Добавил:

catsneverdie Я уверяю Вас, мне можно доверить огнестрельное оружие Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.10.2023

Размер:

3.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

6.Ðÿäû

16.3.Ряды с членами произвольного знака

Рассмотрим ряд с членами произвольного знака же ряд из модулей членов ряда (16.1)

∞

å|an |.

n=1

∞

åan (16.1), à òàê-

n=1

(16.6)

Определение 16.2. Ряд (16.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (16.6).

Теорема 16.10. Если ряд (16.6) сходится, то ряд (16.1) тоже сходится, т.е. из абсолютной сходимости ряда следует его сходимос ть в обыч- ном смысле.

¡ Представим члены ряда (16.1) в виде an = an+ - an− , ãäå

+	ìan, åñëè an		³0;		ì0, åñëè an ³0;
+	ï			–	ï
an	= í			an	=í
	îï0,	åñëè an < 0;			îï–an, åñëè an < 0.
Òàê êàê 0 £ a+ £\|a \| ,		0 £ a− £\| a		\| , то по теореме 16.5 из сходимости ряда
n	n	n	n	∞	∞
				∞	∞
(16.6) следует сходимость рядов åan+					è åan− , а отсюда согласно тео-
		∞		n=1	n=1
		∞			∞
реме 16.3 сходимость ряда å(an+ - an− ) = åan (16.1). x
		n=1			n=1

Замечание. К ряду (16.6), как к ряду с неотрицательными членами, можно применить теоремы 16.5–16.9 о сходимости таких рядов. Ост ановимся подробнее на применении признаков Коши и Даламбера .

Пусть lim n \| a		\| = l èëè lim	\|an+1 \|	= l. Тогда при l < 1 ряд (16.6) схо-

n→∞	n	n→∞ \|an \|

дится, значит, ряд (16.1) абсолютно сходится, а при l > 1 расходится не только ряд (16.6), но и ряд (16.1), так как из доказательств признак ов

Коши и Даламбера следует, что в этом случае lim an ¹ 0 .

n→∞

Определение 16.3. Ряд (16.1) называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд из модулей (16.6) расходится.

Рассмотрим ряд теорем о сходимости рядов с членами произв ольного знака.

16. Числовые ряды

Начнем с так называемых знакочередующихся рядов:

c1 − c2 + c3 − c4 + c5 − c6 + ...,

ãäå cn ³ 0.

Теорема 16.11 (признак Лейбница). Пусть члены знакочередующе-

гося ряда по абсолютной величине не возрастают: cn+1 £ cn è lim cn = 0.

n→∞

Тогда этот ряд сходится и его сумма S удовлетворяет условию

c1 - c2 £ S £ c1 .

¡ Надо доказать существование конечного предела частичных сумм

ðÿäà lim Sn .

n→∞

Рассмотрим cначала сумму четного числа членов {S2n}:

S2(n+1) = S2n+2 = S2n + (c2n+1 - c2n+2 ).

Òàê êàê cn+1 ≤ cn , òî c2n+2 ≤ c2n+1 , следовательно последовательность

{S2n} не убывает: S2(n + 1) ³ S2n è S2n ³ S2 = c1 - c2 . Эта последовательность к тому же ограничена сверху:

S2n = c1 − (c2 − c3)− (c4 − c5)− ...− (c2n−2 − c2n−1) − c2n ≤ c1

в силу условий теоремы cn+1 £ cn è cn ³ 0. Значит, по теореме 2.10 суще-

ствует конечный lim S

= S è c - c £ S £ c .

n→∞

1 2

{

2n+1}

Теперь рассмотрим сумму нечетного числа членов

. Òàê êàê

lim c

= 0 , òî

n→∞

lim S

= lim(S

+ c

) = limS

+ lim c

= S + 0 = S.

n→∞

2n+1

n→∞

2n+1

n→∞

n→∞ 2n+1

Òàê êàê lim S2n = lim S2n+1 = S, то существует конечный предел

n→∞

limS

= S è

c - c £ S £ c

. x

n→∞

Примеры. Исследовать на сходимость ряды.

∞

Ð å ø å í è å

(-1)n . Ряд удовлетворяет всем условиям признака Лейбница: он зн а-

1. å

n=1

кочередующийся, его члены по абсолютной величине убывают и при n ® ¥

стремятся к 0 Ю по теореме 16.11 ряд сходится. Ряд из абсолютных величин –

∞ 1

гармонический ряд nå=1 n расходится Ю исходный ряд сходится условно.

320

321

6. Ðÿäû

∞

n(n−1) 3

∞

2. å(-1)

. Ряд из модулей

сходится по признаку Даламбе-

n=1

ðà: lim

(n + 1)3 × 2n

1 <

1 Ю исходный ряд абсолютно сходится.

2n+1 × n3

n→∞

∞

4n +1ö

n−1

3. å(-1)

3n -1

. Применение признака Коши к ряду из модулей

n=1

∞

æ 4n + 1

n æ 4n +1

4n +1

ö2

приводит к: lim

= lim

3n -1

> 1 Ю исходный

n=1

è 3n -1

n→∞

è 3n -1

n→∞

ряд расходится (см. замечание после теоремы 16.10).

∞

(-1)n

∞

4. å

. Ряд из модулей å

согласно теореме срав-

3 n2 + n + 1

n=1

нения в предельной форме сходится или расходится одновре менно с ря-

∞

æ ∞

∞

äîì å

ç å

~å

, последний ряд расходится з a =

< 1 –

2 3

+ n +1

n 1

èn 1

n 1

∞

(-1)n

. Ñàì ðÿä å

см. ряды Дирихле

является знакочередующимся

+ n

+ 1

n 1

и сходится по признаку Лейбница, так как его члены по абсол ютной вели- чине убывают и при n ® ¥ стремятся к 0, следовательно, исходный ряд условно сходится.

Далее рассматрим ряды вида

∞

åanbn. (16.7)

n=1

	∞
Пусть через Bn обозначена n-я частичная сумма ряда åbn . Тогда
n-я частичная сумма ряда (16.7)	n=1

Sn = åakbk = a1B1 + a2(B2 - B1) + a3(B3 - B2) + ...+ an(Bn - Bn−1) =

k=1

= (a1 - a2)B1 + (a2 - a3)B2 + ...+ (an−1 - an)Bn−1 + anBn =

n−1

= å(ak - ak+1)Bk + anBn.

k =1

Это равенство называется преобразованием Абеля суммы Если его переписать в виде

åak bk .

k=1

	16. Числовые ряды

n	n−1
åak (Bk - Bk−1) = anBn - a1B1 - å(ak +1 - ak )Bk ,
k=2	k=1

то видно, что преобразование Абеля является дискретным аналогом интегрирования по частям.

Теорема 16.12 (признак Дирихле). Пусть последовательность {an}

монотонна и lim an = 0 , а последовательность { n} ограничена, т.е. для

n→∞

∞

âñåõ n | Bn | £ B, где B – некоторое число. Тогда ряд åanbn

сходится.

n=1

¡ Согласно критерию Коши нам надо доказать, что "e > 0

$N = N(e):"n > N,"p =

n+ p

< e

1, 2,... ç

a b

ч . Возьмем произвольное

k k

k=n+1

e > 0 . Òàê êàê lima = 0

, òî $N : "n > N æ

| <

ö . Докажем, что это

n→∞

6B ø

N можно взять в качестве интересующего нас N = N (e).

Пусть n > N . Используя преобразование Абеля, имеем

n+ p

n+ p–1

åakbk

å (ak – ak+1 )Bk

+ an+pBn+p

k=n+1

ãäå

= bn+1 + bn+2 + ...bn+k = Bn+k - Bn ;

B n+k – B n

B n+k

B n

£ 2B,

k = n +1,n + 2,...,n + p,

B k

откуда

n+p

n+p–1

én+p–1

– a

2Bê

– a

ú.

å k

k+1

n+p

k+1

n+p

k=n+1

ëk=n+1

{ n}

Так как последовательность

монотонна, то все выражения

ak - ak +1 , k = n + 1,n + 2,...,n + p - 1,

имеют один и тот же знак и после-

днее неравенство можно переписать в виде

n+ p

n+ p−1

å akbk

2B ê

(ak - ak+1)

an+ p

k=n+1

322

323

6. Ðÿäû

= 2B éë an+1 - an+2 + an+2 - an+3 + ...+ an+ p−1 - an+ p + an+ p ùû =

= 2B é

- a

2B é

+ 2

< 2B

+ 2

6B ø

n+1

n+ p

n+1

n+ p

è 6B

= 2B ×

= e. x

∞

Пример. Показать, что ряд å sinαnx сходится при любых x и a > 0 .

n=1

Ð å ø å í è å

Применим признак Дирихле: последовательность {an} = íì

ýü

убыва-

ì n

în

åò è

lima

= 0 , а последовательность {

}

ограничена, так как

= í

sinkxý

n→∞

ïkå=1

ïðè

sin

¹ 0 , ò.å.

¹ pm, x ¹ 2pm ,

åsinkx

å2sin kx × sin

êcosç k

÷ x - cosç k

÷ xú

k=1

2sin

k=1

2sin

k=1

1 ö

êcos

- cos

+ cos

- cos

+ ...+ cosç n -

÷ x - cos

ç n +

÷ xú

2sin

1 é

1 ö

êcos

- cosç n +

÷ xú

cos

cosç n +

÷ x

2sin

2 ø

2sin

sin

Последнее число можно взять за B из формулировки теоремы 16.12; если

æå sin

= 0 , ò.å.

x = 2pm , òî sinkx =

0 Þ Bn = 0.

}

Теорема 16.13 (признак Абеля). Пусть последовательность

îã-

∞

{ n

раничена и монотонна и ряд åbn

сходится. Тогда сходится и ряд

∞

n=1

åanbn .

n=1

17.Функциональные ряды

¡Так как последовательность {an} ограничена и монотонна, то она

имеет конечный предел lim an = a . Тогда члены этой последовательнос-

n→∞

ти можно представить в виде an = a + αn , где последовательность

{an}= {an - a} бесконечно малая и по-прежнему монотонная. Так как

∞

ðÿä åbn сходится, то существует конечный предел его n частичных

n=1

ñóìì Bn , следовательно последовательность {Bn} ограничена. Тогда по

∞

теореме 16.12 сходится ряд åanbn , следовательно, по теореме 16.3 схо-

∞	n=1
дится и ряд åanbn , так как члены его можно представить в виде ли-
n=1	∞	∞
нейной комбинации членов сходящихся рядов åbn		è åanbn : anbn =
= (a + an)bn = abn + anbn . x	n=1	n=1
= (a + an)bn = abn + anbn . x

			∞
Пример. Показать, что ряд å sinαnx cos p сходится при любых x и a > 0 .
		n=1 n					n
			Ð å ø å í è å
						∞
Применим признак Абеля: ряд å sinαnx								сходится (см. предыдущий
						n=1	n
пример), а последовательность			ì		p ü		возрастает и ограничена:
пример), а последовательность			ícos			ý	возрастает и ограничена:
			î		n þ
	p	< p Þ cos		p		> cos p è cos p < 1.
	n +1	< p Þ cos		n +1		> cos p è cos p < 1.
	n +1	n		n +1			n	n

17.ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

17.1.Область сходимости функционального ряда

Определение 17.1. Функциональным рядом называется ряд

∞
åun(x),	(17.1)

n=1

где функции un(x) определены на некотором множестве X. При "x О X функциональный ряд (17.1) превращается в обычный числовой ря д, который может сходиться, а может и расходиться. Множество те хx, для

324

325

6. Ðÿäû

которых ряд (17.1) сходится, называется областью сходимости ф ункционального ряда. В области сходимости функционального р яда его сумма является функцией x, т.е. S = S(x) .

∞

Пример. Найти область сходимости ряда å

(3n -

1)(x +1)

Ð å ø å í è å

∞

Применим к ряду из модулей å

признак Даламбера:

(3n - 1) |

x +

1 |

n 1

lim

2n+1(3n - 1) | x +1 |n

lim

3n -1

x +1

n→∞ (3n + 2) | x +1 |n+1 2n

| x +1| n→∞ 3n + 2

Значит, исходный ряд абсолютно сходится при

< 1 Û |x + 1 | |> 2

éx + 1

> 2

éx > 1

Û ê

+ 1

< -2

Û ê

| x + 1 |

ëx

ëx < -3

и расходится (не только ряд из модулей, но и сам ряд) при

> 1 Û -3 < x < 1.

| x +1 |

∞

При x = 1 ряд превращается в å=

= å=

~ å= n

– расходит-

(3n - 1)2n

3n -1

n 1

∞

(-1)n – условно схо-

ся; при x = -3 ряд превращается в å

(3n - 1)(-2)

3n -1

n 1

дится (ряд из модулей, как только что было отмечено, ведет себя как гармонический ряд, т.е. расходится, а сам ряд сходится по призн аку Лейбница: он знакочередующийся, его члены по абсолютной величин е убывают и при n ® ¥ стремятся к 0).

Таким образом, область сходимости данного ряда есть (-¥,-3]И (1,+¥) , причем в точке x = -3 ряд сходится условно, а в остальных точках – абсолютно.

17.2. Равномерная сходимость функционального ряда

∞

Пусть Sn(x) – n-я частичная сумма, а S(x) – сумма ряда åun(x)

n=1

(17.1). В соответствии с определением сходимости 16.1 этот ряд сходится при x E , если ε > 0, x E N = N(ε,x): n > N

17. Функциональные ряды

Sn(x) − S(x) < ε,

∞

или, как отмечено в п. 2 разд. 16.1, å uk (x) < ε .

k=n+1

Отметим, что здесь N зависит не только от ε , но и от x. Далее изуча- ется вопрос: в каких случаях N можно выбрать не зависящим от x, т.е. единым для всех x E ?

Определение 17.2. Функциональный ряд (17.1) называется равномерно сходящимся на множестве E, если ε > 0 N = N (ε): n > N ,x E выполняется неравенство

∞

Sn(x) − S(x) < ε, èëè å uk (x)< ε.

k=n+1

∞

Пример. Исследовать ряд å xn на равномерную сходимость на интер-

âàëå (–1, 1).

n=0

Ð å ø å í è å

Этот ряд является геометрической прогрессией со знамена телемx и,

следовательно, сходится при

x О E = (-1,1) . Если бы сходимость ряда на

этом интервале была равномерной, то

"e > 0

$N = N(e):

"n > N è

∞

"x Î(-1,1)

å xk

< e или, согласно формуле суммы бесконечно убываю-

k=n

< e

. Но это противоречит тому, что

щей геометрической прогрессии,

1- x

при фиксированном n предел

lim

сходимость

= +¥ , à lim

- x

1- x

x→1

x→−1

нашего ряда на интервале (–1, 1) не является равномерной.

Теорема 17.1 (признак Вейерштрасса). Пусть для

x E è

n = 1,2,...

| un(x) | ≤ cn , ãäå cn – некоторые неотрицательные числа, при-

÷åì ðÿä

∞

åcn

(17.2)

n=1

∞

сходится. Тогда функциональный ряд åun(x) (17.1) сходится на мно-

жестве E равномерно.

n=1

¡ Из неравенства | un(x) | ≤ cn

и сходимости ряда (17.2) следует (см.

теорему сравнения 16.5) абсолютная сходимость ряда (17.1) для x E .

326

327

6. Ðÿäû

Переходя в неравенстве

å uk (x)

£ å

uk (x)

å ck к пределу при

m ® ¥ , имеем

k=n+1

∞

å uk (x)

£ å ck .

k=n+1

Нам надо доказать, что

"e > 0

$N = N (e): "n > N , "x Î E

∞

å uk (x)

< e . Возьмем произвольное e > 0 . Так как ряд (17.2) схо-

k=n+1

согласно определению сходимости 16.1 $N :"n > N

дится, то

∞

å ck < e . Тогда "n > N , "x ОE

å uk (x)

< e . x

k=n+1

				∞
Пример. Показать, что ряд åxn равномерно сходится на любом от-
[ 1	,1	- d	]	n=1
резке -	+ d	- d		, ãäå d Î(0,1) .
				Ð å ø å í è å
				∞
"x Î[-1+ d, 1- d] выполняется неравенство (\|xn\| £ (1 – d)n ), ðÿä å(1- d)n
				n=1

сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем (1 – d) О(0,1) и нужный нам факт сразу следует из теоремы 17.1.

17.3. Свойства равномерно сходящихся рядов

Для конечных сумм, если каждое слагаемое – непрерывная фу нкция (в точке или на некотором множестве), то сумма этих слаг аемых также непрерывная (в точке или на множестве) функция, инте грал от суммы (интегрируемых слагаемых) равен сумме интегралов, а производная суммы (дифференцируемых слагаемых) равна сумме пр оизводных. Перенесение этих свойств на ряды, т.е. на бесконечные с уммы, возможно только при определенных условиях.

		∞	x2
Пример. Исследовать на непрерывность сумму ряда å			x2		.
Пример. Исследовать на непрерывность сумму ряда å			2	n	.
		n=0 (1+ x		)
Ð å ø å í è å
Каждый член этого ряда непрерывен для всех x. При x ¹ 0 ряд сходит-
ся как геометрическая прогрессия со знаменателем	1	< 1	, и сумма его

	1+ x2
328

17. Функциональные ряды

		b		x2		+ x2. Ïðè x = 0
S(x) =		1	=		= 1		все члены ряда равны 0 и, следова-
S(x) =	1	- q	=	1	= 1		все члены ряда равны 0 и, следова-
	1		1-	1
			1-	1+ x2
				1+ x2
тельно, S(0) = 0				. Таким образом, сумма ряда
						ì1 + x2	ïðè x ¹ 0;
						ï
					S (x ) = í
						îï0	ïðè x= 0.

Но эта функция имеет разрыв в точке 0: limS(x) = 1 ¹ S(0).

x→0

Теорема 17.2 (о непрерывности суммы ряда). Пусть функции un(x)

непрерывны на некотором множестве E (таком, что для функций, за-

данных на E, определено понятие непрерывности lim un(x) = un(x0) ), è
∞						x→x0
ðÿä åun(x) (17.1) сходится на множестве E равномерно. Тогда сумма
n=1
этого ряда S(x) непрерывна на множестве E.
¡ Пусть x0 E . Надо доказать, что lim S(x) = S(x0) , ò.å. ÷òî "e > 0
$d = d(e) > 0: "x, \| x - x0 \| < d (		x→x0
$d = d(e) > 0: "x, \| x - x0 \| < d (		S(x) - S(x0)		< e ). Возьмем произвольное
e > 0 . Так как ряд (17.1) равномерно сходится на E, то							$N :
"n > N , "x О E будет выполняться неравенство
æ	Sn(x) - S(x)		<		e	ö	(17.3)
æ					e	ö
ç					3	÷
è					3	ø

(здесь, как обычно, Sn(x) – n-я частичная сумма ряда (17.1)). Зафиксируем произвольное n > N . Функция Sn(x) непрерывна в точке x0 (как конечная сумма непрерывных в этой точке слагаемых), п оэтому $d > 0: "x, | x - x0 | < d будет выполняться неравенство

Sn(x) - Sn(x0)

÷ .

(17.4)

Тогда "x, | x - x0 | < d имеем

S(x) - S(x

)

éS(x) - S

(x)ù + éS

(x) - S

)ù + éS

(x ) - S(x )ù

û ë n

û ë

£ Sn(x) - S(x) + Sn(x) - Sn(x0) + Sn(x0) - S(x0) .

329

6. Ðÿäû

Первое и третье слагаемые в последней сумме будут меньше , в 3

силу условия (17.3) (для третьего слагаемого – в точке x = x0 ), а второе

слагаемое в этой сумме будет меньше

, в силу условия (17.4), поэтому

"x, | x - x

|< d

S(x) - S(x

)

+ e +

= e

. x

3 3

	∞
Пример. Показать, что при α > 1 функция S(x) = åsinαnx непрерывна
на всей прямой.	n=1	n
на всей прямой.

Ð å ø å í è å

Утверждение следует из того, что члены этого ряда непреры вны для всех x, и ряд на всей прямой равномерно сходится по признаку Вейе р-

	sinnx		≤	1		∞	1
	sinnx		≤	1		∞	1
штрасса:						è å			ïðè α > 1 сходится.
штрасса:	n	α		n	α	è å	n	α	ïðè α > 1 сходится.
	n			n		n=1	n
						n=1

Теорема 17.3 (о почленном интегрировании ряда). Пусть функции

∞

un(x) непрерывны на отрезке [a, b], ряд åun(x) (17.1) сходится на от-

n=1

резке [a, b] равномерно, и его сумма равна S (x). Тогда ряд

		∞	b
		å	òun(x)dx	(17.5)
		n=1 a
		b	b	b
сходится, и его сумма равна òS(x)dx (интегралы òun(x)dx è òS(x)dx
		a	a	a
существуют в силу непрерывности un(x) и S (x), последнее следует из
теоремы 17.2).		∞
		∞
Если использовать запись åun(x) = S(x), то теорема означает, что
		n=1
∞	b	b	b ∞
å	òun(x)dx = òS(x)dx = ò åun(x)dx,
n=1 a		a	a n=1

т.е. действительно дает законность почленного интегриров ания ряда. ¡ Если Sn(x) – n-я частичная сумма ряда (17.1), то n-я частичная

сумма ряда (17.5)

17. Функциональные ряды

n	b	b n	b
å	òuk (x)dx = ò åuk (x)dx = òSn(x)dx.
k=1 a		a k=1	a
		b	b
Надо доказать, что nlim→∞		òSn(x)dx = òS(x)dx, ò.å. ÷òî
		a	a

"e > 0

$N = N(e):"n > N будут выполняться

(x)dx -

S(x)dx

ò ë n

< e .

éS

(x) - S(x)ùdx

Возьмем произвольное e > 0 . Так как ряд (17.1) равномерно схо-

дится на [a, b], то

	æ	b
	æ	b
"n > N	ç	éS		(x)
"n > N	ç	ò ë	n
	è	a

$N : "n > N ,

"x Î[a,b]

çæ

Sn(x) - S(x0 )

÷ö

, тогда

b - a ø

- S(x)ùdx

(x) - S(x)

dx <

(b - a) = e÷

. x

b - a

Теорема 17.4 (о почленном дифференцировании ряда). Пусть функции un(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке [a, b],

∞
пусть ряд åun(x) (17.1) сходится для "x О[a,b], сумма его равна
S (x), à ðÿä n=1
∞
åun¢ (x)	(17.6)

n=1

равномерно сходится на отрезке [a, b]. Тогда функция S (x) непрерыв-

но дифференцируема на отрезке [a, b] и сумма ряда (17.6) равна S¢(x) .

∞

При использовании записи åun(x) = S(x) теорема означает, что

n=1

∞	é ∞	ù¢
åun¢	(x) = S¢(x) = êåun	(x)ú	,
n=1	ën=1	û

т.е. действительно дает законность почленного дифференци рования ряда.

¡ Сумму ряда (17.6) обозначим f (x). По теореме 17.2 функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Нам надо доказать, что f (x) = S¢(x) .

330

331

6. Ðÿäû

Ряд (17.6) равномерно сходится на [a,b], значит, он равномерно схо-

дится на любом отрезке [a, x], где x О[a,b]. Тогда согласно теореме 17.3

∞

из равенства åun¢ (t) = f (t) следует равенство

	n=1
	∞	x	x
	å	òun¢ (t)dt = ò f (t)dt,
èëè	n=1 a		a
èëè
∞	∞	∞	x
å	ëéun(x) - un(a)ûù = åun(x) - åun(a) = S(x) - S(a) = ò f (t)dt.
n=1	n=1	n=1	a

Значит, S(x) = S(a) + ò f (t)dt . Отсюда на основании теоремы о про-

изводной определенного интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему пределу 10.6 имеем

æ x	ö¢
ç ò	÷	= 0	+ f (x) = f (x). x
$S¢(x) = 0 + ç	f (t)dt ÷
è a	ø x

17.4. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда

Определение 17.3. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

∞
åanxn = a0 + a1x + a2x2 + ...,	(17.7)

n=0

ãäå an – некоторые (в данной главе – действительные) коэффициенты.

Степенным рядом также называют функциональный ряд вида

∞

åan(x - x0)n , который сводится к ряду (17.7) заменой x - x0 = t .

n=0

Теорема 17.5 (Абеля). Если степенной ряд (17.7) сходится (не обязательно абсолютно) при некотором x = x0 , то он абсолютно сходится

при любом x, таком, что | x |<| x0 | .

¡ Ðÿä åanxn0 сходится, следовательно, по теореме 16.1 n= 0

lim anxn = 0 . Но любая последовательность, имеющая конечный пре-

n→∞ 0

дел, ограничена, т.е. $M > 0: anx0n £ M , n = 0, 1, 2,...

17. Функциональные ряды

∞

Теперь рассмотрим ряд åanxn , ãäå | x |<|

n=0

абсолютно сходится, т.е. что сходится ряд

∞

anxn

n=0

∞

Òàê êàê

an xn

anx0n

£ M

è ðÿä

åM

n=0

x0 | , и докажем, что он

(17.8)

x n сходится (как гео- x0

метрическая прогрессия со знаменателем x < 1), то в соответствии с

теоремой сравнения 16.5 ряд (17.8) сходится. x

Следствие 1. Если степенной ряд (17.7) расходится при некотором x = x0 , то он расходится и при любом x, таком, что | x |>| x0 | (так как если бы он сходился при одном таком x, то по теореме Абеля 17.5 он сходился бы при x = x0 , что противоречит условию).

Следствие 2. Существует число R, 0 £ R £ ¥ , такое, что ряд (17.7) абсолютно сходится при | x |< R и расходится при | x |> R (рис. 84).

–R				R	x
Ðèñ. 84
ì	∞		n		ü
ï			n	(17.7)	ï
¡ Рассмотрим множество нx : åanx				(17.7)	сходитсяэ . Если это
ï	n=	0			ï
î		0			þ

множество не является ограниченным сверху, то существуют сколь угодно большие x, при которых ряд (17.7) сходится, но тогда по теореме Абеля ряд (17.7) абсолютно сходится при всех x, т.е. R = ¥ . Если же это множество ограничено сверху, то оно имеет верхнюю грань. О бозна- чим ее R.

Ряд (17.7) расходится при "x : x > R , так как если бы он сходился при одном таком х, то по теореме Абеля он сходился бы на отрезке

é- , ù

ë x x û , что противоречит определению верхней грани множества.

332

333

6. Ðÿäû

Ряд (17.7) абсолютно сходится при x : x < R , так как согласно определению верхней грани множества $x0 Î( x ,R): в точке x0 ряд (17.7) сходится, значит, в соответствии с теоремой Абеля он абсол ютно сходится в точке x. x

Определение 17.4. Число R, определенное в следствии 2 называется

радиусом сходимости степенного ряда.

Теорема 17.6 (нахождение радиуса сходимости). Пусть дан степен-

∞
íîé ðÿä åanxn (17.7) с радиусом сходимости R. Тогда
n=0
R = lim		an	,	(17.9)


n→∞	a

		n+1
если этот предел (конечный или бесконечный) существует, и
R = lim		1	,	(17.10)
n→ ∞		an

если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

∞

¡ Применим к ряду из абсолютных величин å

n признак Да-

ламбера или признак Коши:

n=0

a n+1

n+1

lim

= lim

an+1

èëè

lim n an

x n = lim n an

x .

n→ ∞

a n

n→ ∞

При пределах (17.9) или (17.10), отличных от 0 и ∞ , это означает,

что ряд (17.7) абсолютно сходится при

lim

an+1

< 1,

< lim

èëè

lim n

x < 1,

x <

an+1

n→ ∞

lim

n→ ∞

и расходится при

lim

an+1

> 1,

> lim

èëè

lim n

x > 1,

x >

an+1

n→ ∞

lim

n→ ∞

а это и дают формулы (17.9) и (17.10) для радиуса сходимости.

334

17. Функциональные ряды

Åñëè

= ¥

èëè

= ∞, òî

an+1

n+1

lim

= 0 < 1

n→ ∞

an+1

lim n

n→ ∞

x n

n→ ∞

èëè

lim n

= 0 < 1Ю ряд абсолютно сходится для всех x, т.е.

n→ ∞

R = ¥.

n+1

an+1

Åñëè

lim

= 0 èëè

= 0, òî

lim

= ∞ > 1

n→ ∞

an+1

lim

n→ ∞

x n

n→ ∞

èëè

lim n

= ¥ > 1 Ю ряд расходится для всех x ¹ 0 , т.е. R = 0. x

n→ ∞

Примеры. Исследовать на сходимость степенные ряды.

Ð å ø å í è å

∞

2n xn .

1. å

n 1

Радиус сходимости R = lim

= lim

n +1

Ю ряд абсолютно

an+1

n2n+1

n→∞

сходится при

< 1

и расходится при

. Ïðè

x =

ряд превращает-

∞

ñÿ â å

, а этот ряд расходится (a =

< 1). Ïðè x = -

ряд превращается

n=1

∞(-1)n

âå n , а этот ряд условно сходится (ряд из модулей расходится, а самn=1

ряд сходится по признаку Лейбница).

∞x2n

2.nå=0 9n+1 .

Считать радиус сходимости по формуле (17.9) или (17.10) нельзя, так как a2n+1 = 0, n = 0,1,2,... , т.е. пределы (17.9) и (17.10) не существуют. Применим к ряду признак Коши (можно применить и признак Далам бера):

x2n

lim n

n+1

n→∞

lim 91+ n

n→∞

ряд абсолютно сходится при

< 1

, x2 < 9,

< 3 и расходится при

> 1 ,

½x½> 3 Þ R = 3.

335

6. Ðÿäû

Тот же результат можно получить, произведя замену x2 = t, найдя по

∞ tn

формулам (17.9) и (17.10) радиус сходимости R полученного ряда å

n+1

n=0 9

R = 9 и найдя область сходимости ½t½< 9, или x2 < 9.

При x = ±3 ряд, естественно, расходится, так как не выполняется не-

обходимое условие сходимости.

17.5. Равномерная сходимость степенного ряда

∞

Теорема 17.7. Степенной ряд åanxn

(17.7) равномерно сходится

n=0

на любом отрезке [-r,r ] внутри интервала сходимости (т.е. при r < R ).

[

]

¡ Пусть r

R . Äëÿ

"x Î -r,r

выполняется

неравенство

∞

(

anxn

rn ) . Ðÿä å

сходится, так как точка x = r принадле-

n=0

жит интервалу сходимости ряда (17.7). Тогда на основании признака Вейерштрасса (см. теорему 17.1) ряд (17.7) равномерно сходится на отрезке [-r,r ] . x

Следствие 1 (непрерывность суммы степенного ряда). Так как каждый член степенного ряда (17.7) является непрерывной функцие йxиряд (17.7) равномерно сходится на любом отрезке [-r,r ], где r < R, то сумма этого ряда S(x) по теореме 17.2 непрерывна на любом отрезке [-r,r ], r < R Ю S(x) непрерывна на интервале (-R,R) (так как каждую точку этого интервала можно заключить в некоторый отрезок [-r,r ], r < R ).

Следствие 2 (почленное интегрирование степенного ряда). Так как каждый член степенного ряда (17.7) является непрерывной функ цией x, и ряд (17.7) равномерно сходится на отрезке [0,x] (èëè [x,0] ), ãäå

x < R, то согласно теореме 17.3 этот ряд можно почленно проинтегри -

∞

ровать от 0 до x, т.е. из формулы åanxn = S(x) будет следовать форму-

∞

n=0

ëà åan òtndt = òS(t)dt , èëè

xn+1 = òS(t)dt ,

< R. Из этого рас-

n=0

n=0 n + 1

суждения также следует, что для степенного ряда

∞

nå=0

xn+1

(17.11)

n +

радиус сходимости R2 ³ R.

17. Функциональные ряды

Теорема 17.8 (почленное дифференцирование степенного ряда). Степенной ряд (17.7) можно почленно дифференцировать внутри ин-

				∞
тервала сходимости, т.е. из формулы åanxn = S(x) будет следовать
∞				n=0
формула åannxn−1 = S ¢(x),			x	< R. Значит, для степенного ряда
формула åannxn−1 = S ¢(x),			x	< R. Значит, для степенного ряда
n=1				∞
				åannxn−1	(17.12)
				n=1
радиус сходимости R3 ³ R.
¡ Достаточно доказать, что формула
			∞
			åannxn−1 = S¢(x)		(17.13)
[	]		n=1
[	]	, где r < R (так как любую точку интервала
справедлива для x О -r,r		, где r < R (так как любую точку интервала
(-R,R) можно заключить в некоторый такой отрезок).
Поскольку все члены степенного ряда непрерывно дифферен ци-

руемы и этот ряд сходится на отрезке [-r,r ], r < R , то согласно теореме 17.4 для доказательства справедливости равенства (17.13) при x О[-r,r], r < R , достаточно доказать равномерную сходимость ряда (17.12) на

любом отрезке [-r,r ], r < R .

∞

Пусть xО(r,R) . Так как xО(-R,R), то ряд åanxn сходится, сле-

n=0

довательно, по теореме 16.4 предел lim anxn = 0 . Но всякая последова-

n→∞

тельность, имеющая конечный предел, ограничена, т.е. $M > 0: anxn £ M , n =0, 1, 2,...

ДалееиспользуемпризнакВейерштрасса(см. теорему 17.1).Длявсех

−

nrn−1

nr n−1

∞

nr n−1

x Î[-r,r ] | annxn 1 | £

|annr n 1 | = |anxn |

£ M

; ðÿä

åM

n=1

сходится по признаку Даламбера, так как lim

M(n +1)rnxn

< 1 ïî

n→∞

xn+1Mnrn−1

]

[

условию. Значит, ряд (17.12) равномерно сходится на отрезке x О -r,r

ãäå r < R . x

Следствие. По теореме 17.8 радиус сходимости степенного ряда (17.12) R3 ³ R. Но если почленно проинтегрировать степенной ряд (17.12) от 0 до x, то получим снова ряд (17.1) без первого члена с радиусом сходимости R. Cогласно следствию 2 теоремы 17.7, при почленном

336

337

6. Ðÿäû

интегрировании радиус сходимости уменьшиться не может, з начит,

R ³ R3 Þ R3 = R.

Далее, согласно следствию 2 теоремы 17.7 радиус сходимости ря да (17.11) R2 ³ R. Но если почленно продифференцировать степенной ряд (17.11), то получим снова ряд (17.1) с радиусом сходимости R. Согласно теореме 17.8 при почленном дифференцировании радиус сходим ости уменьшиться не может, значит, R ³ R2 Þ R2 = R.

Учитываявозможностьповторногопочленногодифференцир ования и интегрирования степенного ряда, приходим к следующему выводу.

Степенной ряд с радиусом сходимости R можно почленно дифференцировать и интегрировать от 0 до x сколько угодно раз внутри интервала сходимости. При этом радиусы сходимости всех полу чаемых степенных рядов будут равны радиусу сходимости исходног о ряда.

Примеры. Найти сумму степенного ряда при помощи почленного интегрирования и дифференцирования.

∞

Ð å ø å í è å

1. ånxn−1 = S(x).

n=1

По формуле (17.9), в которой an (коэффициент при xn ) равен n + 1,

имеем R = lim

n +1

= 1; ïðè

< 1 проинтегрируем ряд почленно:

n→∞ n + 2

∞

òS(t)dt = ånòtn−1dt = ån

= å xn =

1- x

n=1 0

n=1

(в последнем переходе использовалась формула суммы беско нечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом x и знаменателем, тоже равным x).

Теперь, дифференцируя обе части полученного равенства по x, имеем

éx

ù¢

1- x

+ x

êòS(t)dtú = S(x) = ç

ê0

è1

- x ø

(1- x)

û x

ò.å. S(x) =

, x Î (-1,1).

(1- x)

∞

(-1)n

2. nå=2

xn = S(x).

(17.14)

n(n - 1)

Радиус сходимости R = lim

(n + 1)n

= 1; ïðè

< 1 дифференцируем ра-

n→∞ n(n -1)

венство (17.14) два раза почленно;

338

17. Функциональные ряды

∞

S¢(x) = å

(-1)n n

xn−1 =

(-1)

xn−1

;

(17.15)

n=2 n(n -1)

n=2 n -1

∞

(-1)n(n -1)

∞

S¢¢(x) = å

xn−2

= å

(-1)n xn−2 =

(17.16)

+ x

n=2

(n -1)

n=2

(в последнем переходе использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем, равным –x).

Теперь два раза интегрируем обе части полученного равенс тва от 0 до x ( x < 1):

òx S¢¢(t)dt = S¢(t)

= S¢(x) = òx

= ln(1+t )

0x = ln(1+x ) (так как из форму-

1+ t

лы (17.15) видно, что S¢(0) = 0 );

òx S¢(t)dt = S(t)

0x = S(x) = òx ln(1 + t)dt = t ln(1+t )

0x - òx

dt =

t +

1 ö

= x ln(1

+ x) -

ò0

ç1

÷dt = x ln(1+ x)- x + ln(1

+ t)

= x ln(1+ x) - x + ln(1

+ x)

+ t ø

(из формулы (17.14) видно, что S(0) = 0 ), т.е. S(x) = xln(1+ x) - x + ln(1+ x), x О(-1,1) .

∞
Пусть теперь дан ряд åan(x - x0)n . Как уже отмечалось, после за-
n=0	∞
ìåíû x - x0 = t он превращается в обычный степенной ряд åantn, äëÿ
	n=0

которого справедливы все полученные выше результаты. Зна чит, ряд

∞
åan(x - x0)n сходится абсолютно при \| t \|=\| x − x0 \| < R (где R – радиус
n=0	∞
сходимостиряда åantn),ò.å.ïðè -R < x - x 0< R ,èëè x0 - R < x < x0 + R,
	n=0

и расходится при t = | x − x0 | > R, ò.å. ïðè x < x0 - R è x > x0 + R . Этот ряд равномерно сходится при t = | x − x0 | £ r, где r – любое число, мень-

шее, чем R, т.е. аналогично предыдущему при x О йx	- r,x	+ rù , è åãî
ë 0	0	û

можно почленно дифференцировать и интегрировать от x0 äî x çè ïðè

339

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2717 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.10.20233.65 Mб5А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс.pdf
#
10.10.202351.34 Mб2Английский язык для университетов и институтов связи кожевникова.djvu
#
10.10.20236.39 Mб0БСМП.pdf
#
10.10.20231.85 Mб0ВычТех.pdf
#
10.10.20234.76 Mб2Детлаф Яворский 1973.djvu
#
10.10.202333.69 Mб0Детлаф Яворский 2002.djvu