книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

обходимо составить свое сочетание внешних нагрузок, являю­ щееся наиболее неблагоприятным. Эта задача решается также сравнительно просто.

Для всех форм потери устойчивости, связанных с горизон­ тальными смещениями узлов, наиболее опасные нагрузки — мак­ симальные горизонтальные. Эта форма потери устойчивости об­ легчится при появлении в колоннах пластических деформаций, поэтому следует добавить максимально возможные при этом вертикальные нагрузки и моменты от крановых нагрузок (если они имеются), вызывающие горизонтальные смещения ригелей в том же направлении.

При проверке формы потери устойчивости, вызванной верти­ кальным перемещением какого-то узла, безусловно, должно быть проверено сочетание нагрузок, дающее максимальную сжимающую силу в колонне, поддерживающей узел. Кроме то­ го, следует добавить нагрузки, вызывающие изгиб колонны. Здесь также может потребоваться два-три сочетания.

Результаты расчетов рам, приведенные в главе 9, показыва­ ют, что для различных сочетаний, в которых изменяются только поперечные воздействия на колонну, а продольная сила сохраня­ ется постоянной, предельная нагрузка меняется сравнительно мало. Это указывает на возможность ограничиться двумя, в крайнем случае тремя, сочетаниями для каждой из форм потери устойчивости, обусловленных вертикальным перемещением узла рамы.

Совершенно ясно, что по мере накопления практических ре­ зультатов по расчету рам различных типов будут выработаны ре­ комендации по формулировке необходимых расчетных сочетаний нагрузок, и количество их будет сокращаться.

§ 59. МЕТОД ОРИЕНТИРОВАННОГО ГРАФА

Ориентированный граф G— ] ІѴ, А | состоит из сово­ купности элементов множества N, называемых вершинами, и со­ вокупности элементов множества А, называемых дугами. Дуга, выходящая из вершины а и входящая в вершину е, обозначается

А (а, е).

Если каждой дуге Л* присвоить номер одной из действующих на раму нагрузок и проход по этой дуге трактовать как включе­ ние названной нагрузки в рассматриваемую комбинацию, то лю­ бая цепь из начальной вершины графа в конечную будет давать перечень нагрузок, включаемых в -данную комбинацию. При этом среди дуг возможны и нулевые, т. е. не включающие какойлибо нагрузки.

Сеть должна быть построена так, чтобы любая цепь из на­ чальной вершины в конечную представляла собой возможное со­ четание нагрузок, а совокупность цепей соответствовала бы всем возможным для данной рамы сочетаниям.

Общее число цепей, равное возможному числу сочетаний на-

180

грузок С (Рі), определяется с помощью матрицы инциденции I дуг Аі по отношению к цепям Сі. Условно параллельные дуги считаются одной дугой Аj кратности /г (Л;). Компоненты матрицы инцпденций (12.10) размера ту^п(і= 1, 2, т\ / = 1, 2, /г) обозначаются щ.

і=і

N5

J

Рассмотрим в качестве примера одноэтажную двухпролет­ ную раму цеха с мостовыми кранами (см. рис. 84), на которую действует 16 различных нагрузок Рі. Все горизонтальные на­ грузки считаются положительными, если они направлены слева направо. Возможные сочетания нагрузок на рассматриваемую раму показаны с помощью ориентированного графа, изображен­

181

Общее число возможных комбинаций нагрузок на раму, сог­ ласно (12.7), равно:

і= 1

В результате симметрии рамы количество комбинаций сокра­ щается до 150, однако и это чрезвычайно много и с практичес­ кой точки зрения не приемлимо.

Для дальнейшего сокращения количества комбинаций мож­ но использовать ряд инженерных соображений. Группировку внешних нагрузок можно связать с расположением тележек мо­ стовых кранов в обоих пролетах рамы. Это позволило разбить все возможные комбинации на 6 групп, а использование ориен­ тированного графа позволило выявить все возможные комбина­ ции при каждой расстановке крана. В каждой из таких групп оказалось от 30 до 54 комбинаций в общем случае и 22—30 ком­ бинаций при учете симметрии рамы. Исключение составила груп­ па без крановых нагрузок, в которой было всего 6 и 4 комбина­ ций, которые к тому же всегда не расчетные.

Наиболее существенно то, что для каждой группы легко мож­ но было из всех возможных комбинаций выбрать одну или две, заведомо наиболее опасные. В результате этого общее количест­ во расчетных комбинаций свелось к 13, для каждой из которых было определено критическое значение параметра нагрузки п„.

Для проверки правильности выбранных таким способом со­ четаний раму рассчитали на все возможные комбинации. Эти расчеты производились лишь как проверочные на расчетную на­ грузку, умноженную на коэффициент перегрузки пк. Во всех слу­ чаях получены сходящиеся решения, что указывает на то, что ни одна из комбинаций сверх выбранных 13 не является более опасной.

Все это позволяет сказать, что с требуемой для практики точностью расчетные комбинации нагрузок могут быть установ­ лены достаточно точно.

Г л ав а 13

РАСЧЕТ НЕЛИНЕИНО-ДЕФОРМИРУЕМЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

§ 60. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Изложенный метод расчета плоских рам может трактоваться как одна из разновидностей метода конечных эле­ ментов. Идея этого метода, как известно, состоит в том, чтобы

182

достаточно строгое решение уравнений, описывающих напря­ женно-деформированное состояние конструкции, решить для какой-то ее части конечных размеров (конечного элемента) и получить значения необходимых характеристик на его границах. После этого вся рассчитываемая система представляется в виде совокупности конечных элементов, а уравнение ее напряженнодеформированного состояния выражает условия равновесия и совместности всех этих конечных элементов.

Изложенный метод расчета построен на разбиении каждого из стержней переменной жесткости по длине на конечные участ­ ки постоянной жесткости или с жесткостью, изменяющейся по длине элемента по линейному закону. Такая форма алгоритмов «стержень» удобна для расчета.

Еще более существенно использование этого метода в алго­ ритме «рама». Каждый из стержней рассматривается при этом совершенно независимо как физически- и геометрически-нелиней- ная конструкция, и характеристики его в виде единичных реак­ ций учитывают всю Рту нелинейность. Таким образом, конечным элементом здесь является стержень. После этого используется классический метод перемещений расчета линейно-деформируе- мых рам с тем лишь отличием, что в каждом узле вводится до­ полнительная связь, препятствующая вертикальному перемеще­ нию узла, и составляется соответствующее. дополнительное уравнение равновесия вертикальных сил в элементах, сходящих­ ся в узле.

В этот алгоритм расчета рам из упруго-пластического мате­ риала легко вводится и проверка местной устойчивости элемен­ тов тонкостенных стержней рамы, а также приближенный учет повторности нагружения. Для этого требуется ввести ограниче­ ние максимальных краевых пластических деформаций в сече­ ниях стержней, что легко осуществляется в алгоритме «сечение».

Также просто и проверить общие перемещения узлов или любых промежуточных сечений рамы. Предельно допустимые их значения вводятся в виде ограничений в алгоритм «рама» для перемещений узлов или в алгоритм «стержень» для перемеще­ ний промежуточных сечений.

Несколько сложнее выполнить проверку устойчивости плос­ кой формы изгиба сжатых и сжато-изогнутых стержней рамы. Это можно выполнить дополнительным расчетом, однако введе­ ние его в общий алгоритм вполне возможно, а все данные для его выполнения можно считать подготовленными в основном рас­ чете плоской рамы.

Таким образом, в рамках одного алгоритма и соответствую­ щей ему программы может быть выполнен расчет плоской рамы из упруго-пластического материала, исключающий необходи­ мость каких бы то ни было дополнительных проверок. Основное достоинство такого расчета — более полный и правильный учет действительного поведения рамы под нагрузкой, что приводит к

183

повышению равнопрочное™ элементов рамы и, следовательно, ее надежности.

Выше все изложение велось в форме построения кривой сос­ тояний равновесия для рамы при пропорциональном возраста­ нии всех нагрузок (простое нагружение). Однако расчет легко может быть сведен и к другой форме — к определению состоя­ ния равновесия деформированной рамы при заданных значени­ ях внешних нагрузок. В принятых выше обозначениях это отве­ чает параметру нагрузки п = 1.

Такая форма расчета часто бывает более удобна при проек­ тировании рамы. В этом случае необходимо задать все размеры стержней и проверить раму на все необходимые расчетные соче­ тания нагрузок. Если при каждой из этих проверок будет дос­ тигнуто состояние равновесия и все перемещения и деформа­ ции будут меньше допустимых, то размеры элементов рамы мо­ гут быть уменьшены. Наиболее экономичное решение можно по­ лучить лишь методами оптимального проектирования, описание которых дано в главе 14. Однако и изложенный метод расчета позволяет получить существенную экономию материала.

§ 61. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ РАМ СО СТЕНКАМИ

Для облегчения каркаса здания иногда в работу включаются стенки, имеющиеся в отдельных панелях рамы. При­ мер такой рамы дан на рис. 102, на котором панели, имеющие работоспособные стенки, заштрихованы.

Допустим, что стенки соединены с колоннами и ригелями только в узлах и не влияют на работу элементов каркаса на участках между узлами. В этом случае каждая стенка включа­ ется в работу лишь при перекосе панели, в которую она встав­ лена.

Предположим, что диаграмма работы стенки на сдвиг имеет вид, показанный на рис. 103. Обозначим горизонтальные переме­

Отложив на горизонтальной оси рис. 103 величину у! и вос­ становив перпендикуляр, получим точку А. Соединив точки 0 и А, получим жесткость линейно-деформируемой стенки, экви­ валентной действительнойстенке, нагруженной сдвигающей си­ лой Ті и имеющей угол сдвига уь Тангенс угла фс дает жесткость сдвига панели в рассматриваемом деформированном состоянии:

184

В расчетах часто наиболее удобно пользоваться относитель­ ной величиной жесткости. Для получения ее лучше (13.2) поде­ лить на первоначальную жесткость сдвига панели. Выполнив это, получим

где Іг — толщина стенки.

мера стенок

Величина ßi всегда меньше или равна единице.

Если требуется проверить устойчивость рамы в деформиро­ ванном состоянии, которому отвечает перекос панели уі, то в ра­ счет рамы должна быть введена отпорность стенки на сдвиг, ко­

Имея эти выражения, легко записать дополнительные слага­ емые, которые войдут в канонические уравнения метода переме­ щений.

Для рамы, показанной на рис.102, дополнительные слагае­ мые появятся в следующих уравнениях: ■

а) в уравнение равновесия горизонтальных сил, действую­ щих в горизонтальном сечении под ригелем 5, 6, 7, 8, войдут до­ полнительные слагаемые <2Д О п, определяемые из следующих 'сооб­

ражений.

185

Угол сдвига всех трех панелей равен:

в элементах, сходящихся в узлах 5, 6, 7, 8, войдут дополнитель­ ные слагаемые, определяемые из следующих условий:

Аналогично записываются дополнительные перерезывающие силы Qlnn и Q® .

Следует обратить внимание на то, что все дополнительные слагаемые Qfl0n войдут в единичные реакции ги, поэтому на сим­ метрию матрицы единичных реакций относительно главной диа­ гонали они не повлияют.

После внесения этих дополнительных слагаемых в матрицу единичных реакций решение системы линейных уравнений вы­ полняется изложенным выше обычным итерационным методом.

В ходе итерационного решения уточняют перемещения узлов рамы, а следовательно, и величины жесткостей сдвига стенок. В случае исследования устойчивости деформированного состоя­ ния рамы при вычислении QÄOn вместо GF{ подставляют GF‘. Во

всем остальном расчет не отличается от вышеизложенного. Учет дополнительных элементов не вносит существенных ос­

ложнений в расчет рамы. Тип дополнительных элементов не имеет значения. Это могут быть сплошные стенки, иначе соеди­ ненные с колоннами и ригелями (не только в углах), или стенки с различными проемами, элементы, включающиеся в работу лишь после появления определенной деформации, и т. д. Нужно лишь иметь диаграмму 7У(у^), характеризующую работу их на сдвиг.

Стенкой, работающей на сдвиг, могут быть заменены и рас­ косы, показанные пунктиром на рис. 102. Переход от жесткости раскоса, работающего на центральное растяжение или сжатие, к эквивалентной ему по жесткости стенке осуществляется по об­ щеизвестным формулам перехода.. Если же раскос внецентренно сжат или работает в упругопластической стадии, то для него требуются его диаграмма работы на сжатие и определенные по ней жесткость и отпорность на сжатие в рассматриваемом со­ стоянии равновесия. После этого используют формулы перехода.

186

Аналогичный расчет возможен и при раскосных решетках лю­

бой иной схемы.

В последние годы широкое распространение получили много­ этажные здания с так называемыми связевыми каркасами.

£цакс

Рис. .104. Эпюры деформаций и напряжений в сечении пи­ лона

I, II — номера швов

В таких зданиях ригели довольно слабые и служат лишь для передачи нагрузки от перекрытий на колонны. Крепление их к колоннам весьма деформативно, так что рам с жесткими уз­ лами практически нет. Жесткость и устойчивость таких зданий

187

обеспечиваются плоскими диафрагмами (пилонами), образован­ ными колоннами и расположенными между ними панелями.

Поперечное (горизонтальное) сечение такого пилона дано на

лоннами (швы II—II, рис. 104). Сваркой закладных деталей со­ единяются и панели двух смежных этажей. Таким образом, пи­ лон представляет собой вертикальный составной стержень, име­ ющий 4 пояса, работающие на сжатие, и 3 шва, работающие на сдвиг. Иногда пилон объединяет 3, 4 и более колонн.

Сдвигающие силы, действующие в этих швах, обозначим Ту и Т2, а величины абсолютных сдвигов каждого шва в пределах одного этажа — Si и s2 (см. рис. 104,6).

Предположим, что нормальные напряжения о и деформации е по высоте сечения каждого из поясов распределяются по за­ кону плоскости. Предположим также, что при сплошном (без швов) сечении пилона эпюра е ограничивалась бы линией а—а на рис. 104,6. Тогда из-за податливости швов на сдвиг действи­ тельная эпюра е в сечении пилона со швами будет определяться

188

Зная напряжение а" , можно получить выражение момента внутренних сил в сечении при краевых деформациях емакс:

Здесь Wnn — сумма пластических моментов сопротивления се­ чений стенки и колонн;

ны сосредоточенных сдвигов Si и s2 в соединительных швах из­ вестны. В действительности же они сами являются функцией сдвигающих сил Т\ и Т2, действующих в этих швах, а последние, в свою очередь, зависят от формы эпюры приращений нормаль­ ных напряжений в двух сечениях пилона, отстоящих друг от друга на высоту этажа. Чтобы определить сдвигающие силы Ті и Т2, удобно использовать понятие редукционного коэффициента для отдельных элементов сечения.

Редукционным коэффициентом k будем называть отношение фактически действующего нормального напряжения оу в опре­ деленной площадке сечения к напряжению асу , которое действо­

вало бы в этой площадке при распределении напряжений по за­ кону плоскости и при тех же краевых деформациях. Таким обра­ зом, редукционный коэффициент /г совпадает с относительным секущим модулем гр

(13.20)

189