А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

10. Определенный интеграл

( j – параметр). Для нахождения длины дуги можно применить формулу (10.14):

10.8. Вычисление объемов тел

Хотя для вычисления объемов более удобны двойные и тройны е интегралы (которые будут рассмотрены позже), объемы в прин ципе можно вычислять и при помощи обычного определенного инте грала.

Вычисление объемов по площадям параллельных (поперечных) сечений

Пусть имеем некоторое тело Т, x О[a,b] и пусть для каждого x О[a,b] нам известна S = S(x) – площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси 0х в точке с абсциссой х (рис. 63). Такие сечения

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

нованием цилиндра, у которого x [xi ,xi+1], будет сечение, получен-

íîå ïðè x = ξi ).

Под объемом тела V будем понимать предел объемов ступенчатых цилиндрических тел при λ = max xi → 0, если этот предел существует и

i

независитотвыбораточекxi èξi .Тогдасправедливаследующаятеорема. Теорема 10.15. Если функция S (x) непрерывна на отрезке [a,b], то

Последняя сумма есть интегральная сумма для интеграла òS(x)dx, которая в силу непрерывности подынтегральной функции вaп ределе

b

дает этот интеграл: V = òS(x)dx. x

a

Пример. Найти объем тела, ограниченного эллипсоидом ax22 + by22 + zc22 = 1 (ðèñ. 65).

186

10. Определенный интеграл

Ðèñ. 65

Ðå ø å í è å

Âсечении плоскостью x = const получим эллипс:

Площадь, ограниченная этим эллипсом (см. пример в разд. 10.6),

Объем тела вращения

Найдем объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y = f (x) , осью 0x и прямыми x = a è x = b ( a ≤ b ) (ðèñ. 66).

Ðèñ. 66

187

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

Исходя из формулы (10.16) имеем

Èòàê,

bb

aa

11.НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

11.1.Определение несобственного интеграла

Нахождение определенного интеграла как предела интегра льных сумм теряет смысл в случаях бесконечных пределов интегри рования (так как тогда интегральная сумма содержит бесконечное ч исло слагаемых) или неограниченной подынтегральной функции (так ка к интегрируемая функция обязательно ограничена). Для таких случ аев дается определение несобственного интеграла. Вначале дадим его в случае, когда так называемая особенность (это бесконечный предел интегрирования или точка бесконечного разрыва подынтегральной функции) – одна и находится на правом краю промежутка интегрировани я.

Определение 11.1. Пусть функция y = f (x) определена на полуин-

тервале [a,b) и интегрируема на любом отрезке [a,c], где a < c < b ≤ ∞

c

(ò.å. ò f (x)dx существует). По определению

a

bc

если этот предел существует и конечен. В этом случае несоб ственный интеграл называется сходящимся. В противном случае (предел не существует или бесконечен) несобственный интеграл называе тсярасходящимся.

неограниченной при x → b − 0 функции.

11. Несобственные интегралы

bb

Если интеграл имеет несколько особенностей, то по определ ению он представляется в виде суммы интегралов с одной особенн остью на краю в каждом и называется сходящимся, если сходится ка ждый из этих интегралов. В этом случае значение всего интеграла, т.е. суммы слагаемых, не зависит от расположения точек деления: пу сть, на-

(a¢ > a, b¢ < b).

11.2.Геометрический смысл, свойства

èвычисление несобственных интегралов

Всюду для определенности будет предполагаться, что интег рал имеет только одну особенность в точке b.

Геометрический смысл

Пусть f (x) неотрицательна и непрерывна на [a,b)Ю

что по определению будем считать площадью изображенной на рис. 67 и 68 бесконечной области.

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f (x) непрерывна на полуинтервале [a,b) и F (x) – ее первообразная на этом полуинтервале, тогда

Таким образом,

b b

ò f (x)dx = F (x) ,

aa

Этот предел существует и конечен при a -1 > 0 и бесконечен при a -1 < 0. При a = 1

Этот предел существует и конечен при a -1 < 0 и бесконечен при a -1 > 0. 190

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

Интегрирование по частям

Если u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на [a,b) и сходятся несобственные интегралы

где по определению u(b)v(b) = lim u(c)v(c).

c→b c<b

Замена переменной

Пусть f (x) непрерывна на [a,b); x = j(t), где j(t) непрерывно диф-

ференцируема на [α,β); j(a) = a, lim j(t) = b; ïðè t Î[a,b) j(t)Î[a,b);

t→β

существует обратная функция t = ϕ−1(x), непрерывно дифференцируемая при x О[a,b). Тогда

(òàê êàê ïðè c → b ϕ−1(c) → β è ϕ−1(c) < β ). При этом интегралы в левой и правой частях этой формулы (если они являются несобс твенными) сходятся или расходятся одновременно.

11.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Рассмотрим два несобственных интеграла, каждый из которы х име-

bb

ет одну особенность в точке b: 1) ò f (x)dx è 2) ò g(x)dx .

aa

11. Несобственные интегралы

Теорема 11.1 (сравнения). Пусть для "x О[a,b) 0 ≤ f (x) ≤ g(x). Тогда если интеграл 2 сходится, то сходится и интеграл 1, а если и нтеграл 1 расходится, то расходится и интеграл 2.

b

¡ Пусть интеграл 2 сходится и ò g(x)dx =G. Рассмотрим функцию

c c b

j(c) = ò f (x)dx £ ò g(x)dx £ ò g(x)dx = G.

a a a

Но (аналогично теореме 2.10) всякая неубывающая, ограниченна я сверху функция имеет конечный предел, следовательно, существует

Если же интеграл 1 расходится, то расходится и интеграл 2, та к как если бы этот интеграл сходился, то по уже доказанному утве рждению сходился бы и интеграл 1, что противоречит условию теоремы .x

Замечание. На самом деле для справедливости теоремы достаточно вы-

полнения неравенства 0 ≤ f (x) ≤ g(x) только для x, достаточно близких к

b a0 b

b: åñëè 0 ≤ f (x) ≤ g(x) äëÿ x > a0, òî ò= ò+ ò. В правой части этой форму-

a a a0

лы первый интеграл является некоторым числом, а ко втором у применима теорема 11.1.

Возможность применения теоремы сравнения зависит от спр аведливости неравенства 0 £ f (x) £ g(x), которое во многих случаях не является существенным для результата. Поэтому для исследов ания несобственных интегралов на сходимость часто более удобной ок азывается следующая теорема.

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

Теорема 11.2 (сравнения в предельной форме). Пусть для x [a,b)

f (x) ³ 0, g(x) > 0 и существует lim f (x) = K , где K ¹ 0, K ¹ ¥. Тогда

x→b g(x) x<b

интегралы 1 и 2 сходятся или расходятся одновременно (что обознача-

bb

åòñÿ êàê ò f (x)dx ~ ò g(x)dx ). При K = 0 из сходимости интеграла 2 сле-

aa

дует сходимость интеграла 1, а при K = ¥ из расходимости интеграла 2

b

è òàê êàê ò(K + ε)g(x)dx тоже сходится, то по замечанию к теореме 11.1

сходитсяaи интеграл 1. Эта часть доказательства справедли ва и при K = 0.

Пусть теперь сходится интеграл 1. Так как lim g(x) = 1 , òî ïî óæå x→b f (x) K

x<b

доказанной первой части теоремы интеграл 2 тоже сходится.

1 следует сходимость интеграла 2, а значит, из расходимости интеграла 2 следует расходимость интеграла 1 (доказательство методо м от противного: пусть интеграл 1 сходится, тогда, как только что было о тмечено, сходится интеграл 2, а это не так). x

В примерах в качестве одного из интегралов 1 и 2 берется исс ледуемый на сходимость интеграл, а в качестве другого часто бер ется один из

11. Несобственные интегралы

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

( a = 1 ).

11.4. Несобственные интегралы от функций произвольного знака

b

Определение 11.2. Рассмотрим несобственный интеграл ò f (x)dx ñ

a

одной особенностью в точке b. Этот интеграл называется абсолютно

ся, т.е. если несобственный интеграл абсолютно сходится, то он сходится в обычном смысле.

III.Интегральное исчисление функций одной переменной

¡Представим функцию f (x) в виде f (x) = f+ (x) - f− (x), ãäå

Отсюда из свойства линейности (см. разд. 11.2) следует сходимо сть ин-

Приведем теперь два признака сходимости интегралов вида

+∞

ò f (x)g(x)dx.

a

Теорема 11.4 (признак Дирихле). Пусть при x ³ a функция f (x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную F (x), а функция g (x)

Здесь lim g(c)F (c) = 0 – предел произведения бесконечно малой при

c→+∞

c ® +¥ функции на функцию, ограниченную при c ® +¥ .

11. Несобственные интегралы

т.е.сходимостьинтеграла ò F (x)g¢(x)dx. Дляэтогодокажемболеесильное

Таким образом, при c ³ a функция j(c) = òac | F (x) || g¢(x) | dx îãðà-

ничена сверху. Но, как и для любого интеграла от неотрицате льной функции, j(c) не убывает (см. доказательство теоремы 11.1), поэто-

a

цируема, ограничена и монотонна (т.е. не возрастает или не у бывает).

+∞

Тогда ò f (x)g(x)dx сходится.

a

III.Интегральное исчисление функций одной переменной

¡Покажем, что эта теорема вытекает из предыдущей. Интегралы

aa

но, и одна из функций g (x) или –g (x) не возрастает. Пусть для определенности не возрастаетg (x). Тогда в силу ограниченности она имеет ко-

рое число. Но F (x) ограничена и при x О[a,c] , так как она непрерывна на этом отрезке, следовательно, F(x) ограничена при x ³ a.

Теперь по теореме 11.4, примененной к функциям f (x) и g (x)–b,

+∞

интеграл ò f (x)[ g (x) – b]dx сходится, а значит, сходится и интеграл

a

+∞ +∞

ò f (x)g(x)dx = ò f (x)[g(x) - b + b] dx =

aa

сходится по признаку Дирихле – см. предыдущий пример; g(x) = arctg x не-