книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

Не следует забывать, что все характеристики первого и вто­ рого расчетных сечений определены относительно нейтральной оси при рассматриваемом напряженном состоянии в сечении.

В. И. Сливкер [25] для получения зависимостей между ха­ рактеристиками первого и второго расчетных сечений использо­ вал уравнения (1.13) — (1.15), которые для случая плоского из­ гиба (Му= 0 ) принимают следующий вид:

Варьируя эти соотношения, получим

Но для получения вариаций bN и 6М можно использовать уравнения (1.53) — (1.55), которые для случая плоского изгиба принимают вид

Все характеристики расчетных сечений, входящие в эти урав­ нения, вычисляют относительно геометрического центра сече­

30

ния. В эти зависимости вместо силовых факторов входят дефор­ мации в сечении ео и k.

При развитии деформаций в сечении все характеристики пер­

т. е. все геометрические характеристики второго расчетного се­ чения меньше, чем для первого расчетного сечения, и, таким об­ разом, отпорности сечения на сжатия и на изгиб меньше его жесткостей .

Г л а в а 2

ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖЕСТКОСТИ И ОТПОРНОСТИ СЕЧЕНИЯ

§ 6. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЖЕСТКОСТИ И ОТПОРНОСТИ СЕЧЕНИЯ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ СО СЖАТИЕМ

нейный участок и затем постепенно поднимающийся криволи­ нейный участок. На рис. 7 показаны различные формы диа­ грамм.

При расчете конструкций на ЭВМ может быть использована любая диаграмма работы, причем она может быть задана как таблично, так и аппроксимирующими функциями.

Многочисленные расчеты показывают, что небольшие изме­ нения диаграммы весьма мало влияют на конечные результаты (на величину критической силы, на величину перемещений и т. д.). Собственно сама «действительная» диаграмма весьма ус­ ловна, так как даже для одной партии металла диаграммы име­ ют разброс по основным параметрам и, в первую очередь, по пре­ делу текучести.

Для других материалов (бетон, каменная кладка, пластмас­

в выборе расчетной диаграммы с практической точки зрения не •оправданы.

31

Исходя из этих соображений, во многих случаях целесооб­ разно использовать в качестве расчетной идеализированную упругопластическую диаграмму с линейным упрочнением.

Для определения параметров расчетной диаграммы могут быть использованы различные условия. Например, для сжато­ изогнутых стержней вполне себя оправдали условия равенства углов наклона действительной и расчетной диаграммы при мак­ симальной деформации еМакс (рис. 8) и условия равенства пло­ щадей обеих диаграмм, ограниченных значением емакс.

Для изгибаемых элементов целесообразно принимать равен­ ство площадей обеих диаграмм и их статических моментов от­ носительно начала координат.

Для определения жесткости п отпорности сечения из упруго­ пластического материала (см. §2 и 3) можно использовать ите­ рационный метод. Предложен ряд алгоритмов, из которых наи­ более удачен, по-видимому, алгоритм В. П. Коломийца [16]. Задача ставится в виде определения относительной деформации сжатия е0 в геометрическом центре сечения и кривизны k про­ дольной оси стержня, проходящей через физический центр се­ чения при действии в сечении момента М0 и сжимающей си­ лы N.

В качестве начальных значений принимают деформации, отвечающие упругой стадии работы:

в центрах элементарных площадок AFn, на которые разбивает­ ся действительное сечение

32

Зная величину еп и имея любую диаграмму работы материа­ ла, определяем напряжение ап в центре этой площадки. После этого вычисляем внутренние усилия в сечении

где I — номер итерации;

s— количество элементарных площадок, на которые разби­

данными внешними и полученными внутренними усилиями в се­ чении

АNi = N — АД, AM,- = М0— М;. (2AJ

Если разности не превосходят допустимых отклонений, то осуществляется выход из итерационного цикла, в противном случае.определяют деформации в следующем приближении і'+І:

Чтобы определить приращения деформаций Деоі и ДА*, ис­ пользуют уравнения (1.86) — (1.88), которые для случая прира­ щений нагрузок и плоского изгиба переходят в систему двух уравнений и содержат характеристики не первого, а второго рас­ четного сечения. В конечном виде эти уравнения имеют следую­ щий вид:

характеристик сначала должны быть найдены значения относи­ тельного касательного модуля Ѳп в центрах тяжести всех эле­ ментарных площадок, что при известных значениях деформаций

(2. 11)

/1 = 1

Может показаться странным, что при определении равновес­ ного состояния в сечении используют упругогеометрические ха­

ма компактна и занимает порядка 2008 ячеек памяти машины. Сходимость итерационного решения довольно быстрая — обыч­ но не более трех итераций.

По программам, составленным на основе этого алгоритма, выполнено много расчетов сечений сложной формы при исполь­ зовании диаграммы Прандтля и идеализированной диаграммы с линейным упрочнением (рис. 10). При разбивке сечений на элементарные площадки каждая из полок Fі и Fs принималась за одну площадку, а для сечения, показанного на рис. 10,6:

34

Из (2.13) видно, что жесткость на сжатие определена пра­ вильно, а жесткость на изгиб занижена, так как приведенный момент инерции первого расчетного сечения /п отвечает момен­ ту М0 относительно оси, проходящей через геометрический, а не физический центр.

Момент инерции /п — величина условная [8], равная

Поскольку знаки ат, и k во всех случаях различны, то второе слагаемое всегда отрицательно. Следовательно:

Жесткость на изгиб сечения сжато-изогнутого стержня из

или из формулы, аналогичной (2.13):

Неудобство обеих этих формул в том, что в них входит вели­ чина а — координаты физического центра, которая не определя­ лась в описанном алгоритме. Ее приходится находить дополни­ тельно. Для определения а необходимо выполнить вычисления по формулам (2.9) — (2.10):

Поскольку Еп для каждой элементарной площадки определе­

но, то по диаграмме работы можно получить отвечающее ему

следует, что расчет можно вести и в условных величинах, ис­ пользуя ЕІа в качестве «жесткости на изгиб». При этом кривиз­ на k определяется правильно, а по форме такой расчет чаще всего более прост.

Отпорности на сжатие и- на изгиб легко вычислить по фор­ мулам

§ 7. ЖЕСТКОСТЬ И ОТПОРНОСТЬ СЕЧЕНИЯ ПРИ КОСОМ ИЗГИБЕ СО СЖАТИЕМ

В общем случае косого изгиба со сжатием алго­ ритм В. П. Коломийца записывается в следующем виде: началь­ ные значения деформаций принимают из упругого расчета

36

сечения на элементарные площадки т полосками, параллельны­ ми оси Ох, и п полосками, параллельными оси 0у, записываются в следующем виде:

37

где А Fnm и Ѳп„, — элементарные площадки и относительные ка­ сательные модули для них.

Суммируют сначала по одной из элементарных полосок, за­

начинают новый цикл. Выход из цикла осуществляется, когда разности (2.28) не превосходят заданной величины. Эта про­ грамма также компактна и занимает около 300s ячеек памяти машины.

§ 8. ИДЕАЛИЗИРОВАННАЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ ДИАГРАММА РАБОТЫ МАТЕРИАЛА. ПЛАСТИЧЕСКИЙ ШАРНИР

Рассмотрим применение в ряде случаев диаграм­

При диаграмме работѣі материала любого вида, в том числе диаграмме Прандтля, напряженно-деформированное состояние для такого нагружения в каждой точке сечения повторяет диаг­ рамму работы, а при полной разгрузке в сечении не остается напряжений (при переходе через предел упругости остаточные деформации будут).

При действии изгибающего момента напряженно-деформи­ рованное состояние может быть определено общим методом, по­ этому здесь ограничимся рассмотрением качественной картины на примере прямоугольного сечения. Эксперименты показали [29], что распределение деформаций по сечению и в упругоплас­ тической стадии работы балки мало отличается от плоскостного.

Эпюра напряжений в сечении после перехода краевых дефор­ маций за величину ет будет иметь вид, показанный на рис. 13, я.

Момент внутренних сил равен:

38