книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

dk2= ^ l .

(3.26)

dk2 —d2 (du)

d2oѳ

(3.27)

dzз '

dz2

Второе уравнение, по которому

определяется

укорочение

оси, соединяющей центры тяжести

вторых расчетных сечений

стержня:

d (du) = de20 +

cpdcp.

(3.28)

Изгибающий момент

и перерезывающая сила

в

сечении z

стержня будут равны:

М (г) = ЛГ0 + Q0z + N, [V (г) -

60] +

іѴ2 [о (г) -

о2]

+

Мр (г)- (3.29)

Q(2) =

QO+

QP (Z).

(З.ЗО)

4*

51

- N 2v ( t ) + N 2v2 + Mp (t)].

(3.35)

5 - = Ф(Ш-

(З.Зб)

dl-

Интегрируя дважды уравнение (3.36), получим

г

ф(2) =

- ^ =

ф° -

[Ф (І )^ ;

(3.37)

О

О(z) =

So + Фо2- j

(г-1)Ф (Юdt

(3.38)

Обозначим:

о

Uu(z) =

f

db

;

ui (z) =

J

(

^

;

«2 (z) =

f ——

;

(3.39)

üW

J

El (I)

’

1W

£/(|) ’

2W J

El(t)

* v

'

dV

=

Ф (z) = Фо — M0u0 (z) — Qo«i (z) —ЛУ0(z) + N1b0uü (z) —

dz

— аУо (z) — ЛУ0 (г) +

7/2v2u0 (z);

(3.44)

О(z) =

б 0 + ф0 2 + м 0 [«! (z) — zu0 (г)] +

Qo [и, (z) — z«x (z)] +

+

Ni [*! (z) — zt0(z)] + Nj60 [—

(z) +

zu0(z)] +

о»! (z) —

— zw0 (Z) + N 2[7J (Z)— z f0(z)j +

N 2V 2[— щ (z) +

zuо(z)]. (3.45)

Здесь опять УѴ2= 0, если z< .z2.

всей

длине

стержня

Все интегралы

(3.39) — (3.43), взятые по

обозначим также, но опустим

(г).

Тогда

для

конца

стержня

z = l можно записать:

ф/ — фо

M QUQ

QOΥ 1

ЛУ0 -j- N^PQUQ

W Q

—N'tü+ N2ѵ2и0;

(3-46)

5/ = öo +

Фо^ +

TW0 ( ↔ 1 — /w0) +

Qq(Щ— A ) r iV ift

tfo) “b

-T

-f- /«o)

Wy—■lwo + N2 (tx

Йо) “Ь

+ N2v2(lu0 — щ).

(3.47)

Решив эти уравнения относительно М0 и Qo, получим

=

у

[б0^! — б/и1 +

Ф0«2 +

Ф, (/»! — «а)] +

(3.48)

Qo =

—

[

б0«0 +

о

Фо“і

Ф; (ui

^wo)] “I”

(3.49)

После этого из (3.29) и (3.30) можно написать:

М [=

[б0

(щ— U0l) + б, (U0l — Щ) + фо(U2— ЩІ) +

+

Ф/

(— и2+

2Z«j — /2«о) j + FM+ FQl\

(3.50)

Qi = -5- [— V o + V о — Фо«1 + Фі («1— Ч )і + FQ■ (3-51)

Здесь обозначено:

D =

u0u., — uf,

(3.52)

FM= ■— [^l (“А -

UA ) -

W0U2+ “»А +

+

(«Л — и2?0) + A u2 («2«O— «А )];

(3.53)

FQ = А [NL(щІ0— Щіі) + UlWQ— иоЩ+ N2(— V l + uJo) “!-

+ N2V2 (UQU±— щио)].

(3.54)

Единичные реакции стержня при использовании метода пе­

ремещений равны:

М (0) = М0; М(1) = — МГ, Q(0) =

Qo +

Qp (0);

Q(l) =

Qt+QP(l).

(3.55)

Запишем (3.55) в развернутом виде:

М (0) = Гцфо +

г12б0 +

г13ф; + г14б, -J- г1р\

(3.56)

Q (0) =

г21Ф0 +

г22б0 +

f2зФі + r2i^i +

r2p)

(3.57)

M (/) =

г31Фо +

r32ö0 +

гдзФ; + r3i8l +

rSp\

(3.58)

где

Q (0 -

Г4іФо +

r42^0 +

Г4зф; + Г44б, +

Г4р,

(3.59)

и2

' Г12 ~

4_

_ lui —

« 2 .

Щ_ .

D

D

> r

i 3

D

;

r

M =

-

D ' Up =

F.

Ui

> r 2!2 ’

" o

,

Ul —

lua

_

« 0 .

' 2 1

D

D

’

Д з

D

> r 2 4

D '

’

r 2 P

+

Qp ( 0

) ;

lUi —

«■>

Іио

— ■Ui

u2 —• 2 lui +

Pth .

Г 3 1

=

D

1 Г32 =

D

> Г33 -

D

t

Г34 —

« 1

—

lu0 .

Up = ‘

-

F M -

F Ql\

D

)

« i

» 0

Ui —

lu0

1 r 4 4

u0

4 1

“

D

1 М 2 —

”

D ’

Г 4 3

D

D ’

Up = FQ + QP (О-

Все коэффициенты второго уравнения противоположны по

знакам взаимным коэффициентам, что объясняется

принятым

правилом знаков, при котором положительные направления Q0

и б0

противоположны. По физическому смыслу коэффициенты

rih аналогичны единичным реакциям упругих стержней.

Для выполнения практических расчетов стержень разбива­

ют по длине на небольшие участки, в пределах каждого

из ко­

торых жесткость принимают постоянной. Выполнив ряд

итера­

ций, из

(3.29)

и

(3.44) — (3.45)

можно

найти

с

необходимой

точностью изгибающие моменты,

углы

поворота

и

прогибы

ного уравнения изогнутой оси стержня,. построение

для

него

всех эпюр (изгибающих моментов, прогибов,

углов

поворота,

жесткостей) и определение концевых реакций.

Имея в каждом сечении стержня величину изгибающего

момента и осевой силы, можно по алгоритму

«сечение»

найти

d-v (z)

(3.61)

dz2 + ^ (z )-- В

более простым

= B - A ü n_1(z),

(3.62)

где Ü,;_I (z) — считается известной из предыдущей

итерации

Исходное

уравнение

(3.31)

оси

изогнутого

стержня

(см.

рис. 18) запишем в такой форме:

ЕІ (г) ѵ"(z) + ЛД [и (г) -

60] +

ЛД [ѵ (г) — vt \ = -

М (г).

(3.63)

Граничные условия записываем в

прежнем

виде

(3.32) —

(3.34), но величина M{z)

в отличие от (3.29) равна:

М (z) —М0-+- Q0z +

Мр (г).

(3.64)

Силу Л? 2 учитываем так же,

т. е. при z < z 2;

нужно

считать

■ЛД = 0:

Q(Z) =

QO - Q P (2),

.

(3.65)

где Qp{z)—перерезывающая сила

от поперечных нагрузок;

El (2 ) считают заданными.

Для усилий на концах остается справедливым

(3.55),

кото­

рые можно выразить через

концевые

перемещения

аналогично

(3.56) — (3.59):

М (0) = М0 — sn фо +

s12 8„ 4- s13 ф, -Г s14 öz -j- slp;

(3.66)

Q (0) =

s2 i Фо ~Ь σ

2 2

60 +

s23 Ф; +

s24 6j +

s2p;

(3.67)

M (l) =

— M[ = s31 фо -f s32 ö0 -j- s33 ф; + s34 6; -j- s3p;

(3.68)

Q (0 =

S.I1 Фо +

s42 60 +

s43 Ф, +

S44 6, +

s4p.

(3.69)

Задача сводится к отысканию величин s,/t.

Уравнение

(3.63) для сокращения записи можно переписать

в виде

ѵ" (г) -f со2 (z) V (г) =

Ф(г),

(3.70)

где

и2 (z) =

Nx+ ЛД (г) .

(3.71)

1

Ein ( г )

Ф(г) =

[А71 ö0

ЛД (z) ѵ2 — М (z)].

(3.72)

Ein (г)

Как видно из (3.64), правая часть

(3.70) зависит от неизвест­

ных М0 и Qо-

Построим фундаментальную систему функций Д g уравнения

(3.70) при начальных условиях:

/ (0) — 1;

П 0) =

0;

(3.73)

g(0) =

0;

£'(0) =

1.

(3.74)

Вронскиан этой системы

W (z ) = f (г) g' (г) -

Г (г) g(z)==l,

(3.75)

т. е. тождественно равен единице.

Общее решение уравнения (3.70)

можно записать в виде

V (г) =

Сх(z) [ (z) + С2 (z) g (г).

(3.76)

C[(z)f(z) + C2(z)g(z) = 0;

(3.77)

С[(г)Г(г) + С'3(г)§'(г) = Ф(г).

(3.78)

Решая систему, найдем

с; (г) = -

Ф (z) g (z); с; =

Ф(z) f (г).

(3.79)

Проинтегрировав эти выражения от 0 до г , найдем

Сх(2 ) =

С, -

J g (I) Ф(9 dh = c i — lg (2 );

(3.80)

О

Ся(2) =

Са +

j / ( 0 0 (0 d g =

C2 +

// (2).

•

(3.81)

О

Подставив полученные значения в (3.76), будем иметь

О(г) = [С, -

lg (2 )] f (2 ) + [С8 +

(2

)] g (г),

(3.82)

а после дифференцирования и учета (3.77)

ѵ' (г) = [Сх — lg (2 )] f' (2

) + [Cj + 7/ (2 )] g' (2

).

(3.83)

Из условий в сечении 2 = 0 получим

Сі = б0; С%= ф0.

'(3.84)

С учетом этого можно написать:

V (г) =

60 f (г) +

Фо g (г) — lg (г) f (г) +

/7 (г) g (г);

(3.85)

o' (z) =

So f

(z) +

Фо g' (z) — Ig (z) f

(2 ) 4-7/ (z) g' (2 ).

(3.86)

Для конца z=Z полученные выражения примут следующий

вид:

б/ =

б0 f (I) +

Фо ff (/) -

Ig (l) f (I) + If (l) g (0;

(3.87)

Ъ = S0 Г (0 +

Фо /

(0 -

Ig (0 Г (0 +

// (?) g' (Q.

(3.88)

Далее все величины для

конца_/ будем

писать

сокращенно

ф (/)= ф , а для сечения 22I|)(Z2) = T1).

Решая уравнения (3.87) — (3.88), получим

// =

- Ф о - в //'+ Ф іЛ

(3.89)

-

/g =

б0 — S; g' + фг g.

(3.90)

Подставив сюда выражения If и Ig в развернутом виде из

(3.80), (3.81) и (3.82), получим

If - (іѴ, S0 — Л40) р (z) +

Nz v2p (z) — Q0Pi (2 ) —

(2 ).

(3.91)

Pl (z) =

(tfi + Nt)

(3.93)

q(z) = N j [ \ - g ' ( z ) ] - N 2( l - g ' ) .

JViM + tf.)

Ni [g (г) — zg' (г)] + Nt(g — 2 g')

Qi (z) =

N]_ (Ni + N2)

-

Г Mp (E)f(E) dl .

mf (z) =

j

Ei (E).

(3.94)

ms (z) =

J

£/(E)

+ JV8o8(p — р) — mf = Ах\

(3.95)

+ N 2V 2(q— q) — m g = A 2.

(3.96)

Запишем

(3.97) в развернутом виде:

М0 — ср0 сг +

б0 (с2 +

Nx) +

Фг с3+

б; с4 + N2 ѵ 2съ +

ср\ (3.98)

сі =

, с2= ^ і +

P i

_

Pig — Qif .

Qi / ' — Pi g'

-g -;

с3 =

D

D

(3.99)

_ t I PxP-diP .

_ pjms— q-jtnf_

=

c6 — 1

г

n

. 6p

D

D

"

Q0 — di Фо + ^2

+

d3 q>[ + d4 6( + M2 ü2

j (3-100)

dl =

_ J L ;

2

D

D

D

1

£> ’

(3.101)

Щ=

(3.102)

На основании (3.93) и (3.72) можно написать:

lf = (N18o — M0)p—Q0p1 — m/]

(3.103)

Лг =

(W A — М0)7 — <Зо?і — mg.

(3.104)

Подставив эти значения в (3.102), получим

ѵ2 = бо 7 +

Фо g — Ni б0 b + М0 b +

Qo bi +

V

(3.105)

где

b = fq — gp-, b1= f q 1 — gp1\ bp = Jmg

g mf.

(3.106)

Подставив полученное значение v2 в (3.98) и (3.100), найдем

M0(l-W V 2c8)-Q ,A W ace ==Llf

(3.107)

где

Li = Фо (сі +

N 2 сі g) +

бо (са +

Ni + N2 с ъ f — Nx N2 cb) +

+

Ф/ cs +

öj c4

bpN2cü+

Cp,

(3.108)

-

M0bN2d5 + Qo (1 - Л а д )

= I,,

(3.109)

где

T>2 = Фо (ßi ~T~

dbg) +

80(d2 + N j d b— N1N2dbb) +

+

Ф/ d3+

Sz d4 +

dp + N2 db bp.

(3.110)

Решив уравнения (3.107) и (3.109), получим

М0 =

-J- [L, (1 -

b.N, d6) + Lt bxNt c8];

’ (3.111)