книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

Коэффициент с определяли в зависимости от закона разви­ тия пластических деформаций по длине стержня.

В стержнях малых гибкостей предельное состояние достига­ лось образованием в концевых сечениях напряженного состоя­ ния, близкого к пластическому шарниру. В этих случаях сильно нарастали укорочения стержня при сравнительно слабом разви­ тии прогибов, поэтому определить величину ак было почти невоз­ можно.

Среднее сечение стержня практически не смещалось до боль­ ших нагрузок, составляющих 0,82—0,96 критической. Однако не­ достаточная точность обычных испытаний на гидравлических прессах не позволила четко выявить двухстадийную работу стержня. Аналогичные результаты получены и при испытаниях стержней по второй схеме (см. рис. 67).

§ 41. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Потеря устойчивости конструкции из упругопласти­ ческих материалов может быть первого и второго рода. В тех случаях, когда форма деформирования конструкции под влия­ нием внешних нагрузок включает в себя какие-то составляющие,

ных для критической формы при низшей критической силе. В таких случаях кривая состояний равновесия будет иметь вид кривой ОС. В этот момент произойдет по­ теря устойчивости первоначальной формы деформирования и начнется новая стадия работы при медленно возрастающей на­ грузке— кривая CD. В состоянии, отвечающем точке D (в точке максимума), будет достигнуто предельное равновесие (нулевая отпорность)

(8.39)

dM

конструкция потеряет устойчивость, ее несущая способность бу­ дет исчерпанной.

Таким образом, критерий (8.39) нулевой отпорности во всех случаях определяет исчерпание несущей способности, в то

140

время как бифуркационный критерий может определять "лишь смену одной формы устойчивого деформирования новой фор­ мой также устойчивых состояний равновесия. Примерами кон­ струкций, для которых значения критической нагрузки при использовании критериев устойчивости первого и второго рода различны, являются стойка Шенли и другие идеально

после развития в нем пластических деформаций будет достигну­ та нулевая отпорность на сжатие (здесь не рассматриваются стержни больших гибкостей, способные и далее деформировать­ ся в упругой стадии).

Таким образом, общий критерий устойчивости конструкций из

грузки. Это общий вывод; как частный случай из него получаем задачу Шенли [32].

В рассмотренных примерах количественное превышение кри­ тической нагрузки из-за второй стадии деформирования было небольшим, хотя для некоторыхпримеров, рассчитанных В. А. Икриным, оно достигало 15%. В основном же наличие двухстадийной работы имеет принципиальное значение как спе­ цифическая особенность нелинейных систем.

Г л а в а 9

РАСЧЕТ РАМ

§ 4 2 . П Р И М Е Н Я Е М Ы Е М Е Т О Д Ы

Применяемые рамы разнообразны по конфигура­ ции, степени статической неопределимости, способам сопряже­ ния в узлах, гибкостям сжатых или сжато-изогнутых стержней, материалам, формам поперечных сечений и т. д.

Столь большое разнообразие конструкций обусловило и мно­ гочисленные методы расчета, изложенные в литературе и приме­ няемые на практике. На рис. 69 показано сравнение различных методов в форме построения зависимости между величиной на­

141

грузки Р, которая считается возрастающей пропорционально од­ ному параметру и характерным перемещениям рамы f.

Общепринятый метод расчета рам состоит из двух этапов. Сначала из расчета рамы как линейно-деформируемой системы (прямая OB на рис. 69) определяют усилия во всех элементах, затем по этим усилиям проверяют прочность и устойчивость от­ дельных стержней. Обыч­ но это делается на осно­ вании Норм, в которых даются рекомендации по назначению расчетных длин сжатых и сжато-изо­ гнутых стержней, величи­ ны критических напряже­ ний для них и др. На пер­ вом этапе предполагается упругая работа стержня, на втором учитывается возможность пластичес­

ких деформаций. Внешнюю нагрузку Р,

при которой в одном или нескольких элементах ра­ мы возникают расчетные усилия, равные по вели­ чине расчетной несущей

способности этих элементов, принимают за предельную нагрузку для рамы (точка С на рис. 69).

Врезультате длительного применения этого метода вырабо­ таны различные поправочные приемы и коэффициенты, исполь­ зование которых обеспечивает надежность рам, рассчитываемых таким способом.

Вто же время более строгие расчеты, выполненные на ЭВМ, выявили значительную неравнопрочность различных элементов рамы и ее общую избыточную несущую способность. В связи с этим в течение уже многих лет предпринимаются попытки раз­ работать более совершенный метод расчета, позволяющий пол­ нее оценить при расчете действительное поведение конструкции под нагрузкой и ее несущую способность.

Восновном эти работы развивались по двум направлениям: попытках учесть пластические деформации, появляющиеся в эле­ ментах рамы, и разработке методов расчета на устойчивость. •

Метод последовательного образования пластических шарни­ ров. Зависимость, изгибающего момента в сечении изгибаемой балки из материала, подчиняющегося диаграмме Прандтля, от кривизны ее продольной оси показана на рис. 14. Из указанной диаграммы видно, что с увеличением деформаций замедляется рост изгибающего момента и кривая асимптотически приближа­

142

ется к горизонтали с ординатой Мш. Этот изгибающий момент называется моментом в пластическом шарнире.

Если в прямоугольном сечении стержня кроме изгибающего момента действует осевое усилие N, то предельная эпюра напря­ жений в сечении не будет симметричной, однако характер зави­ симости изгибающего момента от кривизны будет такой же, как показан на рис. 14. Эта зависимость, являясь, конечно, условной, в то же время указывает на способность сечения стержня из уп­ ругопластического материала сохранять несущую способность при весьма значительном развитии пластических дефор­ маций.

Для изгибаемых стальных балок такой характер деформиро­ вания был подтвержден экспериментальными исследованиями советских и зарубежных ученых, поэтому не может вызывать сомнений.

Понятие пластического шарнира было использовано и для расчета статически неопределимых систем — неразрезных балок и рам. В сечениях балок пластические шарниры образуются в результате действия только изгибающих моментов, а отсутствие осевых сжимающих сил исключает возможность потери устойчи­ вости балок в плоскости изгиба (устойчивость балок из плоско­ сти изгиба обеспечивается поперечными элементами перекрытия или специально поставленными связями).

Таким образом, действительная схема работы балок хорошо согласуется с принятой расчетной моделью, и поэтому многочис­ ленные экспериментальные исследования дали результаты, хоро­ шо сргласующиеся с теоретическими. Постепенно метод пре­ дельного равновесия начал применяться все более широко для расчета железобетонных балок, в том числе и статически неоп­ ределимых, для армокаменных конструкций и многих других. Им начали пользоваться для выявления последовательных изме­ нений в схеме работы балки, для определения ее деформаций и в других случаях.

Естественными казались попытки применить метод последо­ вательного образования пластических шарниров и к статически

и многие др. За рубежом — Б. Нил, П. Ходж, И. Бекер, М. Хорн и др.

Суть метода, как известно, состоит в следующем.

Рама п раз статически неопределимая считается упругой ли- нейно-деформируемой системой вплоть до нагрузки, вызываю­ щей в одном из ее сечений изгибающий момент, равный моменту Мш в пластическом шарнире (линия 0D на рис. 69). Считается, что в этот момент в сечении рамы мгновенно образовался иде­ альный шарнир, воспринимающий, однако, полную величину

143

усилий, приведших к его появлению. Такой шарнир называется пластическим. Вся остальная рама и далее считается упругой линейно-деформируемой системой, но уже п—1 раз статически неопределимой. Вследствие появления шарнира рост деформа­ ций в раме при дальнейшем нагружении будет более быстрым (линия DE на рис. 69).

Такая система считается неизменной вплоть до возникнове­ ния второго пластического шарнира и т. д. На рис. 69 этот про­ цесс деформирования изображается ломаной 0DEFGH. После образования /г+1 пластических шарниров система превращает-

а

3ZS0

Н

Рис. 70. Система с «необходимыми» стержнями а

ся в механизм, отпорность ее становится равной нулю, а несу­ щая способность исчерпывается.

При таком методе расчета полностью игнорируется устойчи­ вость рамы в целом и устойчивость отдельных ее элементов. Именно поэтому результаты такого расчета достаточно хорошо согласуются с результатами экспериментальных исследований рам со стойками малых гибкостей. Потеря устойчивости таких рам наступает при значительном развитии пластических дефор­ маций, т. е. при изгибающих моментах, приближающихся к- Мш.

В то же время рамы с более гибкими стойками теряют устой­ чивость при сравнительно небольшом развитии пластических де­ формаций. Тогда при расчете методом последовательного обра­ зования пластических шарниров значительно завышается несу­ щая способность рамы.

Кроме того, не следует забывать, что возможны случаи по­ тери устойчивости отдельными стержнями рамы или образова­ ние пластических шарниров в сечениях, необходимых для обес­ печения неизменяемости рамы (стержни а на рис. 70).

Изложенное указывает на то, что метод последовательного образования пластических шарниров имеет существенные огра­ ничения и как общий метод его рассматривать нельзя. Вместе с тем для расчета многих конструкций этот метод может приме­ няться. Из этого следует, что очень важно определить класс кон­ струкций, для которых получающиеся погрешности практически допустимы.

144:

§ 43. РАСЧЕТ УПРУГИХ РАМ НА ОБЩУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ

Методы расчета упругих' рам на общую устойчи­ вость разрабатывались в то время, когда практически такие рас­ четы почти никогда не требовались, так как при обычно приме­ няемых сечениях, гибкостях, материалах потеря устойчивости рамы в упругой стадии почти никогда невозможна. Эти методы обычно использовались только для определения расчетных длин сжатых и сжато-изогнутых стержней рамы, но решения часто получались не обоснованными, так как критическое состояние рамы одновременно считалось критическим и для всех ее стерж­ ней. Такое допущение одновременной потери устойчивости не от­ вечает существу явлений, и поэтому получаемые расчетные дли­ ны для большинства стержней были преувеличенными.

Поскольку общая устойчивость упругой ра^іы, как правило, обеспечена, то при проектировании остается только проверить устойчивость каждого стержня. Такая проверка с использовани­ ем полученных расчетных длин выполнялась для каждого стерж­ ня методами сопротивления материалов на основе рекомендаций Норм. Все сказанное приводит к тому, что практическое значе­ ние этих методов ограничено.

При переходе к расчету конструкций из упругопластических материалов значение расчета рам на устойчивость резко изменя­ ется— этот расчет становится основным; именно он определяет, как правило, несущую способность рам, во всяком случае тех, ко­ торые имеют сжатые или сжато-изогнутые стержни. Кроме того, этот расчет в большинстве случаев становится единственным, и поэтому он должен обеспечить проверку всех возможных форм потери устойчивости рамы в целом и отдельных ее элементов.

Для удовлетворения всех этих требований расчет должен до­ статочно полно отражать действительное поведение рамы в це­ лом и всех ее элементов, поэтому он должен производиться с уче­ том физической и геометрической нелинейности ее работы.

Тем не менее классические методы расчета рам [17, 26] на общую устойчивость могут быть использованы при построении методов расчета рам из упругоплаотических материалов. Кроме того, с помощью этих методов можно провести некоторые качест­ венные исследования. К числу таких относится, например, выяс­ нение роли отдельных стержней рамы в обеспечении ее общей устойчивости и роли вертикальных перемещений узлов рамы при ее деформировании в критическом состоянии.

При расчете статически неопределимой линейно-деформируе- мой рамы на общую устойчивость получают значения критиче­ ской нагрузки для рамы в целом. В то же время увеличение или уменьшение жесткости каких-то одних элементов существенно влияет на величину низшей критической нагрузки, а подобное же изменение жесткости других элементов практически на нее

не влияет. Для подтверждения этого достаточно очевидного по­ ложения рассмотрена трехпролетная пятиэтажная рама (рис. 71). Она была рассчитана на общую устойчивость при одинако­ вой равномерно распределенной нагрузке на всех ригелях пяти этажей .(в расчетной схеме рамы нагрузка принималась узло­ вой). Для принятых жесткостей стоек и ригелей рамы было по­ лучено критическое значение нагрузки, которое условно примем за единицу.

После этого поочередно рассматривали рамы, в каждой из ко­ торых удвоили жесткость одной крайней стойки в пределах толь­

жей рамы играют роль поддерживающих по отношению к стой­ кам нижнего этажа. Отсюда очевидно, что чем ближе усиливае­ мая стойка к наиболее ответственным, тем ее поддерживающее влияние сильнее, и наоборот.

Это дает основание для утверждения разных запасов устой­ чивости различных элементов рамы и неодинаковой их роли

вобеспечении устойчивости всей системы. Учет этого, особенно при проектировании рам, загружаемых многими воздействиями

вразличных сочетаниях, необходим для создания конструкции по возможности равнопрочной.

Наличие в раме какого-то одного или нескольких стержней, недостаточная жесткость которых снижает несущую способность всей рамы, нерационально, поэтому определение наиболее слабых стержней всегда важно. К сожалению, пока для этого определе­ ния можно рекомендовать только метод попыток, который при наличии ЭВМ практически возможен. Полное же решение этой задачи возможно лишь методами оптимального проектирования

(см. главу 14).

Упругие линейно-деформируемые рамы из достаточно гибких стержней обычно деформируются так, что прогибы их элементов значительно превосходят укорочения осей. Аналогично этому при потере устойчивости таких рам (см. рис. 71) горизонтальные пе­ ремещения узлов значительно превышают вертикальные.

146

Все эти обстоятельства привели к тому, что при расчете рам на общую устойчивость рассматривались только формы дефор­ мирования, связанные с горизонтальными перемещениями узлов и их поворотами. Возможность вертикальных перемещений уз­ лов игнорировалась. Поскольку расчеты рам на общую устойчи­ вость практического значения, как правило, не имели, то допу­ стимая область применения расчетов, основанных на таких уп­ рощениях, оставалась невыясненной.

При расчете упругой рамы, показанной на рис. 71, при жест­ костях ее элементов, взятых из реального проекта, критическая нагрузка равнялась примерно двадцатикратной действующей. При уменьшении жесткости на изгиб одной из крайних стоек первого этажа в 100 раз запас устойчивости снизился с 20 до 15. Аналогичные результаты получатся и при уменьшении в 100 раз жесткости одной из средней стоек. Если в 100 раз уменьшить жесткость не одной, а двух стоек первого этажа, то запас устой­ чивости рамы снизится примерно до 10. Все эти результаты на­ ходятся в соответствии с утверждением Н. В. Корноухова [17] о малом влиянии перераспределений жесткостей стоек в преде­ лах одного этажа рамы. Действительно, в рассмотренных случа­ ях сумімарная жесткость на изгиб стоек первого этажа уменьша­ лась на 25 и 50%. Соответственно снижался и запас устойчиво­ сти рамы.

Если определить для критического состояния рамы форму искривления оси стойки, жесткость которой уменьшена в 100 раз, то окажется, что она имеет 4—5 полуволн, т. е. находится дале­ ко в закритической стадии. Несмотря на это, запас устойчивос­ ти рамы в целом равняется 10 или 15.

Объясняется это тем, что при расчете игнорировались верти­ кальные перемещения узлов рамы, т. е. все стойки считались абсолютно жесткими на сжатие, несмотря на сколь угодно -зна­ чительное уменьшение их жесткости на изгиб.

Таким образом, расчетная схема рамы меняется — одна или две стойки первого этажа почти совсем исключаются из работы на изгиб, т. е. могут считаться шарнирно-присоединенными к узлам, однако на сжатие они остаются бесконечно жесткими. По расчету такая рама имеет значительный запас устойчивости, несмотря на то что фактически несущая способность одной или двух стоек первого этажа давно исчерпана и рама неминуемо должна обрушиться.

Из сказанного видно, что при расчете рамы на устойчивость необходимо «ловить» все возможные формы ее потери устойчи­ вости, в том числе и местные, при которых кинематическую сво­ боду получают не все, а только часть узлов рамы или даже один'

должен считаться имеющим не две, а три степени свободы, т. е. кроме горизонтальных смещений узлов и их поворотов должны

учитываться также и вертикальные перемещения узлов. Для рам из упругопластического материала это наиболее важно.

§ 44. ОБЩИЙ МЕТОД РАСЧЕТА РАМ

При общем методе расчета рам из упругопластиче­ ского материала следует учитывать в элементах рамы пласти­ ческие деформации, сближение концов стержней и связанные с ними вертикальные перемещения узлов. Это приводит к необ­ ходимости рассматривать раму как единую физически-и геомет- рически-нелинейную систему, находить при определенной вели­ чине нагрузки ее деформированное состояние и проверять устой­ чивость деформированного состояния.

Таким образом, сначала требуется определить деформиро­ ванное состояние статически неопределимой плоской рамы от определенной совокупности внешних нагрузок, заданных по ве­ личине и по направлению. Решение будем вести при следующих предположениях:

плоская форма деформирования рамы устойчива; во всех точках объема рамы деформация активна (разгрузку не учиты­ ваем);

деформации рамы малы, поэтому использование приближен­ ного выражения для кривизны допустимо, а выражение «геомет­ рическая нелинейность» следует понимать лишь в смысле учета эффекта сжато-изогнутости стержней;

по сечению деформации распределяются по закону плос­ кости, деформации сдвига игнорируются;

узлы рамы перемещаются во всех трех направлениях (вер­ тикальное и горизонтальное линейные перемещения и поворот относительно центра узла);

стержни рамы взаимно ортогональны; ригели одноэтажных рам промышленных зданий обычно ре­

шетчатые, поэтому для таких, рам они считаются работающими в упругой стадии.

Достигнутый уровень исследований конструкций из упруго­ пластических материалов, результаты которых изложены в пре­ дыдущих главах, а также перечисленные выше допущения по­ зволяют построить общий метод расчета статически неопредели­ мых рам из упругопластического материала. На основе этого метода может быть сформулирован алгоритм расчета таких рам, ориентированный на использовании ЭВМ средней мощности.

Для определения деформированного состояния рамы целесо­ образно применить итерационный метод решения, разбив весь алгоритм на три самостоятельные части: «сечение», «стержень»

и«рама».

В§ 6 изложен весьма удобный метод определения жесткос­ ти и отпорности сечения произвольной формы при произвольной

148

диаграмме работы материала. На основе этого метода сфор­ мулирован алгоритм «сечение», предназначенный для учета фи­ зической нелинейности рамы. Заданием для этого алгоритма являются: форма и размеры поперечного сечения, диаграмма работы материала, усилия, действующие в сечении (осевая сила и изгибающий момент). В результате расчета выдаются все не­ обходимыеупругогеометрические характеристики первого и второго расчетных сечений— жесткости и'отпорности сечения

гут выдаваться и другие характеристики, например ЕІц или ЕІп и др.

При составлении программы расчета рамы к алгоритму «се­ чение» обращение предусматривается только при пластических деформациях в сечении.

В § 11—13 изложены различные методы решения краевой задачи для стержня переменного сечения по длине. На основе этих методов сформулированы различные модификации алго­ ритма «стержень», предназначенного для определения жесткос­ тей и отпорностей стержней переменного сечения с учетом физи­ ческой и геометрической нелинейности при различных гранич­ ных условиях.

Заданием для этого алгоритма являются: закон изменения жесткости по длине стержня, нагрузки, действующие в пределах длины стержня, и перемещения его концов. В результате расче­ та выдаются все необходимые «единичные» реакции стержня и эпюры усилий (изгибающих моментов, нормальных и перере­ зывающих сил). Этих данных достаточно для расчета рамы. Дальнейшее изложение будем вести на примере рамы, показан­ ной на рис. 72.

Предположим вначале, что все нагрузки, действующие на раму, изменяются пропорционально одному параметру п. Тогда при возрастании этого параметра какое-то характерное переме­ щение f рамы будет изменяться по закону ОАС (рис.. 73).

149