книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

Кроме этой серии образцов Б. Г. Бажановым испытано зна­ чительное количество образцов прямоугольного и Н-образного сечений из сплава АВ-Т1 и Д-16Т. Общее число испытанных стержней составило 84. Гибкости стержней изменялись в преде­ лах от 32,9 до 113, а относительные эксцентрицитеты — от 0,1 до 2,5. Расхождение между опытными и теоретическими значе­ ниями критических напряжений не выходило, как правило, за пределы 10%, а средние значенияэтого расхождения для 84 стержней равнялись +2,5% . Таким образом, приближенным ме­ тодом расчета можно с достаточной точностью определить кри­ тическую нагрузку.

Небольшое различие в величинах срд и <р указывает на то, что действительная диаграмма для сплава АВ-Т1 вполне может быть заменена идеализированной с линейным упрочнением и вместо расчета на ЭВМ по специальной программе можно рас­ считывать по замкнутым формулам, но, как уже было отмечено в § 19, расчет по ним приходится вести подбором.

Г л а в а 5.

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТО-ИЗОГНУТОГО СТЕРЖНЯ

§ 21. СТЕПЕНЬ РАЗРАБОТКИ

Рассмотренный случай плоского изгиба стержня, симметричного относительно этой же плоскости, является част­ ным случаем. Из-за таких несовершенств, как местные искрив­ ления, неравномерность свойств материала по объему, собствен­ ных напряжений и др., а также в результате отклонений дей­ ствующих нагрузок из плоскости симметрии деформированное состояние стержня, как правило, отличается от плоского — име­ ются искривления и в перпендикулярном направлении, а также закручивание. Таким образом, плоский изгиб стержня и потеря его устойчивости в этой плоскости в известной степени абстракт­ ны. Строгое решение для стержня, изгибающегося в двух плос­ костях и закручивающегося, может быть получено лишь при уче­ те всех этих деформаций.

Уравнения, описывающие деформированное состояние тако­ го стержня, получены рядом авторов при различных допущени­ ях [5, 8, 21] и др.

90

мещення все сечения стержня. Предположим, что рассматри­ ваемое состояние равновесия характеризуется на рис. 34 точкой С. Дополнительный прогиб dv будет равен:

Коэффициент с зависит от продольной сжимающей силы N, действующей в этот момент, от характера закрепления стержня в системе и от закона изменения жесткостей EI2(z) по длине стержня. Отношение

dvz cl3

определяет реакцию системы на это возмущение.

а) Ма

До тех пор, пока состояния равновесия стержня устойчивы, все перемещения dvz и dq>z бесконечно малы. Если допустить, что второе расчетное сечение стержня остается неизменным, но сжимающая сила N постепенно увеличивается, то при некотором ее значении NKp будет достигнуто критическое состояние стерж­ ня по отношению к возмущению dT.

Как уже было показано, Ыщ, является нижним собственным значением однородного линейного уравнения устойчивости стерж­ ня. Уравнение устойчивости рассматриваемого стержня, де­ формирующегося в пространстве, как известно, имеет три груп­ пы собственных значений, в каждой из которых имеется своя нижняя критическая сила NKpi, Nl{p2, NKp3 и .своя пространствен­ ная форма потери устойчивости в виде одной полуволны по длине стержня (высшие собственные значения и отвечающие им высшие критические силы каждой группы, соответствующие бо-

92

.лее сложным формам деформирования стержня в критическом состоянии, практического интереса не представляют).

На рис. 34 построена диаграмма состояний равновесия стер­ жня ОАСНМ. Для рассматриваемого состояния равновесия стержня определяемого точкой С, отложим на ординате ВС зна­ чения критических сил Якрі, Якр2, Якр3. Это даст точки D, Е, F. Ордината ВС дает в том же масштабе значение силы N в стержне.

Отношения

N‘

—коэффициенты запаса на устойчивость. Не следует, конечно, забывать, что значения критических сил NKPi и отвечающих им

запасов на устойчивость л, — величины абстрактные, так как невозможно увеличить сжимающую силу N в стержне, не выз­ вав изменения его жесткостей и отпорностей.

Значения NKpi, NKр2, Якр3 отвечают истинным формам дефор­ мирования стержня в критическом состоянии. При использо­ вании различных приближенных методов расчета, основанных на задании определенной формы деформирования стержня в критическом состоянии, можно получить различные приближен­ ные значения для этих критических сил, однако вершины орди­ нат, изображающих эти силы, будут группироваться вблизи то­ чек D, Е, F.

Кроме указанных значений NKPi при иных, возмущениях мо­ жно получить и другие, более высокие значения критических сил. Предположим, например, что ось 02х2 является главной осью для стержня в том смысле, что возмущение, приложенное в направлении этой оси, отклоняет стержень в этом же направ­ лении. Такое возможно, например, при плоском изгибе стерж­ ня. Возмущению будет отвечать одна из критических сил Якрі, NKp2, Якр3. Допустим теперь, что возмущающая сила dT подей­ ствовала в противоположном направлении оси 02х2, т. е. в сторо­ ну уменьшения прогибов. Тогда весь стержень начнет работать как упругий и величина критической силы при таком возмуще­ нии будет соответствовать упругому стержню. Величины этих критических сил определяются ординатами горизонтальных уча­ стков (см. рис. 34). Это будут критические силы по отношению к отрицательным (разгружающим) возмущениям. С практиче­ ской точки зрения основной интерес представляют возмущения, которым отвечают наименьшие критические силы при изгибнокрутильных деформациях.

Рассмотрим теперь второе состояние равновесия стержня при большей нагрузке, изображающееся точкой Я на рис. 34. В этом состоянии пластические деформации захватят уже бо­ лее значительную часть объема стержня, критические силы бу­

93

дут по величине меньшими и изобразятся на рис. 34 точками /, К, L.

Рассматривая, таким образом, ряд состояний равновесия стержня, получим три кривые критических сил, отвечающие нз- гибно-крутильным деформациям. В точке максимума М диаг­ рамма состояний равновесия стержня и кривая УѴкр1 пересекут­

Возможность нескольких различных форм потери устойчивости осложняет решение задачи устойчивости стержня. С ростом нагрузок на стержень диаграммы критических сил сни­ жаются и довольно часто имеют такой вид, как показано на рис. 34. Однако существует много стержней, для которых харак­ тер изменения этих диаграмм более сложен. Например, двутав­ ровый стержень, испытывающий сжатие и изгиб в плоскости стенки, может терять устойчивость в плоскости изгиба или при двух формах изгибно-крутильных деформаций. Обозначим кри­ тические силы при этих формах потери устойчивости соответст­ венно іѴкрь NKp2, Мкрз. Обычно для упругого стержня между эти­ ми величинами имеются следующие соотношения:

При какой-то величине внешних нагрузок в наиболее сжа­ той полке стержня возникнут пластические деформации и быст­ ро захватят всю толщину полки. Если стержень выполнен из материала, подчиняющегося диаграмме Прандтля, то второе расчетное сечение будет ограничено упругим ядром и в этот мо­ мент примет форму тавра. Моменты инерции тавра сильно от­ личаются от моментов инерции двутавра, поэтому критические силы NKpi уменьшаются в разной степени. уѴкр2 и Мкр3 умень­ шатся примерно в два раза, а ІѴкрі — значительно больше. По мере развития пластических деформаций по высоте стенки УѴкр2 и Мфз меняться почти не будут, а уѴкрі будет непрерывно умень­ шаться. На рис. 35 схематически показано изменение критиче­ ских сил NKPi с ростом нагрузки. На диаграмме состояний рав­ новесия стержня показаны точки А и В начала и конца разви­ тия пластических деформаций в полке. Все Мкрі на этом участ­ ке резко снижаются. Из рис. 35 видно, что в процессе нагруже­ ния наинизшей из всех критических сил могут быть разные УѴкріиз них.

Во всякой реальной конструкции есть многочисленные откло­ нения от идеальной схемы, поэтому можно полагать, что в са­ мой конструкции всегда имеется возмущение любого типа. Как

94

только усилие в стержне достигнет значения наименьшей из всех возможных критических сил, соответствующим возмуще­ нию любого типа, стержень потеряет устойчивость. Отсюда сле­ дует, что из бесконечного множества критических сил, отвеча­ ющих всевозможным возмущениям, нас интересует в основном наименьшая. По существу, требуется построить нижнюю огиба­ ющую всех критических сил..

Эта огибающая, конечно, статистически изменчива в результате начальных воз­ мущений процесса деформи­ рования конструкции. Здесь это не рассматривается.

В [8] дан анализ серии опытных стальных стержней двутаврового сечения, за­ гружаемых сжимающей си­ лой с эксцентрицитетом в плоскости стенки. Несмотря на то что УѴкрі для всех стержней в упругой стадии значительно превышали NKр2 к моменту достижения кри­ тического состояния,соотно­ шение между ними резко из­ менилось. Два стержня из четырех потеряли устойчи­

вость в плоскости изгиба; один (имевший значительные началь­ ные искривления) потерял устойчивость при сложной форме де­ формирования и один — в виде изгибно-крутильной формы.

§ 24. О ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФОРМАХ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕЙ

В ряде случаев при анализе устойчивости конструк­ ций важно знать характер взаимодействия между ее частью, достигшей критического состояния, и всей остальной системой, в которую она включена. Характер этого взаимодействия может быть различным.

Существуют системы, ускоряющие начавшуюся потерю ус­ тойчивости,— это догружающие системы, отпорность которых по отношению к части конструкции, достигшей критического состояния, отрицательна. Имеются и другие системы, которые, наоборот, затрудняют связанные с этим деформации и переме­ щения либо вообще делают их невозможными. Такие системы называют разгружающими. По отношению к теряющим устой­ чивость элементам такие системы создают положительную от­ порность.

95

Существуют также системы, характер которых переменен в процессе деформирования. Сначала в докритический период ка­ кие-то их элементы принудительно деформируются, но как толь­ ко элементы достигают критического состояния, система оказы­ вает им существенную поддержку, вследствие чего эти элемен­ ты оказываются в условиях ограниченных перемещений.

Одним из элементов, наиболее часто проверяемых на про­ странственную устойчивость, являются колонны каркасных зданий, особенно одноэтажных промышленных с мостовыми кранами. Вид такой колонны со стороны пролета показан на рис. 36.

При несимметричном поло­ жении крана по отношению к осп колонны его вес вызывает кроме сжатия и изгиба колон­ ны в плоскости рамы также и изгиб ее в перпендикулярном направлении и закручивание. Таким образом, колонна ока­ зывается сжатой, изогнутой в двух плоскостях и закручен­ ной. При такой деформации возникают нормальные напря­

жения стесненного кручения и очертания пластических зон от­ личаются от очертаний, отвечающих плоскому изгибу колонны в плоскости рамы.

Однако потеря устойчивости колонны при такой форме до-, полнительных деформаций часто сильно затруднена. Поворот узла на какой-то угол ср, возникший в результате такого, нагру­ жения, не может развиваться дальше. Поэтому верхнее сечение нижней части колонны в момент потери устойчивости как бы за­ щемляется, в результате чего пространственные формы потери устойчивости становятся возможными лишь при меньшей длине полуволны, как это показано пунктиром на рис. 36.

Таким образом, условия работы подкрановой части колонны (в смысле пространственной устойчивости) более благоприятны, чем условия работы стержня с шарнирно-закрепленными кон­ цами, обычно принимаемые.при расчете.

В аналогичных условиях находятся также и надкрановые ветви колонн.

Все сказанное говорит о недостаточной обоснованности для расчета колонн каркасов промышленных зданий на пространст­ венную устойчивость расчетной модели в виде стержня, шарнир­ но-закрепленного на концах.

96

§ 25. ПРИБЛИЖЕННЫЙ СПОСОБ ПРОВЕРКИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ УСТОЙЧИВОСТИ КОЛОНН КАРКАСНЫХ ЗДАНИЙ

С учетом сказанного, приближенное решение за­ дачи пространственной устойчивости колонн или других стер­ жней плоских рам можно свести к проверке устойчивости пло­

В этих уравнениях жесткости на изгиб (ЕІ2х, ЕІ2у) и кручение (ЕІ2а, EI2d) определяют отпорность стержня отклонениям от рассматриваемого состояния равновесия, поэтому их следует вычислять как для второго расчетного сечения. Величины же Мх, Му, г2, ßx, ßy определяют активные составляющие, стремя­ щиеся вывести стержень из состояния равновесия. Эти величи­ ны зависят от нормальных напряжений, действующих в сечении, следовательно, они определяются характеристиками первого

Г ла в а 6.

ЗАКРИТИЧЕСКАЯ СТАДИЯ РАБОТЫ СЖАТО-ИЗОГНУТОГО СТЕРЖНЯ

§ 26. ОТПОРНОСТЬ НА СЖАТИЕ РАЗЛИЧНЫХ СТЕРЖНЕЙ

Выше рассматривалось поведение стержня в докри­ тической стадии и в момент потери его устойчивости. Наиболее важными характеристиками стержня были его жесткость и отпорность на изгиб, а в случаях пространственного деформирова­ ния, кроме того, еще жесткость и отпорность на кручение.

JL с

ленный упругий стержень. На рис. 38 показана для него зависи­ мость отношения сжимающей силы к критической и прогибов стержня. Для центрально-сжатого упругого стержня, рассчитан­ ного с учетом конечных деформаций по уравнению, содержаще­ му точное выражение кривизны, эта зависимость, как известно, имеет вид 01ВС. ■

На рис. 39 по горизонтальной оси отложены значения сжима­ ющих сил в долях критической, по вертикальной, оси отложена относительная отпорность стержня на сжатие Ѳс из (3.168).

Сближения концов центрально-сжатого упругого стержня в докритической стадии вычисляют по закону Гука, поэтому отно­ сительная отпорность его на сжатие постоянна и равна единице (линия 1D на рис. 39). По достижении силы Эйлера стержень резко искривляется, и его отпорность скачкообразно падает поч­ ти до нуля (линия DE) .