книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

При раскрытии выражений (3.107) и (3.109) используем сле­ дующие обозначения:

ti = — (g + bcx -р b± di)-, t2 = — (f + bc2+ bi d2);

Выполнив элементарные преобразования, сможем записать значения всех коэффициентов s,-;t из (3.66) — (3.69):

По своему физическому смыслу коэффициенты sut аналогич­ ны единичным реакциям упругих стержней.

Для численного решения стержень опять необходимо раз­ бить на ряд участков и для каждого из них аппроксимировать действительные эпюры моментов и жесткости EI(z) какой-то функцией.

Если ограничиться линейной аппроксимациёй, то для участ­ ка стержня длиной Аг\и находящегося между сечениями Zu и Zh+i, можно написать:

60

Для построения фундаментальной системы уравнения (3.70) при начальных условиях z = z k; u(z)=Uh; u'(z)—u'k запишем

сок определяют из (3.71), a ^ ( z ) на участке интегрирования не меняется. Под u{z) здесь следует понимать f(z) или g(z). При АЕІи=0 решение уравнения (3.118) записывается в виде

61

К каждому сечению может быть отнесен вектор-столбец Р, параметров сечения:

Ѵі

Р, Фі (3.135)

Mt Qi

Параметры t-го сечения выражаются через параметры (і—1)- го сечения с помощью матрицы перехода А с

Из восьми параметров, входящих в векторы Р 0 и Рт, четыре

(п0, фо, ѵт, фт ) известны и четыре (Ма, Qо, М т, Qm) подлежат определению из (3.137). При этом справедлива следующая таб­ лица соответствий (3.141) — (3.142):

63

При определении внутренних усилий в сечениях стержня раз­ личаются параметры Я,-_э для сечения слева от точки деления і

а величины Мі и Р,- — внешние момент и сила, действующие на і-ю точку деления оси.

Учет нагрузок внутри г'-го участка стержня производится по формулам

64

j «i4 (Hi 11 — ki l) dl

О

(ЗЛ49)

[ a« (ki it — ki 0 0

Здесь обозначено:

akj — элементы матрицы Л,;.

*. = Ѵ т^- ■ <зл50>

Все внешние нагрузки и их координаты даны на рис. 20. Узловые моменты Мі помимо внешних моментов Мі, попа­

Mn = еп>

где в\ — расстояние от общей оси стержня до оси t-го участка.

Внешние сосредоточенные силы Р и моменты М, приложен­ ные внутри участка Ц, учитывают только при разбивке оси стержня на равные участки /,-. При разбивке на участки разной длины границы между ними можно совместить с точками при­ ложения Р и М .и тогда вычисления по (3.147) и (3.148) отпадут.

Последовательное использование формул (3.143) и (3.145) приводит к зависимости вида

где b — некоторый известный вектор.

П о л а г а я z 1= 22= 23 = .24= 0 , и з ( 3 . 1 5 3 ) н а х о д и м в е к т о р Rp:

Записанные формулы позволяют при определенных значени­ ях краевых смещений фо, ѵ0, фт, ѵт вычислять моменты и попе­ речные силы во всех сечениях стержня, а также единичные ре­ акции г,&и грузовые члены RiP.

Разумеется, перечисленными алгоритмами не исчерпываются все возможные способы решения уравнения (3.31).

§ 14. ЖЕСТКОСТЬ И ОТПОРНОСТЬ СТЕРЖНЯ НА ИЗГИБ

При расчете упругих стержней постоянного сече­ ния характеристикой их жесткости на изгиб является величина

часто называемая погонной жесткостью. Выражение закона Гу­ ка для упругого стержня постоянного сечения, находящегося в условиях чистого изгиба, имеет следующий вид:

Ml М_

(3.156)

EI і

Таким образом, отношение силового воздействия (изгибаю­ щего момента) к перемещению по его направлению и есть вели­ чина погонной жесткости.

Стержни в конструкциях обычно бывают сжато-изогнутыми, их концы закреплены по-разному. Поэтому для различных, даже упругих стержней постоянного сечения отношения силового воз­ действия к перемещению по его направлению имеют различные значения в зависимости от условий закрепления концов стерж­ ня и величины сжимающей силы N. Кроме того, при расчетах конструкций приходится определять различные отношения типа

Эти величины для упругих стержней при стационарной сжимаю­ щей силе постоянны и называются единичными реакциями стержня Гік.

При стационарном значении сжимающей силы N и измене­ нии только поперечных воздействий или концевых перемещений

66

зависимости /И (cp), Л1(6), Q (cp), Q(ö) линейны (рис. 21), и вели­ чина единичной реакции гц( определяется тангенсом угла XF на­ клона прямой 1 (рис. 21), сохраняя постоянную величину в про­

рованные зоны. В этом случае нелинейность только физическая.

(3.57) изображается кривой типа 2, показанной на рис. 21. Если взять на этой кривой какую-то точку А и соединить ее

с началом координат прямой линией ОА, то координаты точки А будут равны срл и МА, а их отношение равняется

с той лишь разницей, что они характеризуют не стержень как таковой, а лишь его определенное деформированное состояние. Это позволяет рассматривать величины единичных реакций сжа­ то-изогнутого стержня как характеристики жесткости этого стержня при определенных по форме и величине воздействиях. Такая интерпретация величин /уь или Sik сводит расчет физиче­ ски и геометрически нелинейной стержневой системы к расчету аналогичной линейно-деформируемой системы. Однако характе­

найти ее деформированное состояние при определенных внешних воздействиях. Расчет ведут итерационно, поскольку жесткости первых расчетных сечений зависят от величин усилий М и N

в каждом сечении, а последние, в свою очередь, зависят от про­ гибов. Таким образом, итерационно следует уточнить прогибы стержня и величины жесткостей первых расчетных сечений.

Первое делают с помощью алгоритма «стержень», второе — с помощью алгоритма «сечение». Поочередным применением этих двух алгоритмов задача определения характеристик жест­ кости стержня может быть решена.

Аналогичный подход может быть использован и при опреде­ лении малых отклонений стержня от равновесного состояния. С такой задачей приходится встречаться при проверке устойчи­ вости стержня, при анализе процесса его деформирования и в некоторых других случаях. При этом приходится записывать условия равновесия приращений внешних и внутренних сил и моментов, возникающих при той или иной форме отклонения стержня от положения равновесия.

Если рассматривать приращения деформаций, возникающие в процессе нагружения стержня, который характеризуется кри­

Отношение этих приращений равно тангенсу наклона каса­ тельной к диаграмме М, ф в точке А\ следовательно, тангенс этого угла наклона характеризует отпорность стержня при опре­ деленной форме его отклонения. Величину r'ik(A) назовем еди­

ничной отпорностью деформированного стержня в состоянии равновесия А при возмущении dMu по направлению перемеще­ ния фі или, короче, единичной отпорностью.

Аналогично могут быть записаны единичные отпорности и при других возмущениях и по направлениям других переме­ щений:

Единичные отпорности вычисляют по алгоритму «стержень» подобно тому, как вычисляют единичные реакции (см. § 11— 13). Различие состоит лишь в том, что вместо жесткостей первых расчетных сечений принимают жесткости вторых расчетных се­ чений стержня, определяемые касательными модулями с диаг­ раммы работы материала. Поскольку касательные модули при переходе за предел пропорциональности материала всегда меньше секущих, то единичные отпорности r‘ik меньше анало­

гичных единичных реакций г

68

Используя формулы (3.115), можно найти все единичные оттюрности для стержня, загруженного постоянной сжимающей •силой N. При сІЫфО решение дано в § 15.

§ 15. ЖЕСТКОСТЬ и ОТПОРНОСТЬ СТЕРЖНЯ

НА СЖАТИЕ

Кроме жесткостей и отпорностей стержня на изгиб необходимо знать его жесткость и отпорность на сжатие. Для их определения найдем величину сближения концов стержня AI, которая складывается из укорочения оси АІс и сближения ее концов вследствие искривления А/п:

При расчете стержня на ЭВМ определяют ряд параметров для каждого сечения, в том числе и величины относительных укорочений оси ео и углов наклона оси ср. Следовательно, вы­ числения по формуле (3.161) не представляют никаких затруд­ нений. Правда интегрирование заменяется суммированием по элементарным участкам, на которые разбивается вся длина стержня. Если участок располагается между сечениями і и і— 1, то расчетные формулы принимают следующий вид:

После вычисления AI для ряда значений сжимающей силы можно построить диаграмму сжатия сжато-изогнутого стержня (кривая ОAMR на рис. 22).

Если на этой диаграмме взять какую-то точку Л, то вели­ чина

является секущим модулем для этой точки диаграммы. Можно представить себе некий центрально-сжатый стержень такой же длины /, у которого при силе NA также будет укорочение А1А. Используя закон Гука, для такого стержня можно написать вы­ ражение жесткости на сжатие.

Таким образом, величина ус — мера жесткости на сжатие сжато-изогнутого стержня. По аналогии с этим величина ук— мера отпорности на сжатие сжато-изогнутого стержня в состоя­ нии равновесия, определяемом точкой А (см. рис. 22) :

69