книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

Пусть пределы текучести на сжатие и на растяжение материала одинаковы и равны ат.

Примем, что в сечении могут действовать сжимающая (ра­ стягивающая) сила N и изгибающий момент М. Величины их в каждый момент времени неизвестны, но изменяться они могут лишь в определенных пределах:

Под влиянием этих воздействий деформации будут меняться по величине, а иногда и по знаку. При изменении усилий в пре­ делах (11.1) деформации могут постепенно или резко нарастать или стабилизироваться на определенном уровне и далее не уве­

чении могут быть также остаточные или, как их иначе называют, собст­ венные напряжения аос. Они могут быть результатом предшест­

вующих нагружений или технологических операций при изготов­ лении или монтаже конструкций (правка, гибка, сварка и т. д.).

Собственные напряжения и усилия взаимно уравновешены, они имеются и в ненагруженной конструкции, поэтому должны

Такие напряжения, самоуравновешенные в макрообъемах, со­ измеримых с размерами сечения или всего стержня, называют собственными напряжениями первого рода. Имеются еще собст­ венные напряжения второго и третьего рода, самоуравновешен­ ные соответственно в объемах зерна и кристалла материала. Эти напряжения влияют на прочность и деформативные свойства материала и учитываются при изучении материала. Здесь они во внимание не принимаются.

170

Полная величина напряжения в точке сечения с координатой у будет равна сумме напряжений от усилий N и М и собствен­ ных ОосЕсли эта сумма в каждой точке сечения не превысит ве­

то конструкция и при наличии собственных напряжений будег работать упруго и деформации нарастать не будут.

Однако ограничения (11.4) слишком жесткие, внешние уси­ лия, им отвечающие, меньше, чем определяемые из условия крае­ вой текучести, если расчет производят без учета собственных на­ пряжений.

Многочисленные эксперименты показали, что сечение может приспособиться при воздействиях N и М, вызывающих напряже­ ния, превышающие пределы (11.4). Механизм приспособляемо­ сти состоит в следующем.

. В сечении с некоторой начальной эпюрой собственных напря­ жений аосо(у) при максимальных значениях усилий N2 и М2 Ёозникают пластические деформации. После уменьшения этих усилий до минимальных значений Nі и Мі в каких-то зонах се­ чения появятся новые пластические деформации обратного зна­ ка. ' Если после этого сечение полностью разгрузить (N=0, М= 0), то эпюра собственных напряжений изменится по сравне­ нию с первоначальной. Обозначим ее ординаты а0с\(у)- При последующих циклах изменения усилий N и М в пределах (11.1) эпюра собственных напряжений будет изменяться, а деформа­ ции е в сечении будут увеличиваться.

В результате таких изменений может наступить стабилиза­ ция эпюры собственных напряжений, признаком чего является равенство остаточных напряжений во всех точках сечения при двух последующих нагружениях п—1 и п\

то при любых изменениях усилий N и М в пределах (11.1) де­ формации е и напряжения о в сечениях будут изменяться в уп­ ругих пределах. При этом независимо от количества циклов ос­ таточные деформации расти не будут, так как сечение приспо­ собится к усилиям N и М.

Эта идея и сформулирована в теореме Блейха — Мелана о приспособляемости применительно к сечению. Из нее следует, что если можно подобрать такую эпюру собственных напряже­ ний, при которой условие (11.4) будет выполнено, то сечение приспособится. При этом под а (у) понимают ординаты огибаю­ щей всех напряжений, возможных при изменении усилий N я AI б пределах (11.1), подсчитанных по упругой стадии работы.

171

Если же такой эпюры остаточных напряжений не существует и условие (11.4) нарушается хотя бы в одной точке сечения, то рост деформаций не приостановится и после какого-то количест­ ва циклов нагружения произойдет разрушение. Под разрушени­ ем и здесь понимается такое состояние, при котором деформации растут без увеличения нагрузок, т. е. состояние нулевой отпорности.

В общем случае теорема Блейха—• Мелана дает нижнюю гра­ ницу приспособляющей нагрузки. Действительно, если заданы размеры сечения, предел текучести материала и граница измене­ ния усилий (11.1), то достаточно подобрать любую эпюру собст­ венных напряжений, при которой выполняются условия (11.4). От­ сюда следует, что при таких изменениях усилий сечение приспо­ собится. Однако останется неизвестным, насколько можно раз­ двинуть границы цикла изменения N и М, чтобы приспособление

Для решения этой задачи необходимо найти эпюру собствен­ ных напряжений, наиболее благоприятную для данного цикла усилий N и М. Решить эту задачу не всегда легко. Вероятно, это обстоятельство послужило основанием для того, чтобы Койтером была сформулирована теорема, дающая верхнюю границу для приспособляющей нагрузки. Из нее следует, что если работа внешних сил за один цикл изменения усилий превысит работу внутренних сил при любом выбранном механизме деформирова­ ния, то приспособления не произойдет.

Очевидно, что при различных формах деформирования вели­ чина приспособляющей нагрузки будет различной. Из всех воз­ можных форм истинной будет та, при которой приспособляющая нагрузка окажется минимальной. При этой форме параметр при­ способляющей нагрузки, определенный как по теореме Койтера, так и по теореме Блейха — Мелана, совпадет.

§ 55. П Р О Ч Н О С Т Ь Р А З Л И Ч Н Ы Х С Е Ч Е Н И И П Р И П О В Т О Р Н Ы Х Н А Г Р У Ж Е Н И Я Х

Рассмотрим поперечное сечение произвольной фор­ мы статически определимого стержня (рис. 95). Предельное сос­ тояние сечения наступает после образования в нем пластическо­ го шарнира. Примем следующее распределение остаточных на­ пряжений, удовлетворяющее теореме Блейха — Мелана:

Условия равновесия внешних и внутренних сил и моментов при пластическом шарнире в сечении записываются в следующем виде:

172

Аналогично записываются выражения для огибающей напря­ жений в сечении, определенных исходя из упругой стадии ра­ боты:

Поскольку остаточные напряжения по всему сечению взаим­

где F — площадь сечения;

Wnn— пластический момент сопротивления сечения, равный ЬА2/4.

173

Исключив из этих соотношений параметр т], получим извест­ ную зависимость между безразмерными усилиями п0 и т0 в пре­ дельном состоянии при однократном нагружении:

Полученные соотношения связывают в параметрической форме (через параметр л) усилия п и т, которые могут повторяться многократно без опасности прогрессивного разрушения. График этой зависимости показан на рис. 96 (линия 3). Для сравнения на этом же рисунке показана зависимость между предельными усилиями п0 и т0 при однократном загружении (линия 2) и пре­ дельными усилиями для упругой работы (линия 1). Из рис. видно, что влияние повторности загружения в данном случае не очень велико. При средних эксцентрицитетах оно достигает 8—

т

174

9%, при больших и малых экс­ центрицитетах оно значительно меньше.

На рис.-97 результаты расчета даны для симметричного двутав­ ра, у которого площадь каждой полки составляет 20% площади всего сечения, а на рис. 98-— ана­ логичные кривые для несиммет­ ричного двутавра, у которого площади полок составляют 20 и 40% площади всего сечения.

На обоих рисунках верхняя кривая характеризует прочность сечения при однократном нагру­ жении, а нижняя — при повтор­ ных загружениях от нуля до оп­

ределенных значений. Из них видно, что снижение несущей спо­ собности сечений при повторных нагружениях сравнительно не­ велико.

§ 56. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТО-ИЗОГНУТОГО СТЕРЖНЯ ПРИ ПОВТОРНЫХ н а г р у ж е н и я х

Если наиболее напряженным является внеузловое сечение шарнирно-закрепленного стержня, то исчерпание его прочности, как правило, невозможно, так как раньше этого он потеряет устойчивость. Чтобы обеспечить устойчивость стержня в плоскости рамы на всех этапах повторных нагружений, отпорность его на изгиб в этой плоскости в каждый момент должна быть не меньше ЕІ2 из (11.19). Приближенно, как показано вы­ ше, критическая сжимающая сила для такого стержня может быть определена из обобщенной формулы1Эйлера:

Отсюда следует, что момент инерции І2 наиболее напряжен­ ного сечения не должен быть меньше определенной величины, удовлетворяющей (11.19).

Методы определения размеров упругой зоны при однократ­ ном нагружении были даны выше. Для повторных нагружений решение осложняется нелинейностью системы, в результате чего

вобщем случае повторные нагружения могут вызывать рост пластических деформаций и уменьшение І2.

Решения задачи приспособляемости такого стержня пока нет;

всилу этого необходимо найти пределы изменения напряжений

всечении, при которых увеличения пластических зон при пов­

торных нагружениях не будет. Это условие выполнится, если при разгрузке в момент уменьшения усилий в стержне не появят-

175

ся пластические деформации обратного знака, т. е. если раз­ грузка будет сопровождаться только упругими деформациями.

На рис. 99 показано сечение высотой Іі с упругим ядром вы­ сотой а при максимальном нагружении. Наибольшая деформа­ ция на кромке равна 8МаксРазгрузка будет упругой, если вы­ полнится условие

Деформации еір и ЕгР при разгрузке определяют по общеиз­ вестной двучленной формуле

амплитуды изменения усилий в сечениях; Іи — расстояние от центра тяжести до кромок сечения.

Помимо выполнения условий (11..20) необходимо также, что­ бы при однократном нагружении упругое ядро было не меньше определенного предела.

На рис. 100,а показана предельная эпюра напряжений в се­ чении при пластическом шарнире, а на рис. 100,6 и в даны пре­ дельные эпюры, отвечающие условию (11.19) при односторонней

идвусторонней 'текучести в сечении.

В[11] показано, что условие (11.19) будет выполнено, если вместо фактических эпюр принять условную, показанную на рис. 100,г, т. е. если принять сниженную величину предела теку­ чести k <Тт-

Переход к усилиям NKp и Мкр, отвечающим условной эпюре, осуществляется для прямоугольного сечения по следуюіцим фор­ мулам [11]:

Рис. 99. Эпюра деРис. 100. Расчетные эпюры напряжений в сечении формаций в 'сечении

176

где t и h — ширина и высота сечения;

т) = т]jh— относительная координата нулевой линии. Аналогичные выражения можно получить и для других форм

сечений. Таким образом, учет повторности нагружений также можно выполнить ограничением деформаций в поперечных се­ чениях рамы. Практически осуществить это можно в алгоритме «сечение».

Г л а в а 12

РАСЧЕТНЫЕ СОЧЕТАНИЯ НАГРУЗОК

§ 57. НЕОБХОДИМОСТЬ РАЗРАБОТКИ МЕТОДИКИ НАЗНАЧЕНИЯ РАСЧЕТНЫХ СОЧЕТАНИЙ НАГРУЗОК

Для линейно-деформируемых систем справедлив закон наложения. Это позволяет при любом количестве различ­ ных нагрузок и воздействий рассматривать все их поодиночке, а наиболее опасные их сочетания определять суммированием усилий или перемещений одного знака. При этом нередко ока­ зывается, что для одних элементов конструкций наибольшие значения усилий или перемещений появляются при одном соче­ тании нагрузок, а для других — при другом. Иногда даже для различных сечений одного элемента конструкции наиболее не­ благоприятны разные сочетания нагрузок.

Для нелинейно-деформир.уемых систем закон наложения не справедлив, поэтому расчет всей системы должен производиться на определенные сочетания нагрузок. С одной стороны, количе­ ство таких сочетаний должно быть по возможности минималь­ ным, так как каждый расчет требует определенной затраты труда и машинного времени. С другой стороны, количество сочетаний должно быть достаточным для обеспечения надежности конст­ рукций. Противоречивость этих двух требований указывает на необходимость решения задачи на основе какого-то определен­ ного принципа.

Следует отметить, что метод перебора всех возможных соче­ таний нагрузок как общий необходимо сразу исключить, так как он может быть применен в сравнительно редких случаях, когда количество независимых нагрузок невелико.

Из всех возможных сочетаний практическое значение имеют лишь те, которые определяют ту или иную форму исчерпания не­ сущей способности конструкции. Поскольку количество таких

форм для каждой конструкции ограничено, то и количество «ре­ шающих» сочетаний нагрузок также вполне обозримо. Следова­ тельно, задача сводится к тому, чтобы сформулировать методи­ ку выбора из множества возможных сочетаний всех «решаю­ щих». Это может быть сделано на основе ряда подходов, которые

иизлагаются ниже.

§58. КРИТЕРИЙ ХАРАКТЕРНОГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

Рассмотрим статически неопределимую раму, на ко­ торую действует ряд независимых нагрузок, из которых можно составить т сочетаний. При каждом из этих сочетаний все на­ грузки будем считать возрастающими пропорционально одному параметру п.

Несущая способность рамы будет исчерпана, если по край­ ней мере по одному из направлений появилась свобода переме­ щений, т. е. отпорность рамы по направлению хотя бы одного из характерных перемещений стала нулевой. Допустим, что для рамы характерно какое-то перемещение /ь Кинематическую сво­ боду по направлению этого перемещения рама получит, когда будет выполнено условие

Из множества сочетаний нагрузок требуется найти такое Рі, при котором параметр пкі будет наименьшим. Перебрав таким образом все характерные перемещения рамы, получим k соче­ таний нагрузок, на которые должна быть рассчитана рама, для того чтобы ни одна из возможных форм ее потери устойчивости не осталась не обследованной. Однако не всегда можно безоши­ бочно назначить одно единственное сочетание нагрузок, при ко­ тором значение параметра пКі будет действительно наименьшим. Иногда может потребоваться рассмотреть два или даже три воз­ можных сочетаний нагрузок, опасных для одного характерного перемещения. Тем не менее общее количество расчетных сочета­ ний нагрузок можно считать порядка 2s, если через s обозна­ чить общее количество характерных перемещений рамы.

Выясним теперь, что следует понимать под характерными перемещениями рамы. Если в плоской раме имеется t узлов, то общее количество возможных для нее перемещений равно 3£ поскольку каждый из узлов имеет три степени свободы в виде линейных перемещений в двух взаимно перпендикулярных на­ правлениях и поворот. Для краткости линейные перемещения будем называть горизонтальными и вертикальными.

Из общего количества 31 возможных перемещений узлов не-

178

зависимыми можно считать только линейные смещения, так как, если учитывать сближения концов стержней, поворот узла неиз­ бежно влечет за собой и его линейное смещение. После отбрасы­ вания угловых перемещений общее количество характерных пе­ ремещений сократится до 2t.

Для многих рамных систем характерны также формы дефор­ мирования, при которых изменение расстояний между некоторы­ ми смежными узлами значительно меньше величин смещений этих узлов в плоскости рамы. Это, например, наблюдается при рассмотрении горизонтальных перемещений ригеля одноэтажных или многоэтажных рам при горизонтальном ригеле или верти­ кальных перемещений узлов многоэтажной рамы, расположен­ ных на одной вертикали, если участки колонн между этими уз­ лами заведомо устойчивы. В результате этих достаточно очевид­ ных упрощений общее количество характерных перемещений ра­ мы окажется значительно менее 2t.

Таким образом, верхним пределом количества расчетных со­

. Такое количество расчетных сочетаний для каждой рамы вполне может быть обследовано. Кроме того, практически всегда необходимо рассматривать меньшее их количество. У одноэтаж­ ных рам с ригелем на одном уровне количество расчетных соче­ таний уменьшится до

Вмногоэтажных рамах ригели, как правило, горизонтальны,

асечения колонн уменьшаются ступенчато через несколько эта­ жей. Если количество таких изменений равно и, а количество этажей в раме — ѵ, то количество расчетных сочетаний умень­ шится в отношении

Если колонны в пределах каждого этажа заведомо устойчи­ вы, то отпадает необходимость проверки вертикальных смещений узлов и количество расчетных сочетаний нагрузок сокращается до

из которых большинство горизонтальных смещений верхних яру­ сов рамы, как правило, не имеет решающего значения.

Из всех этих рассуждений следует, что общее количество форм потери устойчивости рамы, связанное с перемещениями ее узлов, ограничено и каждая их них может быть проверена.

Для каждой из обследуемых форм потери устойчивости не­