книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

Величину ординаты точки Е можно определить на основе приближенной формулы, полученной А. Р. Ржаницыным [23] для «видимого» модуля упругости:

Таким образом, ордината точки Е будет равна:

т. е. стержень сохраняет способность воспринимать возрастаю­ щую сжимающую силу. За счет этого и обеспечивается возможность устойчивых равновесных состояний искривленного упруго­ го стержня в закритической стадии.

Сжато-изогнутый упругий стержень сразу же деформируется сильнее центрально-сжатого (кривая ODE на рис. 38), поэтому его отпорность на сжатие меньше (линия 1HI на рис. 39). Одна­ ко после развития значительных деформаций обе кривые сбли­ жаются, влияние начальных искривлений становится малым по сравнению с появившимися большими прогибами. Все это спра­ ведливо только для стержней, остающихся упругими в течение всего процесса деформирования. Если в какой-то момент в стер­ жне образуются пластические деформации, то характер дефор­ мирования изменяется и определяется кривыми ВМ\ и DM2 на

рис. 38.

Подобное деформирование возможно лишь при весьма боль­ ших гибкостях стержней, не встречающихся в строительных кон­ струкциях. Исследовать такие стержни можно только на основе точного выражения кривизны. Наиболее подробно это было сде­ лано С. Д. Лейтесом [18].

Для сжато-изогнутого стержня из упругопластического мате­ риала диаграмма состояний равновесия на рис. 38 изображается кривой 0АМ, а величина относительных отпорностей иа сжатие— соответственно кривой 1FGB на рис. 39.

Здесь следует обратить внимание на то, что отпорность иа сжатие сжато-изогнутого стержня из упругопластического мате­ риала положительная только в докритической стадии. В момент достижения критического состояния она становится равной нулю и в закритической стадии отрицательна. Это весьма существен­ ное отличие стержней из упругопластнческого материала от уп­ ругих. Из этого следует,'что в закритической стадии стержень из упругопластического материала не может воспринимать сжи­ мающую силу, равную критической, поэтому автономный стер­ жень не может иметь равновесных состояний в закритической

100

стадии, если действующая на него сжимающая сила не уменьши­ лась, по сравнению с критической иа необходимую величину. Правда, такое уменьшение, как показал экспериментально Хофф [30], возможно в течение небольшого промежутка времени за ■счет инерционного эффекта’ — стержень начинает деформиро­ ваться быстрее, чем опускается груз. Однако практического зна­ чения эта стадия работы стержня как элемента конструкции иметь ие может, а исследование ее возможно лишь на основе решения динамической задачи.

Действенную разгрузку стержня, достигшего критического со­ стояния, можно получить только включением его в качестве «лишнего» в статически неопределимую систему.

Кривые ВМі и DM2 на рис. 38 также имеют максимумы, по­ этому и в этих случаях после достижения критического состоя­ ния отпориость стержней на сжатие отрицательна.

Из сказанного следует, что утверждение возможности пере­ скока изолированного консольного сжатого стержня в новое по­ ложение устойчивого равновесия в результате изгибных дефор­ маций, доказываемое в [20], необоснованно и явилось следстви­ ем игнорирования основной специфической особенности стерж­ ней из упругопластического или нелинейно-упругого материала— их отрицательной отпорности на сжатие в закритической стадии. Этот вывод полностью соответствует всем экспериментальным данным многих исследователей, в том числе и автора, а также подтверждается характером обрушения при авариях различных конструкций, происшедших вследствие потери устойчивости тех пли иных стержней (ферм, мачт н-а оттяжках и др.).

§ 27. СТЕРЖЕНЬ В СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ СИСТЕМЕ

Равновесные состояния стержня в закритической ■стадии будут возможны лишь в случаях, когда ему в момент до­ стижения критического состояния будет оказана внешняя под­ держка.

Такую поддержку способна оказать система, в которую стер­ жень включен в качестве «лишнего», если достаточна отпорность этой системы в направлении оси стержня.

Рассмотрим этот вопрос подробнее на простейшем примере симметричной Т-образной рамы (рис. 40), состоящей из ригеля и сжато-изогнутой стойки [9]. Будем считать, что у ригеля такое сечение, при котором пластические деформации в нем не возник­ нут. Аналогичная система, но с центрально-сжатой стойкой, рас­ сматривалась А. А. Ильюшиным [14].

При упругом ригеле пролетом /р и с моментом инерции / р его жесткость и отпорность постоянны. Если со стойки на ригель будет передаваться какая-то сила Р\, то вызванный ею прогиб /і среднего сечения ригеля будет равен:

101

Отсюда отпорность и жесткость ригеля, т. е. его способность противодействовать сближению концов стойки, будет равна:

сил 2Р, действующих на ригель и сжимающей силы N в стойке. На рис. 41 построена'также кривая относительных отпорностей стержня на сжатие, определенных из (3.168) (кривая а). •

Рис. 41. Диаграммы состояний равновесия и критических сил Т-образной рамы

102

Зоне устойчивых состояний равновесия рамы соответствуют диаграмма ОAM для стойки и диаграмма ОУ для рамы. В этот момент стойка достигает критического состояния, сжимающая сила в ней уменьшается, а сила Р\, передающаяся на ригель в среднем его сечении, увеличивается.

Полная нагрузка на раму (2Р) определяется ординатами кривой ОУ, величина сжимающей силы в стойке — ординатами кривой ОAM. Таким образом, сумма опорных реакций А-\-В в докритической стадии определяется ординатами, заключенными между этими двумя кривыми. С момента достижения стойкой критического состояния доля нагрузки, передающаяся на опоры А и В, начнет увеличиваться тем быстрее, чем больше жесткость и отпорность ригеля. Если из точки М провести прямую под уг­ лом і|з к горизонтали, где

то ординаты между этой прямой и горизонталью ML дадут вели­ чину нагрузки, передающуюся со стойки на ригель. «

В зависимости от соотношения жесткостей ригеля и стойки дальнейшее поведение рамы может быть трех типов:

а) ригель очень слабый, жесткость его определяется прямой MU. Нагрузка, воспринимаемая стойкой, определяется ордина­ тами кривой MD, а на опоры 'А и В ригель передает нагрузку, определяемую ординатами, заключенными между прямыми MU

иVW. Сумма этих ординат, показанных на рис. 41 для одного из значений AI кружками, меньше ординаты 2Ркр. Таким образом, -суммарная нагрузка, воспринимаемая в этом состоянии стойкой

иригелем, меньше 2РКрСледовательно, равновесные состояния рамы при нагрузке 2Ркр невозможны, и если часть этой нагрузки

не будет снята, то вся рама обрушится; б) ригель очень жесткий, жесткость его определяется прямой

MS. Сумма нагрузок, воспринимаемых стойкой и ригелем, боль­ ше критической нагрузки 2Ркр на величину ординат, заключен­ ных между кривой MD и прямой MS. Следовательно, деформа­ ции после достижения стойкой критического состояния могут развиваться только при возрастающей нагрузке на раму (кри­ вая ѴТ на рис. 41). В каждом новом состоянии равновесия рамы усилие, воспринимаемое стойкой, определяется ординатами кри­ вой MD, характеризующей ее неустойчивые состояния равнове­ сия. Тем не менее в этих состояниях стойка будет работоспособ­ на вследствие жесткости поддерживающей системы, которой в данном случае является ригель. В этих состояниях стойка как бы «висит» на ригеле, но тем не менее она воспринимает сжима­ ющую силу, которая с ростом прогиба fі ригеля непрерывно уменьшается;

в) ригель промежуточной жесткости, которая определяется

103

І

прямой MR. Из рис. 41 видно, что вслед за потерей устойчивости стойки при перемещениях fx=Alx, находящихся в пределах

сумма нагрузок, воспринимаемых стойкой и ригелем, определя­ ется ординатами VW, которые меньше 2РКр, и, значит, равновес­ ные состояния рамы невозможны. Однако после увеличения перемещений до fHсуммарная нагрузка на стойку и на ригель до­ стигает 2Ркр, а при дальнейшем увеличении перемещений стано­ вится больше нее. Таким образом, в этой стадии при f \ ^ f Hвновь возможны равновесные состояния рамы при возрастающей на­ грузке 2Р. Из сказанного следует, что возрастание прогиба ри: геля от /к до fn должно произойти резко, хлопком, а вслед за этим будет новая стадия устойчивых состояний равновесия ра­ мы. Конечно, переход хлопком через зону неустойчивости вызо­ вет динамические эффекты, однако при небольшом протяжении этой зоны они будут незначительны и их можно не рассматри­ вать. В то же время, если новая зона устойчивых состояний рав­ новесия достигается лишь после значительного развития проги­

изогнутым стержнем, находящимся в закритпческой стадии, мо­ жет быть различным, оно в значительной степени зависит от свойств поддерживающей стержень системы.

При проведении этого анализа выяснялась лишь способность поддерживающей системы воспринимать нагрузку, «сбрасывае­ мую» стержнем после его потерн устойчивости. Выполнение это­ го условия необходимо для того, чтобы сохранить устойчивое равновесие системы со стержнем, находящимся в закритпческой стадии. Однако для полной характеристики конструкции недо­ статочно знать, что равновесные состояния системы возможны; необходимо определить, будут лп эти состояния равновесия ус­ тойчивыми.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассмотреть отпорность стержня на сжатие 0С и отпорность поддерживающей си­ стемы в направлении оси стержня ѲСпс-

Для удобства будем рассматривать относительные величины этих отпорностей, т. е. отнесенные к жесткости (или отпорности) центрально-сжатого упругого стержня. Согласно (3.168) и (6.4), эти величины имеют соответственно следующие значения:

Значения относительных отпорностей стержня определяются ординатами кривой а на рис. .41; значения относительных от­ порностей упругой поддерживающей системы можно получить, разделив на EF/1 величины тангенсов углов наклона прямых MU, MR и MS к горизонтали:

104

( 6. 8)

Отложим значения относительных отпорностей системы на отрицательном направлении оси ординат и проведем через эти точки горизонтальные линии. В этом случае суммарная отпорность стержня и поддерживающей системы будет изображаться

ррдинатами кривой а, отсчитываемыми от одной из новых осей

Ѳа, Ѳь, Ѳс.

то состояние равновесия системы устойчиво. Если Ѳ отрицатель­ но, то состояние равновесия системы неустойчиво и в случае 0 = 0 состояние равновесия рамы становится критическим.

Из рис. 41 видно, что для рамы с жестким ригелем суммар­ ная отпорность ригеля и стойки, отсчитываемая от горизонтали Ѳс, положительна при всех значениях прогибов. Значит все со­

стояния равновесия системы устойчивы.

Для рам с ригелями слабым и средней жесткости при неболь­ шом превышении прогиба fK суммарная отпорность ригеля и стойки, отсчитываемая соответственно от горизонтальной 0Ои Ѳь, отрицательна. Для рамы со слабым ригелем суммарная отпор­ ность остается отрицательной при всех прогибах /, превышаю­ щих /к. Для рамы же с ригелем средней жесткости она отрица­ тельна лишь до значений прогибов /н, а далее положительна и состояния равновесия рамы устойчивы.

Однако так бывает не всегда. . Пусть ригель рассматривае­ мой рамы выполнен из сварного двутавра и площадь каждой из полок Еп составляет половину площади стенки Fc= th. Тогда мо­ мент инерции стенки и всего сечения будут соответственно равны:

(6.10)

Отношение этих моментов инерции равно 4.

Допустим, что в какой-то момент, изображенный на прямой Л45 точкой К, а на горизонтальной оси Ѳс точкой С, в полках ри­ геля появились пластические деформации. При малой толщине полок пластические деформации по всей их толщине распрост­ раняются при весьма небольшом увеличении прогиба f ригеля, однако момент инерции его, а следовательно, и его отпорность уменьшаются в четыре раза. Из-за этого полная величина отпорности системы Ѳ из положительной превратится в отрицатель­ ную, а состояние равновесия системы перейдет из устойчивого в неустойчивое. Рама в целом потеряет устойчивость и обрушит­

105

ся. На рис. 41 такое уменьшение отпорности ригеля изобразится кривыми CF и KN.

Таким образом, для полного анализа системы необходимо рассмотреть не только ее способность уравновешивать внешнюю нагрузку, но и проверить устойчивость найденных' равновесных состояний по условию (6.9).

Для экспериментальной проверки полученных выво­ дов автором совместно с Б. И. Оськиным испытана серия Т-об- разных стальных рам. Схема рамы дана на рис. 40, общий вид установки показан на рис. 42—44.

Опытные рамы состояли из жесткого сварного двутаврового ригеля и заменяемой стойки прямоугольного сечения, шарнирно соединенной с ригелем и нижней опорой (через ножевые опоры) и загружаемой внецентреино с одинаковыми по величине и зна­ ку эксцентрицитетами на обоих концах. Ригель и стойка изготов­ лены из мягкой стали марки Ст.З с развитой площадкой теку­ чести.

Полный пролет ригеля Ір в различных испытаниях равнялся 250 или 320 см, а момент инерции /р = 7600 см4. Такие размеры ригеля обеспечивали его работу в упругой стадии.

Почти все стойки имели одинаковую длину 35 см, а между центрами шарниров / = 41 см. В результате различной высоты сечения стоек в плоскости рамы их гибкости были разными: 60, 80, 100, 120, 140. Величину относительного эксцентрицитета при-

Рис. 42. Общий вид установки для испытания

106

Т а б л и ц а 2

«хлопком». В то же время в других испытаниях переход через критическое состояние стойки происходил достаточно плавно.

Результаты испытаний рам даны в табл. 2.

Для каждого стержня записаны его номер, гибкость X, пло­ щадь F сечения в квадратных сантиметрах, высота сечения Іі в плоскости рамы, предел текучести стали от, опытная и теорети­ ческая критические силы и их отношение, относительная глуби- ■на упругого ядра в критическом состоянии акр = а//г и отношение сжимающих сил в стойке после достижения равновесного состо­ яния в закритической стадии к критической, далее записаны от­ носительный эксцентрицитет т 0 и пролет ригеля /р.

Значения теоретических критических сил получены прибли­ женным методом в предположении искривления оси стержня по полуволне синусоиды и постоянной отпорности сечений стержня

Как видно из табл. 2, расхождения между значениями опыт­ ных и теоретических критических сил малы и не превышают

± 5 % .

108

Следует сказать, что характер деформирования рамы вслед за достижением стойкой критического состояния различен. Рамы с более жесткими стойками и более слабым ригелем деформиро­ вались очень резко, хлопком, переходя в зону новых равновес­ ных состояний. Такой характер деформаций был у рамы со стой­ ками № 8, 9, 10, 11, 12, 13 и даже 14. Наоборот, рамы с более жесткими ригелями и сравнительно слабыми стойками № 1, 2, 3 через критическое состояние переходили плавно, а у рам со стой­ ками № 6 и 7 вообще не наблюдалось резкого хлопка.

В табл. 2 не включены результаты испытания первых рам, в которых ригель имел пролет 320 см и момент инерции 2260 см4. Такой ригель оказался слишком слабым для поддержания стоек в закритической стадии их работы, и поэтому после достижения стойкой критического состояния деформации росли неограничен­ но и прекращались только после опускания грузов на подкладки. При удалении подкладок прогибы ригеля продолжали увеличи­ ваться и новых равновесных состояний достигнуть не удавалось.

Рамы со стойками № 16 и 17, загруженными с большими эксцентрицитетами, весьма деформатнвны. Стойки теряли устой­ чивость при сравнительно небольших напряжениях сжатия, и при жестком ригеле такая рама переходила через критическое состояние совершенно плавно. Сжимающая сила в стойке умень­ шалась медленно.

На рис. 45 построена диаграмма сжатия стойки для рамы № 17 со стойкой гибкостью 40, эксцентрицитеты составляли два ядровых расстояния. Стойка этой рамы в критическом состоянии не имела резких деформаций.

Из табл. 2 видно, что плавно через критическое состояние переходили лишь рамы со стойками, загруженными с большими эксцентрицитетами. Во всех же остальных рамах усилие в стой­ ке резко падало после ее перехода через критическое состояние.

В новом устойчивом состоянии равновесия рамы в закритиче­ ской стадии усилие в стойке составляло всего 23,8—63,7% кри­ тического. Таким образом, даже при достаточно жестком ригеле, исключающем деформирование хлопком, усилие в стойке все же резко снижается. Для таких рам кривая MD и прямая MR (см. рис. 41) на значительном протяжении расположены очень близ­ ко друг к другу, поэтому, несмотря на то что хлопка не происхо­ дит, новые состояния устойчивого равновесия возможны лишь после значительного развития прогибов ригеля.

На рис. 46 кривые, аналогичные показанным на рис. 45, по­ строены для рамы №11. Для облегчения их рассмотрения везде одними и теми же буквами обозначены наиболее характерные точки и линии: М — точка максимума на кривой состояний рав­ новесия стойки (критическое состояние стойки); MD — закритическая ветвь диаграммы состояний равновесия стойки; MR — диаграмма работы ригеля: Кривая 0VW является диаграммой работы всей рамы. Пунктирный участок кривой VW указывает

109