткостей по длине уравнение (3.63) принимает следую­ щий вид:

сутствуют. Нас интересует нижнее значение сжимающей силы N, при которой станут возможны отклонения от положения рав­ новесия.

Общее решение уравнения (4.22) записано в виде (4.3). По­ скольку нас интересует решение лишь однородного уравнения,

80

Решение (4.24) должно удовлетворять граничным условиям. При 2 = 0 получаем g ( 0 ) = 0 и cfo (0)= 0 . При z = l должно вы­ полняться условие

Это условие и определяет собственные значения однородно­ го уравнения, полученного из (4.22). Чтобы вычислить величи­ ны g ( l ) для стержня переменного сечения, можно воспользо­ ваться процедурой, указанной в конце § 12. Поскольку значе­ ние СИЛЫ N ВХОДИТ В СО/і из (4.13), то вычислять можно лишь, задаваясь определенными значениями N. Наименьшее из зна­ чений N, отвечающее условию (4.25), и будет критическим зна­ чением для стержня с заданным законом изменения жесткостей.

Для стержня постоянного сечения

в (4.20). Поскольку результат (4.27) получен методами теории устойчивости первого рода, а (4.20) — методами теории устой­ чивости второго рода, то можно заключить, что обе теории да­ ют совпадающие значения. Чаще всего это действительно так. Однако имеются системы, для которых эти значения различа­ ются (см. § 42).

Необходимо обратить внимание также на то, что критичес­ кое значение силы N Kp в виде (4.20) получено для конкретного возмущения в виде бесконечно малой сосредоточенной силы dT, приложенной в середине пролета стрежня, а такое же зна­ чение N Hp из (4.27) получено для произвольного возмущения, правда действующего в той же плоскости, что и сила dT.

Исходя из этого, можно считать эквивалентными все возму­ щения в виде бесконечно малых силовых воздействий, прило­ женных в одной плоскости и в одном направлении. Исключение составляют лишь те, которые вызывают отклонения от положе­ ния равновесия, отвечающие одной из высших форм потери ус­ тойчивости конструкции.

§ 18. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА НА УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Изложенные методы определения критической сжи­ мающей силы для стержня переменного сечения можно ус­ ловно назвать точными, поскольку на форму их дополнитель­ ных искривлений в момент потери устойчивости не накладыва-

ются никакие ограничения. Приближенность этих методов обус­ ловлена лишь тем, что вместо искривленного стержня рассмат­ ривается прямолинейный.

В то же время вычисления при использовании «точных» ме­ тодов для расчета стержней переменного сечения громоздки, а необходимость задаваться значением сжимающей силы при­ водит к значительному количеству расчетов при разных значе­ ниях этой силы. Если при использовании ЭВМ эта громоздкость легко преодолима, то при ручном счете она неудобна. Поэтому часто удобнее использовать различные приближенные методы,.

*

основанные на том, чтобы задать форму отклонений оси стерж­ ня в момент потери устойчивости.

Все эти методы хорошо изложены во многих источниках, на­ пример [7, 28] и др., поэтому останавливаться на них не будем. Ограничимся лишь несколькими примерами. Начнем с приме­ нения графоаналитического метода.

Пусть из расчета стержня, показанного на рис. 27, одним из методов § 11—13 получены его равновесное состояние и закон изменения жесткостей EI2(z) по его длине (см. рис. 27). Опре­ делим критическую силу для упругого стержня с таким зако­ ном изменения EI2(z), предположив, что его дополнительные от­ клонения от положения равновесия определяются некоторой кривой dv(z) с максимальной ординатой dvm в сечении Zm. Сжи­ мающую силу опять принимаем стационарной. Тогда дополни­ тельные изгибающие моменты, возникающие при таких откло­ нениях, будут равны:

Примем эту кривизну за фиктивную нагрузку qф (г ) на стер­ жень и определим от этой нагрузки опорную реакцию Лф на левой опоре и изгибающий момент Л4Ф (zm) в сечении zm:

82

Отсюда получаем условие для определения критического зна­ чения сжимающей силы Nup при принятых отклонениях dv(z):

Приведем в качестве примера вычисления для стержня, по­ казанного на рис. 27. Его жесткость по длине примем постоян­ ной, а форму искривления — по квадратной параболе.

Получили величину, на 2,8% меньшую, чем точное значение силы Эйлера.

Если же вместо квадратной параболы (4.33) принять для изогнутой оси полуволну синусоиды

к истинной, тем точнее значение критической силы. Заниженные значения сжимающей силы, получаемые приближенным мето­ дом, позволяют рассматривать этот метод как надежный с прак­ тической точки зрения. В этом отношении энергетический метод, дающий' завышенные значения критических сил, представляет­ ся менее надежным. При использовании этого метода критиче­ ская сила для стержня определяется из следующего выраже­ ния [7]:

ü

Приняв для дополнительных прогибов стержня выражение, удовлетворяющее граничным условиям, продифференцировав его дважды и выполнив интегрирование, получим значение кри­ тической сжимающей силы. Закон изменения жесткости по дли­ не стержня можно аппроксимировать какой-либо функцией, а если это не удается, то выполнить численное интегрирование, разбив длину стержня на ряд участков.

Для вычислений достаточно удобен итерационный^ метод Стодола — Вианелло [3], являющийся, по существу, "численным способом интегрирования уравнения

Рассмотрим ряд функций to, tu t2, ..., удовлетворяющих гра­ ничным условиям для рассматриваемого стрежня и связанных

Выбрав to произвольно, а лучше, по возможности, более точ­ но, функции tь t2, ... можно последовательно определить непо­ средственным интегрированием (4.43). Полученные таким об­ разом функции tn сходятся к характеристическому решению dv 1 дифференциального уравнения (4.42), а соответствующее собственное значение соі, определяющее критическое значение Nu выражается уравнением

tfl

П -> оо

Этот метод многократно использовался для расчета самых различных стержней из упругопластических материалов и всег­ да давал быструю сходимость.

84

§ 19. УПРОЩЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ВНЕЦЕНТРЕННО-СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

Методы расчета стержней на устойчивость в пло­ скости изгиба, изложенные в § 17— 18, позволяют учесть пере­ менность жесткости по длине стержня. В то же время в ряде случаев можно ограничиться более простыми решениями. Один из наиболее распространенных — метод расчета внецентренносжатых стержней (рис. 28), основанный на допущениях об ис-

Рис. 29. Диаграмма состояний рав­ новесия и отпорностей на изгиб

кривлении оси стержня по полуволне си­ нусоиды и материале, подчиняющемся диаграмме Прандтля.

Применение этого метода расчета к стержням с различными поперечными се­ чениями подробно описано в [8], где да­

ны вспомогательные графики и формулы, поэтому здесь ограни­ чимся лишь простейшим случаем стержня прямоугольного попе­ речного сечения и выяснением точности этого метода.

Рассмотрим построение диаграммы состояний равновесия. Пусть длина стержня I (рис. 28); эксцентрицитет сжимающей силы N равен т0 и одинаков на обоих концах; прогиб среднего сечения по длине стержня обозначим ѵт.

При малых значениях силы N стержень будет работать 6 уп­ ругой стадии. Величину прогиба можно определить по прибли­

Диаграмма состояний равновесия будет ОА на рис. 29. При силе N, определяемой на рис. 29 точкой А, в стержне

образуются пластические деформации. Начиная с этого момен­ та, жесткость стержня на изгиб в сечениях с пластическими де­ формациями будет выражаться величиной ЕІ\, переменной по длине стержня. Для расчета принимаем постоянную по длине

85

жесткость и равную жесткости в среднем сечении, наиболее ос­

Eha2 l2

Из уравнений (4.50) и (4.53) можно исключить а и получить зависимость сглг(ут ). Однако это уравнение будет кубическим относительно обеих величин, поэтому получить выражение вяв-

«6

ном виде не удается. Проще, задаваясь определенными значе­ ниями а, из этих уравнений найти отвечающие им ojv и ѵ,п, пом­ ня о том, что уравнения получены для односторонней текуче­ сти в сечениях стержня, поэтому условием их справедливости служит (2.54).

С помощью полученных формул можно построить участок диаграммы состояний равновесия между точками А и В. Обыч­ но точка М максимума диаграммы лежит в этих пределах. Ес­ ли же максимум не достигнут, то аналогичные зависимости не­ трудно получить и для случая двухсторонней текучести.

На рис. 29 построена диаграмма состояний равновесия ОАМВС для стального стержня прямоугольного сечения, шар­ нирно-закрепленного на концах. Гибкость стержня равна 70. По горизонтальной оси отложена величина ѵт, по вертикальной оси отложена N. На этом же рисунке построена диаграмма крити­ ческих сжимающих сил, определяемых по обобщенной формуле Эйлера [8]:

Здесь / 2 — момент инерции второго расчетного сечения стер­ жня в среднем сечении. При материале, подчиняющемся диа­ грамме Прандтля, второе расчетное сечение совпадает с упру­

женным методом дает хорошее совпадение с результатами экс­

8 Т

дел текучести стали в опытном стержне равнялся 2,65 тс/см2. Диаграмма состояний равновесия для этого стержня показана на рис. 31 (кривая 1). На этом же рисунке нанесена диаграмма 2 состояний равновесия, полученная для этого стержня из рас­ чета с учетом переменной жесткости по длине и действительной формы искривления оси. Из сравнения диаграмм 1 и 2 видно, что критическая сила, определенная приближенным методом, завышена на 3,6%, а прогиб среднего сечения в критическом со­ стоянии уменьшен на 21,6%.

Аналогичные результаты получаются почти всегда: критиче­ ская нагрузка определяется достаточно точно, а прогибы силь­ но преуменьшаются.

§20. СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА

СЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

Приближенный метод расчета внецентренно-сжа- тых стержней, основанный на понятиях двух расчетных сечений и обобщенной формуле Эйлера, за последние годы применялся многими авторами и всег­ да давал хорошее совпа­ дение с эксперименталь­ ными значениями крити­

ческих нагрузок.

Кроме стержней из мягкой и низколегирован­ ной стали рассчитывались внецентренно-сжатые же­ лезобетонные обычные и предварительно - напря - женные стержни [15], стержни из силикатного бетона [12]; для железо­ бетонных балок опреде­ лялась критическая на­ грузка при изгибно-кру-

тильных формах потери устойчивости. Этот лее метод расчета проверен И. С. Ребровым для расчета стальных стержней, усили­ ваемых под нагрузкой, и т. д. Сказанное позволяет считать при­ ближенный метод достаточно точным с практической точки зре­

ния.

В дополнение к этим данным рассмотрим результаты, полу­ ченные Б. Г. Бажановым [1]. Эти исследования интересны тем, что они проведены со стержнями из различных алюминиевых сплавов, для которых типичны криволинейные диаграммы ра­ боты. Правда, сильно криволинеен обычно лишь сравнительно небольшой участок диаграммы, являющийся переходным от пря­ молинейного, отвечающего упругой стадии работы, к сравни­

88

тельно мало отличающемуся от наклонной прямой участку пла­ стических деформаций. Такая диаграмма для сплава АВ-Т1 показана на рис. 32. Предел пропорциональности сплава составля­ ет примерно 0,75 от сто,2 , а отношение напряжения от при дефор­ мации, равной 5ео,2 к а(ео,г), составляет 1,07. Таким образом, модуль упрочнения материала близок к 0,01.

Испытанные стержни были прямоугольного сечения, имели гибкости от 57,7 до 113,2; относительные эксцентрицитеты у, выраженные в долях ядрового расстояния, изменялись от 1 до 1,5.

Стержни изготовляли и испытывали тщательно и аккуратно, поэтому полученные результаты следует рассматривать как вполне достоверные.

Втабл. 1 приведены характеристики испытанных стержней

ирезультаты сравнения экспериментальных значений с теоре­ тическими. Здесь указаны площадь F поперечного сечения стер­ жня, длина в см, гибкость X, относительный эксцентрицитет у, критическое напряжение стк в килограммах на квадратный сай­

та бл и ц а 1

периментальное ер®и теоретические срд и ср°. Все значения ср по­ лучены делением критического напряжения на сто,2 - Теоретичес­ кие критические напряжения получены: ст£ — по действительной

диаграмме работы, а ст®— по расчетной идеализированной уп­ ругопластической с линейным упрочнением. За предел текуче­ сти на этой диаграмме принималось напряжение Сто,2 , опреде­ ленное на образцах, а модуль упрочнения

Е

В двух последних столбцах таблицы даны отношения экспе­ риментальных значений ср к теоретическим.

89-