А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

Интегралы от гиперболических функций берутся так же, как и от тригонометрических.

10.Определенный интеграл

10.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

10.1. Понятие определенного интеграла

Определение 10.1. Пусть на отрезке [a, b] задана функция y = f (x).

любом разбиении [a, b] на конечное число частей функция не будет ограниченной на одной из частей; тогда за счет выбора точки x в этой части s можно сделать сколь угодно большой). Поэтому далее y = f (x) будет предполагаться ограниченной на отрезке [a, b].

b

Геометрический смысл определенного интеграла ò f (x)dx

a

Пусть f (x) ³ 0 для x О[a,b]. Рассмотрим график этой функции (рис. 49).

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

y

Произведение f (xi )Dxi равно площади прямоугольника, ограни- ченного прямыми x = xi , x = xi+1, y = 0, y = f (ξi ), поэтому интегральная

n−1

сумма s = å f (xi )Dxi равна площади изображенной на рисунке ступен-

i=0

чатой фигуры.

Фигуру, ограниченную осью 0x, прямыми x = a и x = b и графиком функции y = f (x) , назовем криволинейной трапецией. Под площадью этой криволинейной трапеции мы будем понимать предел пло щадей наших ступенчатых фигур при норме разбиения l ® 0, если этот предел существует и не зависит от выбора точек xi è xi (при l ® 0 ступен- чатая фигура все более «приближается» к криволинейной тр апеции). Но

b

этот предел (если он существует) равен ò f (x )dx следовательно,

a

ции, ограниченной осью 0х, прямыми x = a и x = b и графиком функции y = f (x) ³ 0.

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

bb

5.f (x) ³ g(x), x Î[a,b]Þ ò f (x)dx ³ ò g(x)dx, если эти интегралы

ò f (x)dx ³ ò g(x)dx. x

aa

b b

6.ò f (x)dx £ ò½f (x )½dx , если оба этих интеграла существуют.

aa

bb

¡f (x) £| f (x) | Þ ò f (x)dx £ ò½f (x)½dx ;

¡ m £ f (x) £ M Þ òmdx £ ò f (x)dx £ òMdx Þ mòdx £ ò f (x)dx £ M òdx

b

ò f (x)dx = f (x)(b - a).

a

10.Определенный интеграл

¡Как будет показано далее, интеграл от функции, непрерывной на отрезке, всегда существует. В свойстве 7 числа m и M – любые. Теперь пусть m и M – наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции y = f (x) на отрезке [a, b], следовательно, по свойству 7 можно записать:

Мы видим отсюда, что число 1 òb f (x)dx заключено между mи M. Но b - a a

функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке все промежуточные значения между m и M , следовательно, существует точка xО[a, b], такая, что

то можно рассмотреть только удобные для нас разбиения отр езкаa[, b],

а именно такие, в которых точка с является одной из точек разбиения: c = xk (рис. 50). Тогда

(на самом деле для справедливости теоремы достаточно сущ ествования двух интегралов в правой части равенства). x

Ðèñ. 50

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

b

10. Äî ñèõ ïîð ò f (x)dx был определен только для случая a < b. По-

a

ba

ложим теперь, что при a > b ò f (x)dx = -ò f (x)dx (если интеграл

определенного интеграла, которые выражаются знаком раве нства (1, 2, 3, 8, 9), верны и в этом случае. Свойство 9 справедливо независим о от взаимного расположения точек a, b и с.

10.3. Существование определенного интеграла

Ниже будут изучаться условия, которые надо наложить на фу н- кцию y = f (x) , чтобы интеграл от нее, т.е. предел (10.1), заведомо существовал.

Верхние и нижние интегральные суммы и их свойства

Выше функция y = f (x) предполагалась ограниченной, а так как по теореме 1.1 у всякого ограниченного множества сущест вуют

Суммы Дарбу характеризуются следующими свойствами.

Теорема 10.2. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу не уменьшится, а верхняя не увеличится.

¡ Достаточно проанализировать случай добавления одной точки x′ (xk ,xk+1). Тогда новые суммы Дарбу будут отличаться от старых только тем, что вместо слагаемых mk Dxk è Mk Dxk появятся слагаемые

10. Определенный интеграл

£ Mk (x¢ - xk )+ Mk (xk+1 - x¢) = Mk (x¢ - xk + xk+1 - x¢) = Mk Dxk . x

Теорема 10.3. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу (эти суммы могут отвечать разным р азбиениям отрезка [a, b]).

¡ Пусть имеются два разбиения отрезка [a, b] с нижними и верхними суммами Дарбу – s1,S1 è s2,S2 соответственно. Объединим те и другие точки деления, тогда получим новое разбиение [a, b] с нижней и верхней суммами Дарбу – s и S. Используя формулу (10.2) и теорему 10.2,

имеем s1 £ s £ S £ S2 Þ s1 £ S2. x

Из теоремы 10.3 следует, что множество всех нижних сумм Дарбу ограничено сверху (любой верхней суммой Дарбу), а множе ство всех верхних сумм Дарбу ограничено снизу (любой нижней су ммой Дарбу), тогда по теореме 1.1 эти множества имеют соответстве нно

Таким образом, нами доказана следующая теорема.

Теорема 10.4. Для любых нижней s и верхней S сумм Дарбу (в принципе отвечающих разным разбиениям отрезка [a, b])

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

Теорема 10.5. Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке

b

[a, b], тогда интеграл ò f (x)dx существует.

как раз и будут равны введенным выше числам mi è Mi . Таким образом, суммы Дарбу для непрерывной функции будут являться одним и из интегральных сумм.

По теореме Кантора 3.9 непрерывная функция y = f (x) будет равномерно непрерывной на отрезке [a, b] Û "e > 0 $d = d(e) > 0:

Значит, для s и S, отвечающих одному разбиению отрезка [a, b], такому, что l < d, имеем

b

что и означает существование определенного интеграла ò f (x)dx.x

a

Определение 10.2. Функция y = f (x) называется кусочно-непре- рывной на отрезке [a, b], если на этом отрезке она имеет только конеч- ное число разрывов и все эти разрывы первого рода.

Для такой функции отрезок [a, b] можно разбить на конечное число частей (от одной точки разрыва до другой), на каждой из ко торых

10. Определенный интеграл

функция будет непрерывной. Тогда по теореме 10.5 интеграл от функции по каждой части существует, а интеграл по всему отрезк у, согласно свойству 9 определенных интегралов, тоже существует и счи тается как сумма интегралов по частям.

10.4. Вычисление определенного интеграла

Пусть y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], тогда она непрерыв-

на, а значит, интегрируема на любом отрезке [a, x], где x О[a,b]. Ïîëî-

x

æèì, ÷òî F (x) = ò f (t)dt – это так называемый интеграл с переменным

a

верхним пределом.

Теорема 10.6 (о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу). Пусть y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b].

или производная интеграла по переменному верхнему преде лу равна значению подынтегральной функции в этом верхнем пределе .

Замечание. Из теорем 10.5 и 10.6 следует, что для непрерывной функ-

öèè y = f (x) существует первообразная. Этой первообразной будет

x

F (x) = ò f (t)dt (так как, как только что доказано, F ¢(x) = f (x) ).

a

Следствия

10.Определенный интеграл

10.5.Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле

Замена переменной

Теорема 10.8. Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b]. Пусть функция x = j(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], т.е. имеет на этом отрезке непрерывную производную j¢(t). Пусть j(a) = a, j(b) = b и при t О(a,b) j(t)О(a,b). Тогда

aα

Интеграл слева существует как интеграл от непрерывной фу нкции; интеграл справа также существует, так как по условию слож ная функ-