книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

Указанные обстоятельства приводят к тому, что при значи­ тельных деформациях величина момента в сечении несколько превышает Мт. Например, при наших испытаниях сварных дву­ тавровых балок из мягкой строительной стали превышение бы­ ло порядка 5%. Примерно таким же оно было и в других испы­ таниях. Однако, чтобы достигнуть таких увеличенных моментов, кривизна оси и отвечающие ей прогибы должны быть настолько большими, что в реальных конструкциях реализоваться, как правило, не могут. Это и позволяет рассматривать момент Мт как предельный для сечения.

Иногда идут на еще большие упрощения и полагают, что до достижения момента Мш сечение работает упруго, а затем мгновенно изменяется и начинает деформироваться без увели­ чения момента (пунктирная прямая на рис. 14).

Такие приближенные расчеты в ряде случаев себя оправды­ вают, упрощая решение задачи. В то же время условность рас­ чета ограничивает область обоснованного его применения.

Иногда для расчета используется жестко-пластическая диаг­ рамма работы материала, при которой до достижения предела текучести сгт деформации материала принимают нулевыми, а дальше предполагается безграничное деформирование при по­ стоянном напряжении. Совершенно очевидно, что возможность использования подобных условных расчетных диаграмм должна быть серьезно обоснована.

Рассмотрим теперь сечение при одновременном действии сжимающей (растягивающей) силы N и момента М на примере сечения прямоугольной формы. При таком нагружении возмож­ ны, как известно, два типа напряженных состояний сечения: с односторонней и двухсторонней текучестью (см. рис. 13,6, в).

При односторонней текучести условия равновесия внешних и внутренних сил и моментов записываются в следующем виде (см. рис. 13, 6):

Вместо использования (2.48) запишем второе уравнение в виде соотношения, которое следует из подобия треугольников (см. рис. 13, б) :

40

Односторонняя текучесть в сечении может быть при условии

Подставив сюда сгі из (2.49), получим условие односторонней текучести

Из (2.52) найдем /г0, отвечающее а МІШ*

1 — п

Выражение кривизны физической оси можно записать на ос­ нове рис. 13, б в следующем виде:

Eh (1 — п)

Следовательно, при увеличении среднего напряжения сжа­ тия относительное укорочение и кривизна оси быстро растут. За­ висимость эта качественно приближается к зависимости, пока­ занной на рис. 14.

Для сечения с двухсторонней текучестью

Из (2.61) видим, что если а стремится к нулю, то укорочение ео и кривизна оси к стремятся к бесконечности. Таким образом, ив этом случае при нагрузках, вызывающих напряженное состоя­

41

ние, приближающееся к пластическому шарниру (а = 0 ), отно­ сительное укорочение и кривизна осп стремятся к бесконечно­ сти, т. е. зависимости N = N (e ) и N =N (k ) имеют характер кри­ вой, изображенной на рис. 14.

Следовательно, в сечении, находящемся под действием сжи­ мающей силы N и момента М, продольное укорочение оси стерж­ ня из упругопластического материала может быть значительное. Это одно из главных отличий стержней из упругопластического материала от упругих.

Вместе с тем из этого следует также, что сечение сжато-изо­ гнутого стержня сохраняет способность воспринимать усилие при сравнительно большом развитии деформаций.

§ 9. ЖЕСТКОСТЬ И ОТПОРНОСТЬ СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ ИЗ МАТЕРИАЛА, ПОДЧИНЯЮЩЕГОСЯ ДИАГРАММЕ ПРАНДТЛЯ

Изложенные общие методы пригодны для всех случаев, однако они приводят к громоздким вычислениям и рас­ считаны в основном на использование ЭВМ.

Расчеты особенно упрощаются для стержней из материала, подчиняющегося диаграмме Прандтля. В этом случае все сече­ ние разбивается на упругую и одну или две пластически дефор­ мированные зоны.

Для упругой части сечения относительные секущий и касательный модули равны единице, а для пластических относитель­ ный касательный модуль' равен нулю. Для таких сечений осо­ бенно просто определять отпорности. В этом случае второе рас­ четное сечение ограничивается упругим ядром, площадь и мо­ мент инерции которого относи­ тельно его собственной централь­ ной оси соответственно равны Fn и /я. Следовательно:

42

иия необходимо воспользоваться значениями относительного се­ кущего модуля т] для различных точек сечения.

Для всех точек упругого ядра высотой а (рис. 15) ті= 1. Ог­ раничиваясь случаем плоского изгиба для точки пластической зоны с координатой у, можно написать

43

По этим формулам можно вычислить характеристики перво­ го расчетного сечения, если известны величины t, h, hu Fu F2, F3, От, E, а также величины e0 и k, определяющие деформирован­ ное состояние в сечении.

Г л ав а 3

ЖЕСТКОСТЬ И ОТПОРНОСТЬ СЖАТО-ИЗОГНУТОГО СТЕРЖНЯ

§10. ДОПУЩЕНИЯ. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Впредыдущих главах было показано, что жест­

кость и отпорность поперечного сечения стержня из упруго­ пластического материала зависит от напряженно-деформиро­ ванного состояния в этом сечении, которое, в свою очередь, за­ висит от действующих в нем усилий N и М.

При расчетах упругих стержневых систем внутренние уси­ лия обычно определяют из расчета конструкции по недеформи­ рованной схеме, что во многих случаях допустимо. Для расчета же конструкций из упругопластического материала такое допу­ щение часто не оправдано. Появление пластических зон ведет к существенным дополнительным деформациям. Возникающие вследствие этого дополнительные изгибающие моменты неред­ ко соизмеримы с основными моментами, полученными из расче­ та конструкции по недеформированной схеме. Наиболее сущест­ венны постепенное изменение формы деформирования конст­ рукции с ростом нагрузки и концентрация деформаций в отдельных ее зонах. Все это приводит к тому, что во многих случаях необходимо учитывать геометрическую нелинейность.

Второе осложнение возникает в результате переменности жесткости стержня по его длине, являющееся следствием зави­ симости жесткости от внутренних усилий, которые, как правило, переменны по длине стержня. Игнорирование переменности жесткости не позволяет оценить эффект концентрации дефор-

44

мадий в зонах, наиболее напряженных по длине стержня. Это препятствие более серьезное, так как обычно исключает воз­ можность решения в замкнутом виде.

Все эти обстоятельства нередко приводят к необходимости рассматривать каждый стержень и всю стержневую систему как нелинейные, что с применением ЭВМ стало практически возможным. Следует иметь в виду, что абсолютные величины деформаций ,и перемещений реальных конструкций все же сравнительно невелики, поэтому вполне допустимо использо­ вать приближенное выражение для кривизны оси стержня:

Выше уже было показано, что kx и ky — кривизны физиче­ ской оси в направлении центральных главных осей первого расчетного сечения, отвечающие деформациям изгиба.

Радиусы кривизны физической оси равны:

Соответственно радиусы кривизны геометрической оси в направлениях центральных главных осей первого расчетного сечения равны:

Поскольку обычно

то количественное различие между радиусами кривизны и кривизнами геометрической и физической осей, как правило, незначительно. Различать эти оси и их кривизны необходимо лишь при разложении полных деформаций в сечении на про­ стейшие составляющие (сжатие, чистый изгиб), а также при определении изгибающих и истинных изгибающих моментов.

На рис. 16 показан стержень, изгибаемый в плоскости yOz. Расстояние между геометрической и физической осями после искривления стержня равно а .

Поскольку изгибающий момент М (z ) переменен по длине стержня, то при пластических деформациях в сечении а также

переменна по длине. В результате этого физическая ось получа­ ет дополнительные кривизны k* и k£, равные

Таким образом, полные кривизны физической оси в направ­ лениях центральных главных осей первого расчетного сечения будут равны:

45

добавляются к кривизнам kx и hv, которые вызваны деформа­ циями изгиба в сечениях. В известном смысле эти дополнитель­ ные кривизны аналогичны начальной кривизне стержня. Дейст­ вительно, если геометрическая ось до деформации имеет на­ чальные кривизны k* и kP, то для получения полных величин

кривизн их следует добавить в (3.6).

Как уже было показано, для стержней из упругопластиче­ ских материалов имеют значение не только деформации изгиба и перемещения, перпендикулярные оси z, но и деформации сжа­ тия и перемещения вдоль этой оси.

Как известно, полное описание деформаций и перемещений сжато-изогнутого стержня при отсутствии его закручивания получится, если к зависимостям (3.1) добавить следующие:

dv

(3.7)

dz ’

Записывая эти выражения, необходимо помнить, что пере­ мещения V и w, перпендикулярные оси г, и углы наклона срк и Фу — линейные и угловые перемещения физической оси в на­ правлениях главных центральных осей первых расчетных сече­ ний, а ею— перемещение вдоль физической оси стержня. Одна­ ко, исключив поперечные деформации обжатия стержня и имея в виду (3.4), можно считать, что поперечные перемещения гео­ метрической и физической осей одинаковы. В то же время про­ дольные деформации геометрической е0 и физической оси ею могут существенно отличаться друг от друга.

46

Если не определять положение главных центральных осей первых расчетных сечений, то дифференциальные уравнения,

Все упругогеометрические характеристики первого расчетно­ го сечения, входящие в эти уравнения, вычисляют согласно (1.16) — (1.18). Иная форма записи этих же уравнений может быть получена из (1.86) — (1.88) после подстановки в них зна­ чений (3.9) и (1.93) — (1.98).

При записи уравнений (3.10) — (3.12) имелось в виду, что при сравнительно небольших деформациях рамных конструк­ ций деформации сжатия существенно не влияют на искривление оси, и последние можно определять, игнорируя второе и третье слагаемые (3.8). Что же касается обратного влияния деформа­ ций изгиба на сближение концов стержня, то оно довольно большое, но его можно учесть позже, после определения дефор­ маций изгиба.

Все эти соображения позволяют приближенно оценить гео­ метрическую нелинейность на основе расчета на изгиб сжато­ изогнутого стержня переменной по длине жесткости, используя приближенное выражение кривизны (3.1).

Нагружение стержня будем считать активным во всем его объеме, что приведет к однозначной зависимости между дефор­ мациями и перемещениями стержня и величиной нагрузки. Возможностью более сложного процесса нагружения и разгру­ зок пока пренебрежём. Таким образом, при расчете будем счи­ тать стержень из упругопластического материала нелинейно­ упругим.

Большинство реальных конструкций проектируется из эле­ ментов, симметричных относительно некоторой (часто верти­ кальной) плоскости. Нагрузки обычно также действуют в этой плоскости, поэтому практический метод расчета будем изла­ гать далее применительно к этому случаю. Примем в качестве плоскости симметрии плоскость yOz.

47

Учитывая высказанные соображения, получим сначалаось изогнутого стержня (рис. 17). Ее определяют из решения диф­ ференциального уравнения, которое может быть записано в не­ скольких вариантах.

Подставив в (1.29) значения М из (1.31), получим

ные методы решения этого уравнения, эпюру жесткостей стерж­ ня можно считать известной из предыдущей итерации. В этом случае El 1х (z) и уравнение (3.13) становится линейным с пере­ менными коэффициентами.

Для сжато-изогнутого стержня, изображенного на рис. 17, момент Мх (z ) в некотором сечении стержня, удаленном на г от левого конца, записывается в следующем виде:

Мх(г) = М0+ Q0z + N (ѵ- б0) + Мр (г) = М(г) + N (ѵ - 60). (3.14)

Подставив это значение в (3.13), получим дифференциаль­ ное уравнение оси изогнутого сжато-изогнутого стержня для случая его деформаций в плоскости:

Для удобства перепишем это уравнение в более компактном виде

пока считая, что бо=0, т. е. прогиб стержня на левом конце отсутствует. Это уравнение можно записать и так:

48

по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно геометрического центра этого сечения, то EInk равно моменту внутренних сил относительно этого же центра. Из этого следует

In = ~ h \ oydF■ (ЗЛ8)

F

Уравнение (3.17) является другой формой записи уравнения (3.16). Иногда при практических расчетах эта форма более удобна.

Обозначив изгибающий момент

h

По аналогии с этими выкладками можно было бы получить такие же зависимости и для приращений искривлений оси сжа­ то-изогнутого стержня. Однако при определении отклонений стержня от положения равновесия, если он включен в какуюто статически неопределимую систему, часто имеет значение не только приращения его искривлений, но и изменение расстоя­ ния между его концами. Взаимное влияние этих деформаций бывает значительным.

Чтобы вычислить приращения этих деформаций при плоском изгибе стержня, можно воспользоваться уравнениями (1.53) и

приращение изгибающего момента.

Исключив из этих уравнений deо, что равносильно переходу