книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

на неопределенность суммарной нагрузки на раму, так как в продолжении этого интервала грузовые платформы опирались на домкраты (состояния равновесия рамы при нагрузке 2Ркр были невозможны). Пунктирные кривые MD закритической ста­ дии — экспериментальные, сплошные — теоретические.

N,2P,TC

Таким образом, теоретические выводы о возможности исполь­ зования закритической стадии работы сжато-изогнутых стерж­ ней подтвердились экспериментально.

§29. ДОГРУЖАЮЩИЕ СИСТЕМЫ ИЛИ СИСТЕМЫ

СОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОТПОРНОСТЬЮ

До сих пор рассматривались системы, в которых сжато-изогнутый стержень получал какую-то поддержку от дру­ гих элементов, из-за чего повышалась его несущая способность. Однако возможны и иные системы, в которых стержню работать труднее. Простейший пример такой системы показан на рис. 47.

При нагрузке Р усилия в стержнях AB и ВС будут равны:

2 sin ф

4 Допустим, что при неизменной силе Р оба стержня укороти­ лись на бесконечно малую величину dAl. Вследствие этого узел

110

В опустился на dH. Для нового состояния равновесия можно на­ писать

ний равновесия и отпорностей для фермы Мизиса

На основе известного выражения синуса суммы углов получаем

Поскольку угол dtp бесконечно мал, то можно принять:

сив второе слагаемое в скобках знаменателя как малое, имеем

Отсюда можно написать выражение для отпорности системы в направлении осей стержней AB и ВС, т. е. ее отрицательное влияние на устойчивость стержней:

ill

Знак минус в этом выражении указывает на то, что стержень в такой системе находится в худших условиях, чем изолирован­ ный.

На рис. 48 построена зависимость ОАВМ сжимающей силы N в сжато-изогнутом стержне от сближения его концов А/. Точка М отвечает критическому состоянию изолированного стержня. На вертикальной оси отложены также величины отпорностей ук стержня на сжатие. Кривая отпорностей стержня на сжатие

имеет вид DFG. По вертикальной осп отложена и величина уСИс из (6.21). Это отрезокОС. Поскольку положительные отпорностп поддер­ живающей системы откладывались в сторону отрицательного направле­

ния вертикальной оси, то отрицательные значения должны от­ кладываться вверх. Горизонталь CF, проведенная через точку С, дает новую ось отсчетов отпорностей стержня в рассматривае­ мой системе.

Нулевое значение отпорности стержня, т. е. его критическое состояние, в этой системе достигается в точке F. Этому состоя­ нию отвечает напряжение сжатия в стержне ав, которое мень­ ше стк. Таким образом, стержень в системе (см. рис. 47) менее устойчив, чем такой же изолированный стержень с неподвижны­ ми шарнирными опорами.

Качественно этот результат очевиден, так как в системе (см. рис. 47) стержень имеет большую свободу вследствие упругой податливости узла В. Количественно снижение определяется из (6.21). При уменьшении угла наклона стержней ф знаменатель

. уменьшается, а уСис по абсолютной величине растет, что указы­ вает на снижение устойчивости стержня и всей системы. При ну­ левом значении угла ф величина уСис равняется бесконечности, любая малая нагрузка Р вызывает бесконечно большие усилия dN и, следовательно, система неустойчива при сколь угодно ма­ лой нагрузке. Такие системы, как известно, называются мгно­ венно изменяемыми.

В системах более подъемистых, при больших значениях отно­ шения Н к 2а критическое значение нагрузки Р приближается к PK= 2yVKsin ф.

При ф = 90° отпорность системы равняется нулю, поскольку

112

ее геометрическая нелинейность исчезает и критическая нагруз­ ка совпадает с суммой критических нагрузок 2МК для двух от­ дельных шарнирно-закрепленных стержней.

Примеры некоторых других геометрически нелинейных си­ стем, отрицательно действующих на стержень, показаны на рис. 49 и 50. В этих системах при начале потери устойчивости стержня геометрическая нелинейность системы приводит к по­ ложительной вариации сжимающей силы в этом стержне, т. е. к его догрузке.

Перераспределение сжимающих сил в стержнях характерно для многих систем и особенно для статически неопределимых. Такое перераспределение может быть следствием потери устой­ чивости отдельных стержней, развития пластических деформа­ ций и т. д. Во всех случаях стержень в момент потери устойчиво­ сти может оказаться в условиях изменяющейся сжимающей си­ лы (йЫФО).

Положительная вариация сжимающей силы возможна также во всех случаях потери устойчивости при возрастающей нагруз­ ке. Таким примером может быть рассмотренная выше Т-образ- ная рама. Если внешние силы Р будут возрастать непрерывно, то сжимающая сила на стойку все время будет увеличиваться, а это увеличение уменьшит поддерживающее влияние ригеля в момент потери устойчивости стойки. Таким образом, условия по­ тери устойчивости стержня в системе могут быть различными.

Г л а в а 7

НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ МАТЕРИАЛА, СЕЧЕНИЯ, СТЕРЖНЯ, КОНСТРУКЦИИ

§ 30. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ МАТЕРИАЛА

Диаграммы работы различных материалов имеют вид, показанный на рис. 51. Для мягкой строительной стали ха­ рактерна диаграмма (а) с горизонтальной площадкой текуче­ сти; для менее пластичных материалов диаграммы непрерывно возрастают до предела прочности (б) и (в). Следовательно, для всех материалов характерна почти прямолинейная или криво­ линейная возрастающая ветвь, определяющая основную, более или менее близкую к упругой, стадию работы материала, кото­ рая заканчивается при напряжении, равном пределу текучести от или пределу прочности сгп материала. Для этих точек можно записать

Таким образом, во всех случаях предельной будет точка диа­ граммы, отвечающая состоянию материала, в котором он утра­ чивает способность воспринимать приращение нагрузки, т. е. отпорность его на сжатие, становится нулевой. Пластичный мате­ риал при этом «течет», т. е. продолжает деформироваться без увеличения нагрузки, сохраняя, однако, способность нести на­ грузку, вызвавшую его текучесть. Хрупкий материал разрушает­ ся и частично или полностью, саморазгружается.

1

Из этого следует, что разница между пластичными и хрупки­ ми материалами заключается в основном в характере их дефор­ мирования за этим пределом, а состояния, определяемые усло­ виями (7.1) для всех материалов, характеризуют их несущую способность.

Менее четко обстоит дело с материалами, имеющими пологие диаграммы типа в на рис. 51. Предел прочности у таких мате­ риалов достигается при значительных деформациях, которые совершенно недопустимы в конструкциях. В силу этого для та­ ких материалов устанавливается условный предел текучести — это напряжение, отвечающее определенной полной или-остаточ­ ной деформации. В этом случае критерий нулевой отпорности как предел несущей способности материала приобретает услов­ ный характер и не имеет физического смысла. Однако для со­ хранения единства методики, с известной степенью условности, им можно пользоваться и для таких материалов.

В последние годы для хрупких материалов, например бето­ на, используются диаграммы с понижающейся ветвью за преде­ лом прочности (пунктирный участок диаграммы в на рис. 51). Такие диаграммы получают при испытании образцов в гидрав­ лических прессах. Не следует забывать, что система «образец —

114

пресс» является статически неопределимой и деформации ее ограничены жесткостью всех систем пресса. Обычно в этой ста­ дии происходят постепенные местные разрушения материала.

В конструкциях в ряде случаев материал работает в анало­ гичных условиях.. Например, крайние сжатые зоны изогнутого стержня не могут свободно деформироваться, так как материал менее деформированной средней зоны ограничивает прираще­ ние кривизны оси. В этих условиях эпюра напряжений в попе­ речном сечении такого стержня приобретает вид, показанный на рис. 52, а фабота материала, деформации которого превышают еПч аналогична работе сжато-изогнутого стержня в закритической стадии, если он включен в систему, ограничивающую сбли­ жение его концов.

■»

§ 31. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СЕЧЕНИЯ

При однородном напряженном состоянии (цен­ тральное растяжение или сжатие, сдвиг) напряжения во всех точках поперечного сечения стержня одинаковы, поэтому несу­ щая способность сечения определяется так же, как и несущая ■способность материала. В большинстве же случаев напряжения по сечению неодинаковы, и вопрос о несущей способности сече­ ния должен быть решен на основе каких-то определенных крите­ риев.

При растягивающих напряжениях в стержне из хрупкого ма­ териала критерием несущей способности сечения является до­ стижение предела прочности в краевом волокне. Этот же крите­ рий используется и в некоторых других случаях. Однако чаще всего краевые или какие-то иные местные напряжения не опре­ деляют несущей способности сечения. Неравномерность напря­ жений и деформаций по сечению приводит к тому, что менее напряженные зоны обеспечивают способность сечения воспри­ нимать приращение усилий и после значительного развития пластических деформаций или местных разрушений.

Мерой отпорности сечения на сжатие (растяжение) или на изгиб в двух направлениях служат выражения (1.64):

В упругой стадии величины отпорностей равны жесткостям на сжатие и изгиб в двух направлениях. По мере развития в се­ чении пластических деформаций отпорности начинают умень­ шаться, и при какой-то нагрузке одна из них, две или все три становятся равными нулю. Обращение в нуль каждой из отпор­ ностей (7.2) означает, что сечение утратило способность воспри-

\

нимать приращение соответствующего усилия, т. е. по отноше­ нию к этому усилию несущая способность сечения исчерпана.. Таким образом, критериями несущей способности сечения явля­ ются выражения

Обращение в нуль одной или двух пз отпорностей (7.3) еще не означает, что несущая способность сечения полностью исчер­ пана. Например, при косом изгибе обе отпориости на изгиб мо­ гут равняться нулю, но при этом сечение может воспринимать приращение осевой силы. При равенстве нулю двух первых от­ порностей (7.3) сечение может воспринимать приращение изги­ бающего момента сіМ2у и т. д.

Когда несущая способность сечения стержня из хрупкого ма­ териала исчерпывается, наступает разрушение; если же стер­ жень из пластического материала, то начинается рост деформа­ ций без увеличения усилия. Возникает так называемый пласти­ ческий шарнир.

Третий случай, когда отп'орность в запредельной стадии по­ ложительна, характерен для сечений, рассчитываемых по услов­ ным критериям.

§ 32. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СТЕРЖНЯ

Несущая способность стержня может быть исчер­ пана в результате полного использования его прочности или по­ тери устойчивости.

Исчерпание прочности стержня, статически определимого от­ носительно опорных закреплений, происходит в результате ис­ черпания прочности одного из его сечений. При закреплениях, создающих п-кратную статически неопределимую систему, в большинстве случаев необходимо исчерпание прочности п-\-\ сечений или, другими словами, образование /г+1 «пластического шарнира».

Например, исчерпание несущей способности балки, показан­ ной на рис. 53, т. е. достижение состояния нулевой отпорности по направлению силы Р, наступает после образования в сечениях Л и й пластических шарниров.

Из этого общего положения имеются исключения.

Может быть исчерпание несущей способности какого-то сече­ ния, необходимого для сохранения неизмеияемсти стержня, что приводит к исчерпанию его несущей способности независимо от степени статической неопределенности. В качестве примера мож­ но привести стержень с любыми концевыми закреплениями

116

(рис. 54), в одном из сечений которого исчерпана прочность на срез, т. е. достигнуто состояние нулевой отпорностн по отноше­ нию к перерезающей силе Q. Такой результат — следствие того,, что какое-то количество внешних связей, создающих статиче­ скую неопределимость, не препятствует существенно деформа­ ции от силы Q.

Р Р Р

'f

Рис. 55. Пример лишних связей, не повышающих несущую спо­ собность системы

Вторым примером может быть весьма гибкий стержень, не­ сущая способность которого определяется прочностью, в основ­ ном на растяжение,, одного из средних сечений. Опорные стерж­ ни а, показанные на рис. 55, повышая степень статической не­ определимости, практически не влияют на условия работы «решающего» сечения.

При потере устойчивости, как уже было показано, отпорность стержня в направлении осевой снимающей силы N становится равной нулю.

Таким образом, во всех случаях критерий исчерпания несу­ щей способности стержня — достижение состояния нулевой отпорности по отношению к какому-либо воздействию. Если стер­ жень загружен какой-то сложной системой нагрузок (Р, N, М), то его несущая способность будет сохраняться лишь до тех пор,, пока отпорность по отношению ко всем воздействиям положи­ тельна. Обращение в нуль хотя бы одной из них указывает на исчерпание несущей способности стержня по отношению к при­ ращению этого воздействия.

§ 33. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ КОНСТРУКЦИИ

Всякая стержневая конструкция способна воспри­ нимать дополнительную нагрузку до тех пор, пока ни один изее узлов ни по одному из направлений не получит кинематиче­ скую свободу. Такое состояние конструкции характеризуется

117

положительной отпорностью всех ее узлов по всем направле­ ниям.

Как только одна из отпорностей будет равна нулщ, переме­ щения начнут возрастать без увеличения нагрузки и несущая способность конструкции окажется исчерпанной.

Если кинематическую свободу получили все узлы системы, можно говорить об общем исчерпании несущей способности кон­ струкции; если, свободу получила лишь часть узлов или даже один узел системы, можно говорить о местной форме исчерпания ее несущей способности. В физически или геометрически нели­ нейных системах частичное или местное исчерпание несущей способности может и не означать невозможности дальнейшего нагружения конструкции. После некоторого перераспределения внутренних усилий иногда становится возможной вторая стадия работы системы с отдельными элементами, перешедшими в закритическуй стадию. В этом случае конструкция может вновь обрести положительную отпорность по тому направлению, по ко­ торому она была нулевой при прежней схеме работы (напри­ мер, Т-образная рама с достаточно жестким ригелем, рассмот­ ренная в § 29). Однако не зависимо от наличия или отсутствия второй стадии работы конструкция, достигшая нулевой отпорности, чаще всего проходит через ряд состояний, сменяющих друг друга самопроизвольно, без увеличения внешней нагрузки. Ис­ пользование этой стадии во всех случаях нуждается в обоснова­ нии, поэтому, и здесь критерий нулевой отпорности остается справедливым.

Следует сказать, что нулевая отпорность достигнута при оп­ ределенных воздействиях на конструкцию, а по отношению к другим воздействиям она может сохранять положительную от­ порность.

*

§ 34. ХАРАКТЕРНОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ

Рассмотренные процессы нагружения в основном предполагались монотонными вплоть до достижения состояния нулевой отпорности конструкции. Такое нагружение не всегда единственно возможно. Силовое воздействие может в какие-то периоды не только возрастать, но и уменьшаться (разгрузка), на •смену одному воздействию может возникнуть другое, при кото­ ром характер деформирования конструкции качественно меня­ ется. Ясно, что при этом поведение конструкции усложняется. Например, стальная балка, достигшая под изгибающими воз­ действиями состояния, близкого к пластическому шарниру, мо­ жет воспринять значительную растягивающую или сдвигающую силу. Стержень, приближающийся к предельному состоянию от воздействия крутящего момента, может воспринять дополни­ тельный изгибающий момент и т. д.

Сказанное заставляет говорить не о деформации вообще,

Л 8

а о деформации или перемещении по какому-то определенному направлению, которое будет при рассматриваемом нагружении главным, основным, характерным. Такими во всех случаях будут деформация или перемещение по направлению внешнего силово­ го воздействия, т. е. та деформация или перемещение, на кото­ ром это воздействие совершает работу. Достижение нулевой отпорности именно по этому направлению и является критерием исчерпания несущей способности рассматриваемой конструкции.

Следует сказать, что в литературе нет необходимой ясности- в этом вопросе. Для оценки сжатого или сжато-изогнутого стержня нередко строится и анализируется зависимость сжи­ мающей силы от прогиба стержня или угла поворота какого-то- его сечения; для анализа изгибаемого элемента строится зави­ симость изгибающего момента от прогиба и т. п. Конечно, по­ скольку одни перемещения конструкций связаны с другими, по­ стольку такими зависимостями можно выявить те или иные за­ кономерности, однако более четкие результаты получаются прирассмотрении характерных перемещений конструкций при каж­ дом из загружений.

В то же время обычно каждая конструкция находится под несколькими воздействиями, направления которых могут быть различными. В таких случаях можно говорить о характерном пе­ ремещении для того или иного элемента конструкции — о сбли­ жении концов сжатого или сжато-изогнутого стержня, об угле­ поворота или линейном смещении узла.

При рассмотрении отпорностей по направлениям, не совпа­ дающим с направлением воздействия, можно получить недоста­ точно четкие результаты. Например, из (1.53) — (1.55) видно, что каждое из приращений усилий dN,' dMox, dM0y— это функция приращений всех трех перемещений deо, dkx, dky. Причем все эти усилия и перемещения обобщенные, так как записаны для осей, не являющихся центральными главными осями второго расчет­ ного сечения.

Для примера рассмотрим случай приращения деформаций,

B то же время, если перейти к центральным главным осям второго расчетного сечения, то получим

119'