книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

Если Eliy в (7.7) обратится в нуль, это будет означать, что несущая способность сечения на изгиб в плоскости yOz исчер­ пана.

В то же время обращение в нуль побочных отпорностей (7.6) возможно при переходе к новым осям и какого-либо изменения в поведении сечения это за собой не влечет.

§ 35. РАСЧЕТНЫЕ КРИТЕРИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ СОСТОЯНИИ

Критерий нулевой отпорности достаточен для оп­ ределения несущей способности материала, сечения, стержня и конструкции. Таким образом, во всех случаях несущая способ­ ность может определяться по одному из условий (7.1), и, следо­ вательно, для подавляющей массы конструкции из всех мате^ риалов оно является расчетным критерием первого предельного состояния.

Условие (7.1) характеризует максимум на диаграмме состоя­ ний, получаемой на основе условий равновесия внешних и внут­ ренних сил в сечениях, элементах и конструкциях в целом. Та­ ким образом, оно обусловливается, как правило, определенны­ ми величинами нагрузок, усилий, напряжений. Вместе с тем иногда состояние нулевой отпорности можно получить в резуль­ тате различных изменений самой конструкции при эксплуатации (развитие деформаций ползучести, накопление мелких повреж­ дений, трещин, уменьшение сечения элементов вследствие кор­ розии и т. д .).

В зависимости от значения отпорности в запредельной стадии последствия достижения состояния, характеризуемого (7.1), мо­ гут быть различными, поэтому необходимо различать три случая

1)отпорность в запредельной стадии отрицательна. Нагруз­ ки, вызвавшие предельное состояние, не могут после этого вос­ приниматься конструкцией, происходит катастрофическое раз­ рушение. Такая форма деформирования наиболее опасна по своим последствиям.

Подобная форма разрушения характерна для теряющих устойчивость центральноили внецентренно-сжатых стержней из всех материалов, хрупких разрушений материалов или соедине­ ний при растяжении или срезе и т. д. Эта форма разрушения мо­ жет быть названа «хрупкой»;

2)отпорность в запредельной стадии нулевая. Конструкция способна воспринимать нагрузки, вызвавшие предельное состоя­ ние и после его достижения. Запредельная стадия работы кон-

120

струкции характеризуется ростом деформаций и перемещений без увеличения нагрузки. Конструкция «течет».

Подобная форма разрушения может быть названа «пласти- - ческой». Она характерна для растянутых и изгибаемых стерж­ ней из мягкой стали, для изгибаемых железобетонных элементов с арматурой из пластичной стали и т. д.

Последствия пластических разрушений гораздо менее опас­ ны. Обрушения не наступает;

3) отпориость в запредельной стадии положительна. Кон­ струкция и в запредельной стадии способна воспринимать неко­ торое увеличение нагрузок сверх предельных. Само предельноесостояние носит условный характер. Этот случай характерен для большинства конструкций, рассчитываемых по условному пре­ дельному состоянию. Достижение этого предельного состояния явных опасностей не влечет, ио оно нежелательно по ряду сооб­ ражений (образуются значительные пластические деформации,, в материале появляются микроразрушения и т. д.).

Таким образом, все три формы предельных состояний не рав­ нозначны в первую очередь по последствиям. Очевидно, что для

ных состояний, более опасных по своим последствиям, должна быть значительно меньшей, чем менее опасных. Из этого следу­ ет, что предельных состояний первой группы (по несущей спо­ собности) должно быть три, и они должны отличаться своей обеспеченностью, а критерием для отнесения каждого конкрет­ ного состояния к одному из трех должно быть значение отпориости конструкции в запредельной стадии.

Расчет сооружений и конструкций, кроме обеспечения их не­ сущей способности, должен также обеспечить выполнение ряда дополнительных эксплуатационных требований по деформативности (прогибы, появление или раскрытие трещин и т. д.). Из­ вестно, что довольно часто невозможно полностью использоватьнесущую способность конструкции, так как раньше этого появ­ ляются те или иные деформации или перемещения, недопусти­ мые по условиям эксплуатации.

Количество расчетных проверок, гарантирующих выполнение этих требований для различных конструкций, неодинаково, но все они могут быть отнесены ко второй группе предельных состо­ яний. Расчетные критерии для каждого из таких предельных состояний формулируются обычно достаточно просто и имеют вид

где / — величина некоторой деформации или перемещения для рассматриваемой конструкции;

flip — предельная величина . деформации или перемещения,, допустимая по условиям эксплуатации.

121

Г л а в а 8

КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

§ 36. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Теория устойчивости равновесия конструкций раз­ вивалась в основном применительно к упругим системам. В ка­ честве критерия устойчивости обычно использовалось условие достижения состояния безразличного равновесия или возможно­ сти появления смежных, бесконечно близких форм равновесия. Нередко этот критерий формулировался так же, каТс разветвле ние форм равновесия, образование новых форм, отличающихся от предшествующих. Такой подход позволил решить многие, практически важные задачи устойчивости упругих систем.

В то же время к конструкциям из упругопластического мате­ риала такой подход, строго говоря, вообще не применим, по­ скольку безразличное равновесие этих систем невозможно вслед­ ствие непрерывного изменения самой системы в процессе.ее де­ формирования.

Рассмотрим сжато-изогнутый стержень из упругопластичес­ кого материала. Дифференциальное уравнение изогнутой оси такого стержня может быть записано в следующем виде:

где ЕІ±-— жесткость на изгиб первого расчетного сечения; k— кривизна оси в этом же сечении;

V— прогиб;

ап — координата центра тяжести первого расчетного сече­ ния;

Мр— изгибающий момент от поперечных нагрузок.

Пусть под влиянием бесконечно малого приращения внешних воздействий стержень перешел в новое бесконечно близкое со­ стояние равновесия. Тогда все величины, входящие в (8.1), по­

Раскрыв скобки, отбросив малые высших порядков и вычтя (8.1), получим дифференциальное уравнение для приращений внешних и внутренних изгибающих моментов при переходе от одного положения равновесия к другому:

МЕІХ+ dkEIx+ N(dv + da^) + d N (v + a j = dMp. (8.3)

122

В это уравнение наряду с приращениями кривизны dk, про­ гиба dv, сжимающей силы dN и внешнего изгибающего момента dMp входят также приращения упругогеометрических характе­ ристик первого расчетного сечения dEl\ и da4. Таким образом,, при переходе стержня от одного положения равновесия к друго­ му изменились не только усилия, перемещения и деформации стержня, но и сам стержень. Это качественное отличие стержней из упругопластического или нелинейно-упругого материала от упругих очень важно.

Возникает вопрос, не являются ли эти изменения упругогео­ метрических характеристик стержня малыми по сравнению с другими слагаемыми в (8.3). Чтобы это проверить, сделали вычисления Для этих смежных состояний равновесия двух раз­ личных стержней прямоугольного поперечного сечения, выпол­ ненных из материала, подчиняющегося идеализированной диаграмме с линейным упрочнением Ѳ. Стержни шарнирно за­ крепляли на обоих концах и загружали ' сжимающей силой N с относительным эксцентрицитетом т.

Результаты подсчетов сведены в табл. 3, в которой даны гиб­ кость стержня X, высота h и ширина b поперечного сечения, мо­ дуль линейного упрочнения Ѳ=ЕК/Е, относительный эксцентри­ цитет т (в долях ядрового расстояния /г/6), значение критиче­ ской силы NK в тоннах. Далее записаны значения для рассматриваемого состояния равновесия: сжимающая сила N, момент М, относительное укорочение ео геометрической оси, кри­ визна k в среднем сечении по длине стержня и значение жестко­ стей на изгиб первого ЕІі и второго Д/г расчетных сечений. Ана­ логично вычисляли все эти же величины и для весьма близкого состояния равновесия каждого стержня. Все величины получили приращения AN, ДМ, Лео, Ak, АЕІи АЕІ2. В табл. 3 они записаны в процентах от соответствующих величин в первом состоянии равновесия и наконец, в последних двух графах даны значения kAEI\ и EI\Ak.

Из табл. 3 видно, что для. обоих совершенно различных стержней два первых слагаемых в (8.3)— величины одного по­ рядка, следовательно, игнорировать изменение жесткости сече­ ния при переходе стержня в смежное состояние равновесия недо­ пустимо. Коль скоро изменения характеристик стержня, усилий

Т а б л и ц а 3

123-

Продолжение табл. 3

II деформаций имеют один порядок, то говорить о смежных со­ стояниях равновесия одного и того же стержня нельзя. Само это понятие не применимо к стержням из упругопластического

инелинейно-упругого материала.

Вто же время, как это было

показано выше, для оценки спо­ собности стержня противодейст­ вовать возмущению состояния равновесия, т. е. для определения его отпорности этому возмуще­ нию, требуются только его харак­ теристики в этом состоянии рав­ новесия.

Другим критерием потери ус­ тойчивости линейно-деформируе- мых систем иногда принимается смена форм деформирования, что для этих систем допустимо. Для систем же из упругопластического материала смена форм дефор­ мирования возможна и в процес­ се развития деформаций в стадии устойчивых состояний равновесия в результате качественных изме­ нений самой конструкции.

Рассмотрим, например, цент­ рально-сжатый стержень, жестко •защемленный в основании со свободным верхним концом

(рис. 56). Пусть стержень выполнен из двух одинаковых полу­ стержней каждый сечением h~Xb. Примем, что оба полустержня

124

возникнут искривления, так как приращение силы Р, превыша­ ющее Р\, будет восприниматься только левым полустержнем, да к тому же с эксцентриситетом 0,5 /г.

Если такой же стержень нагрузить горизонтальной силой Т, как это показано на рис. 56, то сначала он будет просто изги­ баться, но как только сила достигнет величины Гь равной

пластические деформации, физический центр сечения сместится влево и сила Т будет вызывать крутящий момент.

Таким образом, в обоих случаях произойдет резкая смена форм деформирования, однако потери устойчивости в этот мо­ мент может и не быть. Все это указывает на невозможность ис­ пользования критерия смены форм равновесия в качестве обще­ го критерия устойчивости. В этом состоит также одна из особен­ ностей конструкций из упругопластических материалов, которая отличает их от конструкций из упругих материалов.

Из сказанного следует, что критерий устойчивости при рас­ чете конструкций из упругопластического или нелинейно-упруго­ го материала может быть сформулирован только на основе оценки способности системы противодействовать возмущениям состояния равновесия или же отпорности конструкции возмуще­ ниям определенного типа. Аналогичная точка зрения уже выска­ зывалась, в частности, В. В. Болотиным [4].

Такой подход может быть распространен и на оценку случа­ ев прочностного хрупкого разрушения. Действительно, согласно критерию Ляпунова, в этот момент процесс деформирования пе­ рестает быть устойчивым. Эта точка зрения уже высказывалась

А.Р. Ржашщыным [23].

§37. ЕСТЕСТВЕННАЯ ФОРМА ДЕФОРМИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Диаграмма состояний равновесия нелинейно-де- формируемой системы обычно имеет форму плавной восходящей кривой, достигающей максимума в точке М. Кривая критических сил, наоборот, начинаясь с больших значений, постепенно сни­ жается и в точке М пересекается с кривой состояний равновесия. Пересечение этих кривых означает совпадение критических зна­ чений нагрузок, вычисленных на основе критериев устойчивости первого и второго рода.

Характер деформирования конструкций с постепенным плав­ ным приближением к критическому состоянию можно назвать естественным.

Для внецеитренно-сжатого шарнирно-закрепленного стержня естественное деформирование связано лишь с количественными

125

изменениями прогибов, напряжений и других параметров напря-

,женно-деформированного состояния. Форма же деформирования в основном остается неизменной — это плавная кривая с макси­ мумом в середине пролета. В других случаях естественное де­

формирование связано не только с количественными, но и с ка­ чественными изменениями формы деформирования. Таких при­ меров много.

модель, имеющая все начальные несовершенства, которые влия­ ют на ее несущую способность. Например, при расчете стальной статически неопределимой плоской рамы из тонкостенных стержней, загруженной системой нагрузок Р, действующих в плоскости рамы, необходимо каждый стержень считать искривленным из плоскости рамы и имеющим начальное закру­ чивание, все полки и стенки каждого стержня должны прини­ маться с начальными искривлениями и т. д. Диаграмма состоя­

расчетная модель принимается идеализированной, лишенной тех или иных начальных несовершенств.

Например, приняв все полки и стенки всех стержней без на­ чальных искривлений, получим расчетную модель более жест­ кой. Диаграмма состояний равновесия для нее изобразится кри­ вой 2 на рис. 57. Однако при расчете этой модели естественный характер ее деформирования в некоторый момент, определя­ емый точкой а, может нарушиться из-за появления новых форм деформирования (возникнут местные искривления полок или стенок в одном или нескольких стержнях). Это состояние, со­ гласно теории устойчивости первого рода, критическое. Проис­ ходит потеря устойчивости первоначального процесса деформи­ рования системы. С этого момента начинается новый процесс деформирования, который в разных случаях будет происходить при возрастающей или убывающей нагрузке в зависимости от того, сколь значительна роль элементов, достигших критическо­ го состояния, в обеспечении жесткости всей системы.

Если расчетную модель составить из стержней, лишенных начальных искривлений из плоскости рамы, а также местных искривлений их полок и стенок, то жесткость модели возрастает еще больше (см. рис. 57, кривая 3), но естественный процесс де­ формирования сможет нарушиться уже в результате потери устойчивости плоской формы изгиба одного из стержней рамы. Это опять будет потеря устойчивости процесса деформирования, но при этом в большинстве случаев устойчивость рамы будет по- ’теряна. До точки максимума диаграмма не дойдет.

Практически этот недостаток расчета по деформированной

126

шарнирно-закрепленный упругий стержень, имеющий начальные искривления двух типов: S-образное с большой стрелкой и весь­ ма малое по одной полуволне. С возрастанием сжимающей силы все быстрее растет искривление по одной полуволне и при при­ ближении к низшей силе Эйлера оно становится бесконечно

большим. Бесконечно большой прогиб — это следствие линейной постановки задачи, но качественный результат здесь правиль­ ный— постепенное изменение формы искривления стержня, при котором все сильнее преобладает искривление по одной полу­ волне.

Второй пример искривлений упругого стержня рассмотрен в [8], где показаны Значительные смещения точек перегиба по длине слото-изогнутого стердоя и их взаимное сближение при возрастании сжимающей силы. Критическое состояние наступа­ ет в момент, когда точки перегиба сблі-шаются до расстояния /,

При косом внецентренном сжатии стержня из материала,, подчиняющегося диаграмме Прандтля, с ростом сжимающей силы происходит непрерывное изменение отношения прогибов в двух взаимно перпендикулярных направлениях [8]. Центр тя-

127

жести среднего сечения стержня перемещается по некоторой криволинейной траектории. Устойчивость теряется в направле­ нии касательной к этой кривой. Таким образом, стержень плав­ но подходит к форме деформирования в критическом состоянии.

При изгнбно-крутилы-юй форме деформирования внецентрен- но-сжатого шарнирно-закрепленного стержня среднее сечение смещается линейно в двух направлениях fx и fy и поворачивает­ ся в своей плоскости на угол ср. В первом приближении рост каждого из этих перемещений с увеличением сжимающей силы N может определяться из формул:

рут для первого расчетного сечения. Относительно центра этого сечения определяют и все перемещения.

С ростом силы N она начнет приближаться к наименьшему из трех значений Nix, Niy, Nіш. Из (8.7) видно, что одно из переме­ щений начнет возрастать значительно быстрее двух других. Именно направление этого быстро возрастающего перемещения будет доминировать и в перемещении стержня в критическом состоянии. Следовательно, опять естественное деформирование будет связано с постепенным изменением формы деформирова­ ния в направлении приближения ее к критической.

Расчеты рам из упругопластического материала также пока­ зывают, что форма их деформирования непрерывно изменяется, все более приближаясь к критической.

Подобных примеров немало, однако и из приведенных видно, что постепенное изменение формы деформирования конструкций в направлении приближения ее к критической свойственно мно­ гим нелинейно-деформируемым конструкциям и может рассмат­ риваться как одно из их свойств. Такое естественное деформи­ рование характерно для конструкций, жесткости и отпорности которых плавно изменяются при нагружении.

Имеются конструкции и с резко изменяющимися жесткостя­ ми и отпорностями. Например, двутавровый внецентренно-сжа-

128

тый в плоскости стенки стержень. Если стенка стержня очень тонкая и при какой-то нагрузке, характеризующейся ординатой точки А на рис. 58, теряет устойчивость, находясь в упругой ста­ дии, то начинается перераспределение нагрузки на полку без увеличения внешней нагрузки. Прогиб стержня будет возра­ стать (горизонталь AB на рис. 58). Далее кривая состояний рав­ новесия может опять начать повышаться (участок ВМ), и в точ­ ке М произойдет потеря устойчивости стержня.

Таким образом, в этом случае будут нарушены сразу две за­ кономерности, присущие конструкциям из упругопластического материала. Во-первых, состояние нулевой отпорности в точке 'А наступит внезапно и во-вторых, оно не будет особенно опасным, так как после сравнительного небольшого развития прогибов отпорность стержня вновь станет положительной.

В качестве другого примера рассмотрим опять двутавровый стержень из материала, подчиняющегося диаграмме Прандтля. При внецентренном сжатии в плоскости стенки после распрост­ ранения пластических деформаций на всю полку соотношение отпорностей и критических сил может резко измениться и харак­ тер деформирования качественно изменится.

Таким образом, возможны особые формы деформирования, отличающиеся от естественных.

§ 38. СТЕРЖЕНЬ, ИСКРИВЛЯЮЩИЙСЯ S-ОБРАЗНО

Искривление шарнирно-закрепленного стержня по двум одинаковым полуволнам представляет собой кососиммет­ ричную деформацию, отвечающую второй форме потери устой­ чивости при более высокой критической нагрузке. Исследование такого стержня представляет особый интерес, так как это может выявить ряд закономерностей, имеющих более общий характер и относящихся к достаточно широкому классу конструкций. Вы­ полним это исследование в том виде, как это было сделано ас­ пирантом автора В. А. Икриным [13] на модели из трех абсо­ лютно жестких звеньев (рис. 59), соединенных между собой по­ датливыми связями 1 и 2, а с опорами шарнирно. Внешняя на­ грузка пропорциональна силе N.

Предполагая все перемещения малыми, сможем написать: