книги из ГПНТБ / Геммерлинг А.В. Расчет стержневых систем

Следовательно, редуцированное сечение совпадает с первым расчетным сечением.

Погонные сдвигающие усилия, как известно, определяют по формуле

(например, железобетонный пилон), то эпюра, показанная на рис. 104,6, будет справедлива только для относительных де­ формаций Еу, а эпюра Оу станет криволинейной. Если, кроме то­ го, в поперечном сечении пилона действуют не только изгибаю­ щий момент М и пёререзывающая сила Q, но также и нормаль­ ная сила N, то эпюры относительных деформаций е„ и нормаль­

Аналогично этому можно получить характеристики второго расчетного сечения пилона, входящие в расчеты на устойчивость здания. Относительный касательный модуль в точке у будет равен:

где ЕКу — касательный модуль с диаграммы работы материала пилона при деформации е„.

§ 62. Р А С Ч Е Т П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н Ы Х К А Р К А С О В

Многоэтажные жилые, общественные и промыш­ ленные здания часто выполняют с несущим каркасом или кар­ касно-панельными. Конфигурация плана зданий различная, но стремление к естественному освещению в наибольшем количег стве помещений приводит к сравнительно небольшой ширине зданий и значительной их протяженности в перпендикулярном направлении. В силу этого часто основой каркаса является по­

190

перечная рама, нередко выполняемая как трехпролетная. Каж­ дая из таких рам при таком решении в значительной степени яв­ ляется самостоятельной несущей конструкцией, многократно повторяющейся по длине здания.

Однако имеются здания, в которых нагрузки между попереч­ ными рамами распределяются неравномерно, а кроме попереч­ ных рам имеются еще поперечные диафрагмы, лестничные клетки и другие сплошностенчатые включения. В таких систе­ мах происходит некоторое перераспределение усилий между от­ дельными рамами, и учет пространственной работы всей несу­ щей системы здания позволяет более точно оценить действи­ тельную работу конструкции и правильнее и экономичнее ее за­ проектировать.

Расчет всей несущей, системы здания в целом с учетом физи­ ческой и геометрической нелинейности принципиально возмо­ жен, однако при большом количестве элементов чрезвычайно громоздок и во многих случаях даже при современных ЭВМ не­ выполним. Это требует внесения каких-то упрощений.

Обычно в качестве упрощений принимают идеализацию са­ мой системы. Она считается упругой, линейно-деформируемой. Выше было показано, что такая идеализация может приводить к существенным отличиям получаемых усилий и деформаций от действительных, в результате чего несущая способность системы определяется недостаточно точно и решение неэкономично.

Более обоснованные упрощения можно получить на основе анализа поведения под нагрузкой системы в целом. В большин­ стве случаев при значительной протяженности зданий жесткость их в продольном направлении велика, поэтому смещение узлов каркаса в продольном направлении незначительно. Изгиб колонн в продольном направлении либо вообще отсутствует, либо обус­ ловливается только местными нагрузками на продольные ригели. Довольно часто этими деформациями изгиба можно пренебречь или учитывать как некоторые дополнительные.

В подобных системах основой конструкции являются попе­ речные рамы, а все остальные элементы могут рассматриваться как дополнительные.

Если можно принять допущение о соединении стенок в про­ дольных панелях с каркасом только в узлах, то влияние на по­ перечную раму продольных ригелей и вертикальных стенок све­ дется к дополнительным вертикальным составляющим в узлах плоских рам. Эти составляющие вычисляют по формулам (62.8) — (62.9) для учета жесткости вертикальных стенок. При этом, конечно в них должна подставляться разность вертикаль­ ных перемещений двух смежных узлов, к которым примыкают верхние углы стенки. Поперечные силы от ригелей учитываются,

как обычно.

Аналогично находят и дополнительные горизонтальные силы Фдоп >если Узлы смежных поперечных рам или рамы и попереч-

191

ной диафрагмы имеют различные горизонтальные перемещения U при действии нагрузок, приходящихся непосредственно на каждую из них. Дополнительные вертикальные и горизонталь­ ные усилия (Здоп определяют характер перераспределения уси­ лий между двумя смежными плоскими рамами.

Такое воздействие существует между всеми плоскими рама­ ми каркаса, однако совершенно ясно, что значительной величины силы (?доп могут достигнуть лишь между теми из них, у которых существенно различны взаимные смещения аналогичных узлов от нагрузок, приходящихся непосредственно на отдельные плос­ кие рамы.

С учетом этого рассматривать полную систему уравнений для всего здания нет необходимости, можно ограничиться лишь от­ дельными блоками, включающими в себя «возмущающую» раму и по одной или в крайнем случае по две соседние плоские рамы. Чаще всего такого рас­ чета в первом приближении будет до­ статочно. Исключение составляют зда­ ния, имеющие весьма жесткие распре­ деляющие элементы, ,как, например, сплошные железобетонные перекры­ тия. Расчет таких систем целесообраз­ но вести итерационно, постепенно уточняя силы взаимодействия между отдельными рамами и перекрытиями.

Широкое распространение получи­ ли в последние годы здания с рамносвязевыми каркасами. Для этих сис­ тем можно ограничиться составлением условий равновесия горизонтальных сил в горизонтальных сечениях и вер­ тикальных сил в каждом узле. Общее количество уравнений для одной плос­ кой рамы при V этажей и и колонн со­ ставит

Для рамы, изображенной на

Рис- 105> Л= 55> поэтому возможен

расчет системы из нескольких таких рам. Количество уравнений при этом составит несколько сотен. Решение

таких систем линейных уравнений вполне возможно на совре­ менных ЭВМ. Однако порядок системы уравнений можно 'зна­ чительно понизить, укрупнив отдельные «конечные» элементы.

Как известно, наиболее существенными для прочности и ус­ тойчивости всей рамы являются элементы ее нижних этажей, поэтому в верхней части рамы количество рассматриваемых се­

192

чений можно намного сократить, перейдя к блокам по 3—4 эта­ жа. В результате для рамы, показанной на рис. 105, расчетными станут лишь пять этажей, обозначенных цифрами в кружках, и

рассматриваемом блоке.

Такой метод пригоден для расчета сложных зданий.

§ 6 3 . Р А С Ч Е Т П Р О С Т Р А Н С Т В Е Н Н Ы Х П О К Р Ы Т И Й

Изложенный метод может быть использован для расчета пространственных покрытий. Рассмотрим в качестве примера покрытие в виде стального стержневого сферического купола, состоящего из меридиональных и кольцевых элемен­ тов и диагональных связей в образованных ими панелях.

Арки и кольца выполнены в виде ферм с параллельными поясами и решеткой, диаго­ нальные связи — в виде двух параллельных стержней, сое­ диняющих углы панелей. Для реального проекта купола диа­ метром 226,5 м такой конст­ рукции (рис. 106) общее число стержней приближается к 6000. Ясно, что переход к рассмот­ рению некоторых укрупнен­ ных блоков (конечных элемен­ тов)— один из рациональных путей решения задачи.

Возникает вопрос о выборе наиболее целесообразных конеч­ ных элементов. Для снижения порядка системы уравнений, описывающих напряженно-деформированное состояние конст­ рукции, целесообразно иметь по возможности наименьшее коли­ чество укрупненных конечных элементов. В то же время с увеличением размеров конечных элементов увеличивается ве­ роятность пропуска каких-то форм деформирования и потери устойчивости конструкции. Учитывая эти оба взаимно противо­ речащих положения, и следует выбрать форму и размеры конеч­ ных элементов.

Применительно к рассматриваемому куполу задача может быть решена на основе следующих соображений. Если принять за конечный элемент участок арки из трех панелей общей дли­ ной 36 м, то его устойчивость в плоскости арки будет обеспече­

диану, получим правильный учет жесткости купола в меридио­

нальном направлении. На рис. 107 такой элемент арки изобра­ жается отрезком AB.

Жесткость купола в кольцевых направлениях создается кольцами, расположенными с шагом 12 м. Если размер конеч­ ного элемента в меридиональном направлении принять равным 36 м, то к нему будут примыкать кроме концевых CD и EF еще два кольца GH и JK. Поскольку в меридиональном направле­ нии конечный элемент арки весьма жесткий, то можно считать,

Рис. 107. Схемы конечного элемента Рис. 108. Диаграммы сос­ тоянии равновесия для ко­

нечного элемента

что формы деформирования и потери устойчивости купола мо­ гут быть с достаточной точностью описаны перемещениями уз­ лов А и В, расположенных на концах 36-м метровых участков арок. В таком случае и жесткости промежуточных колец могут быть перенесены на концы конечных элементов и сосредоточены в работающих на изгиб элементах кольца CD и EF, эквивалент­ ных по жесткости сумме всех четырех ребер (CD, GH, JK, EF). Совершенно очевидно, что жесткость кольцевого ребра, распо­ ложенного на границе между двумя конечными элементами, должна входить лишь в один из них. Аналогично следует опре­ делить жесткость кольцевых элементов CD и EF на сжатие:

Таким образом, конечный элемент состоит из трех ферм (АВГ CD, EF), каждая из которых работает на изгиб в своей плоско­ сти и на сжатие-растяжение. Кроме этого, из-за раскосов, рас­ положенных в панелях между двумя меридиональными элемен­ тами и показанных на рис.107 пунктиром, конечный элемент имеет жесткость на кручение. В результате при повороте коль­ цевого элемента EF в своей плоскости как целого относительно элемента CD появляется противодействие этому перемещению, определяемое жесткостью на кручение коробчатой пустоте­ лой балки, образованной двумя смежными арками и диаго­ нальными раскосами в панелях между ними. Поперечное сече­ ние такой слегка конической балки показано на рис. 107. Игно­ рируя конусность такой балки и возникающие при ее закручи­ вании осевые усилия в поясах, можно считать, что жесткость на кручение определяется только жесткостью панелей на сдвиг, ко­

194

торая, в свою очередь, определяется жесткостью раскосной ре­ шетки арок и панелей между ними.

Жесткость на кручение такой балки вычисляют по общеиз­ вестной формуле

І2 к

Зная эту жесткость, можно найти зависимость между крутя­ щим моментом МКи относительным углом закручивания 0 конеч­ ного элемента:

Выражение (13.26) получено для упругой линейно-деформи- руемой системы. Если для какого-то стержня принятого конеч­ ного элемента зависимость между усилием в нем. Ni и сближени­ ем его концов AU нелинейна (рис. 108), то зависимость между •силой сдвига Ці в панели и относительным сдвигом ее 6і в своей плоскости также будет нелинейной и в результате зависимость крутящего момента Мк от относительного угла закручивания 0 также станет нелинейной [кривая Мк (0) на рис. 108].

Если требуется определить состояние равновесия конструк­ ции, определяемое по кривой Мк (0) точкой А, то можно напи­

элемента в рассматриваемом деформированном состоянии. Таким образом, все необходимые характеристики конечного

элемента получить сравнительно просто. После этого небходимо составить систему уравнений равновесия и совместности дефор­ маций стыкуемых конечных элементов. Используем для этого ме­ тод перемещений.

Наложим на каждый узел, в котором стыкуются смежные конечные элементы, по пять связей. Три из них препятствуют ли­

нейным смещениям в направлениях меридиональном (1), коль­ цевом (2), и в направлении нормали к оси арки в узле (3). Двесвязи препятствуют повороту узла относительно оси арки (4) и оси кольца .(5). Шестую связь, препятствующую повороту узла относительно нормали к оси арки и кольца, не накладываем, так как угловое перемещение узла в плоскости поверхности купола можно считать исключенным. Обычно при деформировании купо­ ла таких перемещений не бывает.

Рассматриваемый купол имеет 60 полуарок. Если каждая из них разбивается на три конечных элемента, то число рассматри­ ваемых узлов составит 240. При постановке в каждом узле пяти связей и составлении соответственно для каждого узла пяти уравнений равновесия получим полную систему из 1200 уравне­ ний. Решение такой системы на ЭВМ практически возможно. Однако линейные смещения узла в направлении меридиана и кольца обычно игнорируются. Если это сделать, то порядок си­ стемы уравнений понизится до 720.

Рассмотренный пример позволяет считать изложенный метод приемлемым для расчета различных пространственных конст­ рукций покрытий и других сложных стержневых систем. Он мо­ жет быть использован также и для расчета континуальных про­ странственных систем, например оболочек различных типов. При переходе к такой расчетной модели, по-видимому, достаточ­ но просто может быть выяснена роль ребер, различных местных дефектов в отдельных зонах конструкции, появление пластиче­ ских зон и другие особенности. Кроме того, этим методом можно вычислить критическую нагрузку для пространственной системы, а при использовании итерационных методов найти форму дефор­

Г л а в а 14

ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИИ

§ 6 4 . И М Е Ю Щ И Е С Я М Е Т О Д Ы

Стремление получить оптимальное решение всегда было основным стимулом при разработке многих задач проекти­ рования, технологии, управления и др. Прежде степень опти­ мальности определялась сравнением разработанных вариантов, однако их возможное количество обычно бывало небольшим.

196

Сколь значительно его можно было бы улучшить, оставалось не­ известным.

Положение резко изменилось после появления ЭВМ. Во-пер­ вых, стало возможно разрабатывать не два-три, а сотни и тысячи вариантов и в результате этого подходить к оптимальному реше­ нию значительно ближе и, во-вторых, что еще более существен­ но, появилась возможность определения теоретически оптималь­ ного варианта решения задачи.

В области проектирования конструкций и сооружений это привело к бурному развитию методов оптимального проектиро­ вания. Имеются удачные решения, полученные либо перебором возможных вариантов, либо на основе использования методов математического программирования.

Если решение возможно лишь при условии применения эле­ ментов, включенных в определенный сортамент, то поиски мате­ матического экстремума нередко теряют смысл и методы нап­ равленного перебора возможных вариантов вполне оправданы. Имеются удачные решения по подбору сечений стальных колонн и подкрановых балок, по подбору элементов сборного железобе­ тонного каркаса одноэтажных промышленных зданий и некото­ рые другие.

Использование методов математического программирования1 заманчивее, поскольку позволяет быстрее получить решение. В этом случае проще решаются вопросы сходимости итерацион­ ных процессов, сам путь решения становится вполне опреде­ ленным. Однако и здесь встречаются значительные трудности.

Первая из них состоит в весьма ограниченном количестве варьи­ руемых параметров, обычно не более 6, а практически покареализуются решения при 2—.4 параметрах. Для большинства реальных инженерных задач этого количества недостаточно. Даже' в самых простых случаях, например для подбора одного сечения стальной балки или колонны, требуется не менее двух параметров.

Еще большие трудности сопряжены с тем, что все нелинейныезадачи являются, как правило, многоэкстремальными. Таким образом, даже если и удается найти экстремум задачи, то оста­ ются сомнения в том, что он является локальным, а глобальный сильно от него отличается и дает значительно более рациональ­ ное решение.

Из-за этих обстоятельств до сих пор на основе методов мате­ матического программирования разработано мало методов оп­

которых успешно применяется симплекс-метод. Правда, и в этих случаях сходимость решения нередко не очень хорошая.

Основной же недостаток — необходимость: линеаризации за­ дачи, что в условиях применения ЭВМ часто трудно считать оп­ равданным. По-видимому, наиболее хорошо разработанными’

197'

являются методы оптимизации конструкций, рассчитываемых на основе метода предельного равновесия, когда расчетная мо­ дель конструкции принимается жесткопластической. В этом слу­ чае удается довести до конца решение задач по расчету доста­ точно сложных рам, плит и других конструкций. Однако столь упрощенная расчетная модель хорошо описывает действительное поведение сравнительно ограниченного класса конструкций. В основном это стержневые железобетонные системы со стержня­ ми небольших гибкостей, исчерпание несущей способности кото­ рых происходит в результате прочностных разрушений, а также плитные и балочные элементы.

§ 6 5 . М Е Т О Д П О Э Т А П Н О Й О П Т И М И З А Ц И И

Из сказанного видно, что пока отсутствует какой-то общий-метод, пригодный для достаточно широкого класса конст­ рукций.

Один из возможных путей для создания общего метода опти­ мального проектирования — поэтапная оптимизация.

Весьма часто решение инженерных задач выполняется за не­ сколько этапов, при этом на каждом последующем используют­ ся какие-то результаты, полученные на предыдущих этапах. В частности, это характерно для расчета многих сложных конст­ рукций.'

Рассмотрим этот метод на примере расчета статически неоп­ ределимой металлической рамы. Ограничимся рассмотрением задачи оптимизации рамы по весу или, что эквивалентно, по объ­ ему материала.

Рама — система физически- и геометрически-нелинейная, воз­ можна потеря ее устойчивости в той или иной форме. Рассмот­ рим случай загружения рамы одной группой сил, изменяющихся пропорционально одному параметру Р. Целевой функцией, мини­ мум которой опрёделяется, является, таким образом, объем ра­ мы V. Искомое решение должно удовлетворять значительному количеству ограничений Л,-. Среди них находятся ограничения по прочности определенных сечений, цо общей и местной устойчиво-1 сти рамы в- целом и отдельных ее элементов, по общим и мест­ ным деформациям и перемещениям. Примем, что объем рамы оп­ ределяется параметрами Хь общее количество которых равно п.

Таким образом, задача формулируется как минимизация функции Ѵ(хі) при выполнении всех ограничений Л,.

Нетрудно видеть, что все ограничения Aj разбиваются на группы. Одни из них относятся к раме в целом (устойчивость ра­ мы в целом, перемещения ее отдельных узлов), другие — лишь к отдельным сечениям стержней (прочность и устойчивость эле­ ментов сечения).

Разобьем все решение на три этапа: рама, стержень и сечение и рассмотрим каждый из них отдельно. Решение рамы будем

498

вести методом перемещений в форме, обычно применяемой длярасчета линейно-деформируемых систем, а нелинейность учтем в форме, изложенной в предыдущих главах на основе методики двух расчетных сечений.

При расчете рамы приходится иметь дело лишь с обобщен­ ными характеристиками стержней в виде единичных реакций /Чй. Для определения деформированного состояния рамы величи­ ны г,-л находят по жесткостям первых расчетных сечений, для проверки устойчивости рамы — по жесткостям вторых расчетных сечений.

Чтобы определить единичные реакции стержня, необходимо знать изменение по его длине жесткостей первого и второго рас­ четных сечений. Эти эпюры получены в предыдущей итерации для стержня, принятого на данной итерации поперечного сечения, характеризуемого моментом инерции всего сечения Іт и объе­ мом всего стержня Ѵт. Таким образом, связь между Іт и Ѵт на каждой итерации вполне определенная, и целевая функция за­ писывается в виде

т = 1

Минимизация V ведется при ограничениях Ajt одна часть из которых может быть задана численно (например, смещение уз­ лов), а другая — в виде алгоритма, как, например, критическая' нагрузка для рамы. Однако все они выражаются через единич­ ные реакции г*й, которые, в свою очередь, определяются исходны­ ми моментами инерции и эпюрами изменения жесткостей по длине стержня. Следовательно, и все ограничения также могут быть связаны с объемами отдельных стержней. В качестве ис­ ходной можно принять упругую раму, а связь величин единичных реакций с весом стержня в каждой итерации — линейной и опре­ деляемой значениями при двух смежных итерациях.

В такой постановке задача становится вполне определенной,

Затем переходим к оптимизации отдельных стержней. Опти­ мизируемыми параметрами здесь могут быть, например, коорди­ наты мест изменения сечения стержня или соотношение жестко­ стей отдельных участков. В число ограничений войдут и такие,

как Іт^Іт, т. е. значения моментов инерции не должны умень­ шаться против полученных для оптимальной в данной итерации рамы. Эти ограничения, по-видимому, можно написать и в более

мягкой форме: Іт^ с І т. Причем коэффициент с может быть не­

199-