А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

Интеграл Эйлера–Пуассона

Теперь можно доказать приведенную в разд. 13.4 формулу для вы - числения интеграла Эйлера–Пуассона:

Сначала преобразуем исходный интеграл следующим образо м:

Произведение интегралов в круглых скобках равно

a

В последнем интеграле внутренняя часть òe− y2dy не зависит от х ,

0

следовательно, ее можно вынести за знак внешнего интеграла. Тогда òò e−(x2+ y2)dxdy = aòe− y2dy × aòe− x2dx , что мы и утверждали.

Таким образом,

19. Кратные интегралы

Учитывая положительность подынтегральной функции и обо зна- чая изображенные на рис. 113 четверти кругов радиусов а и a 2 через (D1) è (D2) соответственно, имеем

Вычислим два крайних интеграла этого неравенства, перейд я к полярным координатам: левый интеграл

правый интеграл вычисляется так же и дает такой же ответ с заменой а на a 2 :

òò e−(x2+ y2)dxdy = p4 (1-e−2a2 ).

(D2)

Для нахождения предела среднего интеграла неравенства (19.15) применим теорему 2.12:

19.7. Замена переменных в тройном интеграле

Рассмотрим òòò f (x,y,z)dxdydz , где область (T) ограничена гладкой

(T )

или кусочно-гладкой поверхностью, а функция u = f (x,y,z) непрерывна в этой области. Пусть x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w) , где эти функции осуществляют взаимно однозначное и в обе стор оны непрерывно дифференцируемое соответствие между точками о бластиT() пространства xyz и точками некоторой области (T ¢) пространства uvw.

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

При этом границе одной из этих областей соответствует гра ница другой, и наоборот. Аналогично результатам разд. 19.5, получим, чт о

òòò f (x,y,z)dxdydz =

(T )

(доказательство аналогично доказательству, приведенном у в разд. 19.5, только вместо площади параллелограмма нам придется счит ать объем параллелепипеда, который равен модулю смешанного произв едения составляющих параллелепипед векторов, что и приведет к опре делителю третьего порядка и выражению для объема параллелепипеда

V = I(u,v,w)Du Dv Dw ).

Рассмотрим два частных случая формул (19.16),(19.17).

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты представляют собой соединени е полярных координат на плоскости 0xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 114).

На рис. 114 точка M имеет координаты (r,j,z) , где r и ϕ – полярные координаты точки Р – проекции M на плоскость 0xy, z – обычная аппликата точки M. Формулы перехода к цилиндрическим координа-

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

Тройной интеграл в сферических координатах

В сферических координатах положение точки M в пространстве определяется тремя числами, ρ, ϕ, θ (рис. 116): r – это расстояние от точки М до начала координат (r ³ 0 ); j – это тот же угол, что в цилиндрических координатах, т.е. угол от положительного направ ления оси 0x до вектора OP ( ϕ (−π,π]); q – это угол между положительным направлением оси 0z и вектором OM ( θ [0,π]). Угол j показывает, в какую сторону вектор OM отклоняется от оси 0z, а угол q показывает, как велико такое отклонение.

Формулы перехода к сферическим координатам имеют вид:

x = OP cosj = rsin qcosj; y = OPsinj = rsinqsinj; z = rcosq.

z

M (r,j, q)

q q

19. Кратные интегралы

По формуле (19.17) определяем якобиан этих функций:

Раскладывая этот определитель по элементам второй строк и, находим:

= rsin qsinj(-rsin2 qsin j - rcos2 qsin j) + rsinqcosj(-rsin2 qcosj -

-rcos2 qcosj) = -r2 sin qsin2 j ×1- r2 sinqcos2 j ×1 = -r2 sin q ×1.

Значит,

К сферическим координатам стоит переходить, когда уравне ние границы области или подынтегральная функция содержит вы ражение x2 + y2 + z2 , которое в этих координатах преобразуется следующим образом:

x2 + y2 + z2 = r2 sin2 qcos2 j + r2 sin2 qsin2 j + r2 cos2 q =

= ρ2 sin2 θ + ρ2 cos2 θ = ρ2.

Пример. Найти объем тела, ограниченного

конусом z2 = x2 + y2 (z ³ 0) и сферой x2 + y2 + z2 = 1 z (z ³ 0) (ðèñ. 117).

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

20. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

20.1. Криволинейный интеграл первого рода

Определение 20.1. Пусть в пространстве задана кривая (AB) и пусть на ней задана некоторая функция f (M ) = f (x,y,z), где M (x,y,z) (AB ). Разобьем кривую (AB ) на части точками Ai (xi ,yi ,zi ). На каждой части

ствует предел интегральных сумм при λ → 0, который не зависит от разбиения(AB )начасти(AiAi+1)иотвыбораточек Mi (Ai Ai+1),тоэтотпредел называется криволинейным интегралом первого рода от функции f (M ) =

еслиэтотпределсуществуетинезависитотвыбораточекAi èMi (рис.118). Определения криволинейного и обычного интегралов анало гичны, поэтому совпадают и одинаково доказываются их свойства. П риведем

некоторые из этих свойств:

Ai

Ai = 1

Mi

Ðèñ. 118

20. Криволинейные интегралы

тегралов (это свойство следует из определения 20.1).

Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Пусть кривая (AB) задана параметрическими уравнениями x = x (t), y = y (t), z = z (t), t [α,β], α < β, ãäå x = x(t), y = y(t), z = z(t) непрерывно

(AB)

ществует. Не вдаваясь в это доказательство, получим формулу для вычисления интеграла. Пусть точки Ai è Ai+1 соответствуют значениям параметра ti è ti+1, тогда запишем si по аналогии со случаем двух переменных х и y (см. формулу (10.14)):

si = tiò+1 [x′(t)]2 + [y′(t)]2 + [z′(t)]2dt.

ti

Применяякпоследнемуинтегралутеорему10.1осреднем,полу чаем

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

Так как интеграл ò f (M )ds существует, то для его вычисления

(AB)

можем интегральные суммы выбрать не произвольным, а наибо лее удобным для нас способом. А именно пусть в последней сумме точкаMi

соответствует значению параметра ~ , тогда эта сумма является интег- ti

ральной суммой для определенного интеграла и в пределе да ет сам этот интеграл:

b

ò f ( x,y,z) ds= ò f ( x(t),y(t),z(t)) [ x¢(t)]2 +[ y¢(t)] 2 +[ z¢(t)]2 dt. (20.2)

( AB) a

(в этой формуле интеграл справа существует в силу непреры вности подынтегральной функции).

20.2. Криволинейный интеграл второго рода

Определение 20.2. Пусть в пространстве задана кривая (AB ) и пусть на ней задана некоторая функция P (M ) = P (x,y,z), где M (x,y,z) (AB ). Разобьем кривую (AB ) на части точками Ai (xi ,yi ,zi ). На каждой части

= xi+1 – xi , ò.å. xi – это проекция дуги (Ai Ai+1) на ось 0x (длина этой про-

Если существует предел наших интегральных сумм при λ → 0 , который

не зависит от разбиения (AB) на части (Ai Ai+1) и от выбора точек

Mi (Ai Ai+1), то этот предел называется криволинейным интегралом вто-

рого рода от функции P (M ) =P (x,y,z) по кривой (AB ) по переменной х и обозначается ò P(x,y,z)dx .

(AB)

Таким образом,

если этот предел существует и не зависит от выбора точек Ai è Mi (ñì. ðèñ. 118).

20. Криволинейные интегралы

Отметим, что различие криволинейных интегралов первого и второго рода состоит в том, что в интегральных суммах для первого из этих интегралов значение функции умножается на длину части кр ивой, а в интегральных суммах для второго интеграла значение функции умножается на проекцию этой части на ось координат.

Аналогично определяются

Как и в предыдущем разделе свойства криволинейных интегр алов второго рода аналогичны свойствам обычных интегралов. А и менно:

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

С учетом этого свойство 3 будет верным независимо от взаим ного расположения точек A, B и C .

Естественно, все перечисленные свойства справедливы и дл я интегралов по переменным y и z, и для суммы таких интегралов.

при отсутствии указания на направление обхода контура по нимают ин-

В случае замкнутого контура иногда также пишут

òPdx+Qdy+ Rdz.

( L )

Вычисление криволинейного интеграла второго рода

Теорема 20.1. Пусть кривая (AB) задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t) , t О[a,b] и при изменении парамет-

20. Криволинейные интегралы

ðà t îò α до b кривая описывается в направлении от A к B; при t = α получаем точку A, при t = b – точку B. Пусть также функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вдоль кривой (AB), а функции х(t), у(t), z(t) – непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b] . Тогда криволинейный интеграл существует и

ò P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz =

(AB)

b

= òP( x(t),y(t),z(t)) dx(t)+Q( x(t),y(t),z(t)) dy(t)+ R( x(t),y(t),z(t)) dz(t)=

(т.е. для вычисления надо и в подынтегральных функциях, и под знаками дифференциалов заменить x, y, z на их выражения через параметр t).

¡ Докажем одну часть этого равенства (остальные части дока зываются аналогично):

В соответствии с определением 20.2 левая часть этого равенст ва

Докажем, что этот предел равен правой части равенства, т.е. при достаточно малых λ интегральные суммы σ будут отличаться от интегралавправойчасти формулы (20.5) меньше,чемналюбоенапередзаданноечисло.

Зададим произвольное число ε > 0 . Пусть в интегральной сумме σ

i=0

ãäå xi = xi+1 − xi = x(ti+1) − x(ti ).

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

Преобразуем интеграл в правой части формулы (20.5) следующим образом:

и рассмотрим разность двух полученных выражений:

i=0 ti

Отсюда из свойств абсолютных величин и свойств интеграло в получаем

тогдапотеоремеКантора3.9онаравномернонепрерывнанаэтомотрезке. Исходя из этого можно выбрать l столь малым, что на каждом отрезке разбиения [ti , ti+1] модуль разности значений функции в двух про-

20. Криволинейные интегралы

извольных точках не будет превосходить любое наперед зад анное по- e

ложительное число, за которое в нашем случае возьмем K b - a . Тогда по формуле (20.6) получим

Так как при движении вдоль кривой (АВ) параметр t либо растет, либо уменьшается, то все слагаемые последней суммы имеют один и тот же знак:

1

ò xdx + ydy + (x + y -1)dz = ò(t +1)dt + (2t +1)d(2t +1) +(t +1 +2t +1 -1)d(3t +1) =

20. Криволинейные интегралы

целиком принадлежащей множеству; открытое связное множе ство на-

зывается областью.

Далее будем рассматривать криволинейный интеграл

ò Pdx + Qdy + Rdz, в котором функции P(x,y,z), Q(x, y,z), R(x,y,z)

(AB)

непрерывны в некоторой области (Т) трехмерного пространства. Теорема 20.2. Для того чтобы ò Pdx +Qdy + Rdz при любых кри-

(AB)

вых (АВ) (Т) не зависел от формы пути интегрирования (АВ), а зависел только от положения начальной и конечной точек А и В, необходи-