книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

полученные новым и старым методами расчета. Как видим, раз­ личия в эпюрах весьма значительны.

Отношение горизонтальных перемещений ригеля, определен­ ных обоими методами для различных сочетаний нагрузок, изме­ нялось в пределах 1,18—1,46 для рамы № 1 и 1,10—1,99 для ра­ мы № 2. Причем для большинства расчетных сочетаний нагру­ зок они весьма близки к 1,2—-1,3 для рамы № 1 и 1,3— 1,5 для рамы № 2.Таким образом, учет пластических деформаций при­ водит к сравнительно небольшому увеличению перемещений.

На рис. 86 для стоек рамы № 1 приведены огибающие эпюр условных жесткостей, которые характеризуют зоны пластиче­ ских деформаций, образующиеся при различных сочетаниях нагрузок. Из эпюр видно, что в средней стойке пластические де­ формации возникают при различных сочетаниях нагрузок по всей длине, а в крайних — лишь в верхней части и вблизи за­ делки в основание.

Интересен тот факт, что первые пластические деформации иногда появляются не в тех сечениях, в которых они должны быть по общепринятому методу расчета. В некоторых случаях в этих сечениях вообще не возникали пластические деформации.

Следовательно, разработанный метод расчета дает во мно­ гих случаях более правильную картину работы рамы и во всех случаях показывает ее более высокую несущую способность.

Кроме этого, рассчитаны несколько трехпролетных одно­ этажных рам на все сочетания нагрузок. Результаты их пример­ но такие же, как и для двухпролетных рам. Для двух рам проек­ тируемых цехов после расчета их разработанным методом были подобраны новые сечения колонн, после чего они были снова рассчитаны. Их несущая способность оказалась достаточной. Вес колонн этих рам уменьшился на 14 и 17%.

Таким образом, на основе разработанного метода расчета можно получить более экономичное решение.

КО Н С Т Р У К Ц И И

Вбольшинстве случаев характер деформирова­

ния конструкции естественный. При этом, как уже говорилось выше, критерии устойчивости I и II рода дают совпадающие ре­

160

зультаты, и одного определения деформированного состояния конструкции достаточно для проверки ее несущей способности.

К сожалению, однако, бывает и иначе. Как было показано, естественная форма деформирования конструкций, обусловлен­ ная внешними нагрузками, в определенный момент может ока­ заться неустойчивой по отношению к возмущениям определенно­ го вида. В этот момент произойдет потеря устойчивости естественной формы деформи­ рования конструкции.

В§ 38 и 39 показано, что в ряде случаев вслед за этим начинается новая стадия ус­ тойчивого деформирования конструкции при возрастающей внешней нагрузке. Форма де­ формирования качественно изменяется — появляются такие перемещения, которые от­ сутствовали в докритической стадии. Разви­ тие этих перемещений и приводит к дости­ жению состояния нулевой отпорности.

Вотличие от такого двухстадийного де­ формирования при определенных условиях возможны такие возмущения, по отношению

ккоторым равновесное состояние рамы не­ устойчивое. Тогда состояние равновесия

естественной формы деформирования будет критическим и для конструкции, она ока­ жется не способной воспринимать не только приращения нагрузки сверх Рк, но даже и

ту нагрузку Рк, которая вызвала критическое состояние. Произойдет разрушение, носящее «хрупкий» характер (см. ветвь FG на рис. 68). Такое явление представляет большую опасность, поэтому расчет должен гарантировать от возможности разруше­ ния. Единственным расчетом, отвечающим этому требованию, может быть расчет на устойчивость. Таким образом, общий ме­ тод расчета должен состоять не только в определении равновес­ ного состояния конструкции, но и в проверке его устойчивости при произвольных возмущениях.

Как уже было показано, существует ряд классов конструк­ ций, естественный характер деформирования которых внезапно может оказаться неустойчивым. Это идеально симметричные системы при симметричном или обратно симметричном загружении; частично идеальные систему, которые рассчитываются как плоские, однако их низшая форма потери устойчивости связана с перемещениями из плоскости; кондтрукции, в которых достижение критического состояния наступает в результате резкого уменьшения отпорности элементов, поддерживающих какой-то сжатый или сжато-изогнутый элемент., Пример дефор­ мирования такого типа приведен в главе 6. Это Т-образная рама со стойкой, работающей в закритической стадии.

Другим примером может быть сжато-изогнутый стержень рамы с весьма жесткими ригелями. На рис. 87 форма деформи­ рования такой стойки показана в утрированном виде. Точки пе­ региба расположены вблизи четвертей длины стойки. Если в какой-то момент в полках двутавровых ригелей появятся пла­ стические деформации, то отпорность их на изгиб резко умень­ шится и точки перегиба в момент потери устойчивости стойки сильно сместятся к ее концам. Это может нарушить естествен­ ный процесс деформирования стойки, и диаграмма состояний равновесия для нее вместо ОАМ (см. рис. 68) станет 0FCD или

0FG.

Деформированное состояние всякой более или ме­ нее сложной конструкции из упругопластического материала может быть определено только итерационно. Однако сходимость

может служить величина критической нагрузки для рамы в най­ денном деформированном состоянии равновесия.

Если кривая наинизших критических сил рамы определяется ординатами кривой PCDM на рис. 88, то отношение ординат ED и ЕВ является коэффициентом запаса на устойчивость t рамы в равновесном состоянии, определяемом точкой В. Обычно кри­ вая DM круче опускается, чем поднимается участок кривой со­ стояний равновесия ВМ, поэтому значения ^-порядка 1,2—1,4 показывают, что ордината точки В мало отличается от ордина­ ты точки М, определяющей критическую нагрузку Рк для рамы.

Чтобы построить кривую PCDM для рамы, можно восполь­

162

зоваться классическим методом расчета на устойчивость упру­ гих линейно-деформируемых рам. Первое отличие системы ли­ нейных уравнений от обычно применяемых состоит лишь в уче­ те кроме поворотов узлов и их горизонтальных перемещений также и вертикальных перемещений узлов. Только при этих ус­ ловиях можно оценить все возможные формы потери устойчи­ вости рамы,I в том числе и местные, при которых кинематиче­ скую свободу получат не все, а часть узлов рамы или даже один ее узел.

Второе отличие состоит в методе определения коэффициен­ тов канонических уравнений, которые должны оценить отпорность элементов рамы отклонениям от найденного деформиро­ ванного состояния.

При стационарных осевых усилиях в стержнях рамы для оп­ ределения коэффициентов канонических уравнений можно вос­ пользоваться алгоритмом «стержень», изложенным в § 12, заме­ нив, однако, жесткости (характеристики первых расчетных се­ чений) отпорностями (характеристики вторых расчетных сече­ ний). После этого получим систему канонических уравнений, в которой интерес представляют лишь однородные их части.

Эта система будет иметь следующий вид:

г \\ z \ т\ч Z2 “Ь ‘ "' "I“ Т \п z n О»

........................ ( 10. 1)

Г п \ Z \ "Ь Г п2 Z2 "Ь ■ ' ' Г пп Zn ~ О-

Составим определитель D из коэффициентов этих уравнений и приравняем его нулю:

для вторых расчетных сечений.

Раскрыв определитель, можем найти ряд критических значе­ ний параметра нагрузки, из которых практический интерес пред­ ставляет лишь наинизшее. Это значение и откладывается как ордината ED на рис. 88. Такой расчет будет справедлив лишь для рам, в стержнях которых в момент потери устойчивости осе­ вые силы остаются стационарными, вариации осевых сил dN в каждом стержне равны нулю.

Это условие выполняется, во-первых, лишь при потере устой­ чивости рамы при стационарной внешней нагрузке и, во-вторых, лишь для рам, не имеющих элементов, способных заметно пере­ распределять осевые силы в стержнях. Большинство одноэтаЖ­

ных рам промышленных зданий удовлетворяют этому условию, и для них предложенный метод расчета в большинстве случаев может считаться достаточным.

Если в момент потери устойчивости рамы осевые усилия в ее стержнях не стационарны, то дифференциальное уравнение, определяющее приращения прогибов оси стержня, имеет вид (3.25), а при перемещениях конца 2 = 0 записывается в следующей форме:

EI2dk + N [d v — do0) = — dMp + dN (у + аоу (Ю.З)

Это уравнение даже при отсутствии приращений поперечных воздействий в пролете стержня, когда dMp—0, все же неодно­ родно. Таким образом, форма приращений искривлений оси стержня dv в момент его потери устойчивости зависит от прира­ щения осевого усилия dN. Напомним, что dv и dk в (10.3) — это приращение прогибов и кривизн физической оси отпорностей (продольной оси, проходящей через центры тяжести вторых расчетных сечений).

Из (10.3) видно, что правая часть зависит от прираще­ ния изгибающего момента dMv, вызванного приращением по­ перечных нагрузок на стержень, от напряженно-деформирован­ ного состояния стержня в рассматриваемом состоянии (ѵ и оѳ ) и от приращения осевого усилия dN в стержне в момент потери устойчивости. Величина dN, как это очевидно, зависит от формы деформирования конструкции в критическом состоянии, поэтому для ее определения нельзя ограничиться рассмотрением одного лишь стержня, а должна быть рассмотрена вся конструкция и получена полная картина изменения N во всех стержнях.

Для этого необходимо до решения собственно задачи устой­ чивости найти форму деформирования конструкции в критиче­ ском состоянии. Необходимо выполнить решение, аналогичное изложенному в главе 9, но записывая дифференциальное уравне­ ние изогнутой оси каждого стержня в форме (10.3). Как и преж­

для определения единичных реакций (единичных отпорностей) могут быть использованы алгоритмы «стержень».

Выполнив итерационный расчет рамы, получим значение dN, отвечающее низшей форме ее потери устойчивости. Найденные из такого расчета единичные отпорности могут быть использова­ ны для расчета на устойчивость согласно рекомендациям § 49.

При желании указанный итерационный процесс можно ис­ ключить, получив сразу единичные отпорности для стержней с учетом их деформативности на сжатие. Для этого нужно вос-

164

пользоваться уравнением (10.3), которое для решения задачи устойчивости должно быть переписано в вариациях:

В § 3 дан алгоритм решения уравнения (3.15). Уравнение (10.4) отличается от него заменой характеристик первого рас­ четного сечения (hx, aim/) на,характеристики второго расчетно­ го сечения (h, Щ) самих величин деформаций (к) и перемеще­ ний (V) их вариациями 8k и 8ѵ. Кроме того, и это наиболее су­ щественно, в (10.4) входит вариация осевого усилия 8N в стержне.

Наличие в правой части уравнения (10.4) величины ѵ позво­ ляет учесть форму деформирования стержня в предкритическом состоянии, т. е. учесть геометрическую нелинейность, а величи­ на аѳ совместно с h позволяет учесть физическую нелинейность.

Матрица единичных отпорностей расширится и примет вид

§ 3, с тем лишь отличием, что вариации концевых усилий бRi определяются через вариации концевых перемещений бZj на основе рекомендаций § 15.

Приближенный метод проверки устойчивости пло­ ской формы изгиба колонн рам был реализован А. Л. Бродским в виде алгоритма в конечно разностной форме с разбивкой ко­ лонны на 11 участков (рис. 89); поперечные сечения колонны показаны на рис. 90. В каждом из узлов по границам этих уча­ стков ставилось по две жестких связи, одна из которых препят­ ствовала линейному смещению w узла в направлении, перпенди­ кулярном плоскости рамы, а вторая его повороту Ѳотносительно продольной оси колонны.

Записав' в конечно-разностной форме уравнения метода пе-- ремещений в виде равенства нулю реакций в наложенных свя* зях, получаем систему 20 линейных уравнений. Составим опре^

165

делитель из левых частей этих уровнении и, приравняв его нулю, имеем уравнение устойчивости плоской формы изгиба колонны. Решение этого уравнения приходится вести подбором.

А. Л. Бродский применил иной метод решения. Вместо, рас­ смотрения всего определителя он последовательно рассматрива­ ет колонну с уменьшающимся количеством наложенных фиктивных связей и проверяет ее устойчивость,

вычисляя значение соответствующих миноров. Необходимые значения отпорностей на изгиб

сечений колонны при наличии в них пластичес­ ких деформаций в первом приближении могут

жесткость упругого ядра и разгружающейся в момент потери устойчивости части полки, находящейся в пластической стадии. Главные оси х202у2 для такого сечения показаны на рис. 91;

б) для двухветвевого сечения колонны расчетное сечение мо­ жет быть принято уменьшенным из-за исключения пластических зон размером 2 сі (рис. 91). В случае необходимости можно

Рис. 91. Расположение главных осей второго расчетного сечения

также учесть, что одна из пластических зон при потере устойчи­ вости закроется и сечение уменьшится лишь на ct. Главные оси х202у2 при этом повернутся.

,166

Проверка устойчивости плоской формы изгиба колонны из­ ложенным методом позволяет учесть действительные условия ее закрепления и нагружения, в результате чего можно обосновать более высокие значения критических нагрузок.

§ 52. МЕСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

Металлические стержневые системы выполняются обычно из тонкостенных стержней, причем для повышения их жесткости на изгиб и кручение стремятся к применению элемен­ тов с максимально возможным отношением ширины элемента (/г) к его толщине (t). Для наиболее распространенных мате­ риалов (сталь, алюминий) и элементов сечений (полка, стенка) практикой выработаны наибольшие допустимые отношения, и они записаны в Нормах. Однако эти рекомендации вырабатыва­ лись применительно к конструкциям, работающим в основном в упругой стадии, либо, в крайнем случае, при сравнительно не­ больших пластических деформациях.

ft

Рис. 92. Формы сечений

Выше было показано, что с точки зрения работы конструкции в целом во многих случаях в элементах рам могут быть допу­ щены значительные пластические деформации. Этот вывод по­ лучен в предположении, что форма поперечных сечений всех стержней рам остается неизменной в течение всего процесса деформирования, т. е. местная устойчивость всех тонкостенных элементов полностью обеспечена.

Обобщение многочисленных исследований советских и зару­ бежных авторов по местной устойчивости тонких металлических пластинок выполнено Б. М. Броуде в связи с работой над СНиП и в диссертации В. И. Моисеева, выполненной в ЦНИИСК под руководством Б. М. Броуде.

Результаты этих исследований можно свести к следующим конечным рекомендациям по предельным ширинам элементов:

отношение ширины свеса полки Ь\ к ее толщине не должно превосходить величины, определяющейся из .неравенства

167

Для отношения высоты стенки h двутавровых и швеллерных ветвей сквозных колонн (находящихся целиком в пластической стадии) к ее толщине t должно соблюдаться (рис. 92):

/Г

t-

(10.7)

а для стенок двутавровых колонн (см. рис. 92)

Для последних можно также пользоваться выражением

,о/2

— < 4 0 е ‘ (10.9) t

где

(10.10)

Здесь ^ и е 2 — наибольшая и наименьшая относительные де­

формации у кромок стенки; е = 2,718.

Все эти рекомендации получены для пластинок из материа­ ла, диаграмма которого близка к диаграмме Прандтля, но име­ ется скругленный участок между пределами пропорциональнос­ ти и текучести. Полученные результаты позволяют ввести в ал­ горитм расчета рамы (в блок «сечение») ограничения максимальных краевых деформаций.

Следует сказать, что имеются обстоятельства, которые в не­ которых случаях могут вызывать те или иные отклонения в по­ ведении пластинок под нагрузкой и изменение критических на­ пряжений.

Особенно это относится к некоторым пластинкам из матери­ ала с горизонтальной площадкой текучести, например мягкая строительная сталь. В таких пластинах, особенно полках с од­ ним свободным продольным краем, пластические деформации могут развиваться в виде сосредоточенных сдвигов. На рис. 93 схематически показан характер такой деформации для свобод­ ной кромки полки сварного Н-образного стержня, испытанного автором на внецентренное сжатие. При такой деформации бло­ ки материала, расположенные между плоскостями сосредоточен­ ных сдвигов (обозначающимися на поверхностях полок линия­ ми Чернова—Людерса), остаются упругими, и в результате этого устойчивость полок получается более высокой, чем это следует из расчета, выполненного в предположении равномер­ ного распределения пластических деформаций по длине полки. В некоторых случаях это может быть учтено.

168

Г л а в а 11

ПОВТОРНЫЕ НАГРУЖЕНИЯ

§ 53. УСЛОВИЯ РАБОТЫ РЕАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИИ

В предыдущих-главах рассматривалось поведение конструкций при возрастающей нагрузке (активное нагруже­ ние). Однако, как это было показано в главе 8, даже при таком нагружении в ряде случаев возможно изменение направления приращений деформаций.

Реальные конструкции находятся в более сложных условиях. Нагрузки могут возрастать и уменьшаться в любой последова­ тельности; на смену одним нагрузкам могут появляться другие; они могут действовать как порознь, так и в различных комбина­ циях. Все это осложняет анализ поведения конструкции. Кроме того, проследить все поведение конструкции на всех этапах ее существования невозможно, так как сочетания различных воз­ действий и возможная их последовательность не могут быть определены заранее. Задача еще более осложняется тем, что в каждой конструкции неизбежны начальные искривления, соб­ ственные напряжения и другие факторы, влияющие на их работу.

Все эти обстоятельства приводят к тому, что в данном случае можно определить лишь пределы изменения усилий в каком-ли­ бо элементе или сечении, последовательность же изменения их во времени внутри этих пределов остается, как правило, неиз­ вестной.

С такой постановкой задачи приходится сталкиваться при оп­ ределении выносливости конструкции в целом или отдельных ее элементов. Эта задача возникает при большом количестве цик­ лов нагружения, измеряемого миллионами. Кроме того, обычно при этом довольно быстро изменяется напряженное состояние, нередко сопровождающееся динамическими эффектами. Здесь эти вопросы не рассматриваются, поскольку они имеют извест­ ную специфику и нуждаются в специальных исследованиях.

Ограничиваясь случаями статического нагружения, но учиты­ вая возможность неоднократного изменения напряженно-дефор­ мированного состояния конструкции в известных пределах, при­ ходим к задаче приспособляемости.

§ 54. ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТЬ СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ПРИСПОСОБЛЯЕМОСТИ

Рассмотрим прямоугольное поперечное сечение стержня из идеально упругопластического материала, свойства которого не меняются при повторных нагружениях и разгрузках.

169