А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

x - x0 = t cosa, y - y0 = t cosb, z - z0 = t cos g,

откуда x = x0 + t cosα, y = y0 + t cosβ, z = z0 + t cosγ, т.е. x, y, и z есть некоторые функции t.

Теперь u = u(x,y,z) = u(x(t),y(t),z(t)) = j(t) – некоторая функция от t, ϕ(0) = u(x0,y0,z0) è

По правилу дифференцирования сложной функции (см. (12.9))

¶¶ul (M0 ) = ¶¶ux (M0 )cosa + ¶¶uy (M0)cosb + ¶¶uz (M0 )cos g.

Таким образом, нами доказана следующая теорема.

Теорема 12.14. Если на множестве T функция u(M ) = u(x,y,z) имеет непрерывные частные производные, то в любой точке M0 T эта функция имеет производную по любому направлению l :

где a, b, g – углы l с осями координат 0x, 0y, 0z соответственно.

Как известно, производная функции – это скорость изменени я этой функции. Производная функции по направлениюl – это скорость изменения функции по этому направлению. По какому направл ению функция изменяется быстрее всего, т.е. по какому направлен ию производная будет наибольшей?

Для ответа на этот вопрос сначала заметим, что вектор e = {cos a, cosb, cos g} – это единичный вектор (т.е. вектор длины 1), направленный вдоль оси l (координаты такого вектора как раз и равны косинусам его углов с положительными направлениями осей координат). Введем еще один вектор.

242

12. Функции нескольких переменных

Определение 12.32. Градиентом функции u(M ) = u(x,y,z) в точке

этих двух векторов; таê как скалярное произведение ab = a b cos j, где j – угол между a и b, то

где j – угол между grad u и осью l. Последнее выражение будет наибольшим при cosj = 1, т.е. j = 0.

Таким образом, производная функции в точке M0 будет наибольшей по направлению вектора grad u в данной точке и эта наибольшая

производная по направлению равна grad u(M0) .

Замечание. Из формулы (12.40) следует, что значение производной по направлению не зависит от выбора системы координат xyz. Тогда вектор

grad u(M0) тоже не зависит от выбора системы координат: он направлен по тому направлению, производная по которому наибольшая, и длина его равна этой наибольшей производной по направлению.

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

13.ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

13.1.Собственные интегралы, зависящие от параметра

Определение 13.1. Рассмотрим функцию, которая задается в виде интеграла

a

где f (x,a) – некоторая функция двух переменных. Такой интеграл называется интегралом, зависящим от параметра, а переменная α называется параметром.

При различных значениях α правая часть формулы (13.1) дает различные значения интеграла (если он вообще существует), поэ тому этот интеграл действительно является функцией параметра a .

Свойства интегралов, зависящих от параметра

Обозначим через P замкнутый прямоугольник на плоскости xα :

{-¥ < a £ x £ b < +¥, - ¥ < b £ a £ g < +¥}.

Теорема 13.1. Пусть функция f (x,a) непрерывна на прямоугольнике P. Тогда функция I(a) непрерывна на отрезке [b,g] .

Возьмем произвольное e > 0 . Так как функция f (x,a) непрерывна на замкнутом прямоугольнике P, то согласно теореме 12.4 она равномерно непрерывна на этом прямоугольнике. Значит, $d > 0:

(r(M(x,a),M0(x,a0)) = (x - x)2 + (a - a0)2 = a - a0 < d Þ

13. Интегралы, зависящие от параметра

Теорема 13.2. Пусть функция f (x,a) непрерывна на прямоугольнике P. Тогда

¡ Равенство следует из того, что оба повторных интеграла в левой и правой его частях равны двойному интегралу òò f (x,a)dxda

Теорема 13.3. Пусть функции f (x,a) и ¶f (x,a) непрерывны на

¶a

прямоугольнике P. Тогда при a О [b,g] существует

¡ Согласно определению производной, применяя теорему Лагранжа 5.4 и обозначая промежуточную точку между α и a + Da через c = a + qDa, 0 < q <1, имеем

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

Дифференцируем обе части по a, используя теорему 13.3:

13.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Теоремы 13.1–13.3 применять к несобственным интегралам возможно только при определенных условиях. Для формулировки этих условий нужно ввести понятие равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра.

13. Интегралы, зависящие от параметра

b

Рассмотримнесобственныйинтеграл I(a) = ò f (x,a)dx соднойосо-

a

бенностью в точке b. В этом и следующем разделах через P обозначим прямоугольник {-¥ < a £ x £ b £ +¥, - ¥ < b £ a £ g < +¥}.

Как известно, I(a) сходится при a О[b,g], если существует конеч-

не зависит от a , т.е. годится сразу для всех a О[b,g].

Определять равномерную сходимость несобственных интегр а- лов, зависящих от параметра, по приведенному определению сложно. Обычно для этого используют следующий достаточный при знак равномерной сходимости.

Теорема 13.4 (признак Вейерштрасса). Пусть существует функция g(x) ³ 0, x О[a,b), такая, что для каждого x О[a,b) и каждого a О[b,g]

b

выполняется неравенство f (x,a) £ g(x) , причем интеграл ò g(x)dx ñõî-

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

(при доказательстве были использованы замечание к теорем е 11.3 и свойство 5. из разд. 11.2). x

13.3. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра

Теорема 13.5. Пусть функция f (x,a) непрерывна на прямоуголь-

b

нике P, и интеграл I(a) = ò f (x,a)dx равномерно сходится на отрезке

a

[b,g] . Тогда функция I(a) непрерывна на отрезке [b,g] .

¡ Пусть a0 О[b,g]. Надо доказать, что lim I(a) = I(a0) , ò.å. ÷òî

α→α0

"e > 0 $d = d(e) > 0:"a, a - a0 < d ( I(a) - I(a0) < e). Возьмем произ-

вольное e > 0. Так как интеграл I(a) равномерно сходится на отрезке

13. Интегралы, зависящие от параметра

Теорема 13.6. Пусть функция f (x,a) непрерывна на прямоуголь-

существует, так как по теореме 13.5 функция I(a) непрерывна на [b,g] .

Нам надо доказать, что существует и равен интегралу слева следующий интеграл: