Добавил:

catsneverdie Я уверяю Вас, мне можно доверить огнестрельное оружие Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.10.2023

Размер:

3.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 2727

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

e pt

p+1

–t

–it

= –e

1+i

1– i

–t

1–i

p= i

1+i

p= –i

–t

1–i 1+i ö

= –e

(cost+i sint)+

(cost –i sint)= –e

+ç

÷cost+

2 ø

æ	1–i		1+i ö		–t
+i ç		–		÷sint= –e		+cost+sin t.
+i ç		–		÷sint= –e		+cost+sin t.
è	2		2 ø

23.4. Решение дифференциальных уравнений и систем операционным методом

Рассмотрим задачу Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами; аргумент искомой фун кции обозначим t, а саму эту функцию x(t):

ìa x(n) + a x(n−1)			+ ...	+ a	x¢ + a x	= f (t),	(23.20)
ï	0	1		n−1	n
íx(0)		= x , x¢(0)	= x¢	,..., x(n−1)(0)= x(n−1) .			(23.21)
ï		0	0			0
î		0	0			0

Правая часть f (t) предполагается непрерывной, что дает существование и единственность решения задачи Коши (23.20)–(23.21).

Начальные условия всегда будем задавать в точке 0. Если арг умент рассматривать как время, то это соответствует принятию на чального момента отсчета времени за 0; если же начальные условия заданы в точ- ке t0, то после замены аргумента t − t0 = τ задача сводится к задаче (23.20)–(23.21).

Пусть x(t) – решение задачи (23.20)–(23.21). Применим к обеим частям уравнения (23.20) преобразование Лапласа, учитывая его линейность и теорему о дифференцировании оригинала. Обозначая x(t) ¸ X (p) , имеем

x′(t) ÷ pX (p) − x(0); x′′(t) ÷ p2X (p) − px(0) − x′(0),...;

x(n)(t) ¸ p(n)X (p)- pn−1x(0)- pn−2x¢(0)- ...- x(n−1) (0).

В итоге получим линейное алгебраическое уравнение для X (p) . Решая его, мы найдем X (p) , а затем по изображению X (p) вернемся к оригиналу x(t) .

23. Основы операционного исчисления

ìx¢¢ + x = cost;

Пример. Решить задачу Коши íîx(0) = -1, x¢(0) = 1.

Р е ш е н и е Применим к обеим частям уравнения преобразование Лаплас а (аргу-

мент p для краткости записи опустим):

p2 X + p - 1+ X =

Û (p2 + 1)X =

- p + 1 Û

p2 + 1

ö¢

X =

= -

÷ -

+ 1

+ 1)

è p

Теперь возвратимся назад к оригиналам, учитывая теорему о дифференцировании изображения: x(t) = 12 t sint - cost + sint.

Аналогично задаче Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами решается задача Коши для систем таких уравнений.

ìx¢ - y = 2et ;

Пример. Решить задачу Коши нïy¢ - x = -2et ;

ïx(0) = 1, y¢(0) = -1.

Ð å ø å í è å

Применяя преобразование Лапласа и обозначая x(t ) ¸ X(p), y(t ) ¸ Y(p),

имеем

ï pX -1

-Y =

;

ï pX

-Y

;

p -1

-1

Û í

p +1

ï pY +1

- X = -

p -1

;

ï pY

- X

= -

p -1

Сложим эти уравнения:

pX -Y + pY - X = 0 Ы (p -1)(X +Y ) = 0 , откуда

Y = -X , значит, (p + 1)X =

p + 1

Þ X =

¸ et è

Y = -

¸ -et . Таким об-

p -1

разом, x(t) = et , y(t) = -et .

Отметим, что для применения вышеизложенного метода необх о- димо найти изображение правой части дифференциального у равнения (или правых частей уравнений системы), что не всегда возмо жно. Действительно, согласно теоремам разд. 23.2 мы умеем находить из ображение лишь функций специального вида:

f (t) = eαt [P(t)cosbt +Q(t)sinbt], где P(t) и Q(t) – многочлены.

518

519

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

Для решения уравнений с другими правыми частями можно использовать интеграл Дюамеля (см. теорему 23.12). А именно рассм отрим задачу Коши

ìa x(n)			+ a x(n−1)			+	... + a x = f (t),
ï	0		1				n			(23.22)
í	x(0)	=	x¢(0)	=	...	=	x(n−1)(0)	=	0.
ï
î

Начальные условия в этой задаче для простоты берутся нуле выми (если они такими не являются, то можно показать, что некото рой заменой искомой функции их всегда можно свести к нулевым).

Рассмотрим еще одну задачу Коши:

ìa x(n) + a x(n−1)		+ ...+ a x	= 1,
ï 0 1	1 1	n 1
íx (0)	= x¢(0)= ...= x(n−1) (0)= 0.			(23.23)
ï	1	1
î 1	1	1

Перейдем в задачах (23.22) и (23.23) от искомых функций к их изображениям, обозначая x(t)÷ X (p), x1(t)÷ X1(p), f (t)÷ F(p). Îòìå-

тим, что 1 – это единичная функция h(t) и 1¸ 1p . Учитывая нулевые начальные условия, из формулы (23.22) получаем

a0 pnX (p) + a1 pn−1X (p) + ... + anX (p) = F (p), èëè

(a0 pn + a1 pn−1 + ... + an)X (p) = F (p).

Многочлен в скобках, который обозначим A(p), это характеристический многочлен для исходного дифференциального ура внения, и последнюю формулу можно записать в виде

A(p)X (p) = F (p).

(23.24)

Аналогично из формулы (23.23) получаем

A(p)X1(p) =	1	.	(23.25)

	p

Разделив левые и правые части уравнений (23.24) и (23.25) друг на друга, имеем

X (p)	= pF (p), èëè X (p) = pF(p)X1(p).	(23.26)
X1(p)

23. Основы операционного исчисления

Теперь используем формулу (23.14), которая в наших обозначени - ях принимает вид

ò f (t)x1¢t (t - t)dt + f (t)x1(0) ¸ pF (p)X1(p).

Òàê êàê x1(0 ) = 0 то, в силу (23.26) из данной формулы следует, что

ò f (t)x1¢t (t - t)dt ¸ X (p).

Тогда из этой формулы и единственности оригинала (в точка х его непрерывности) следует, что

x(t) = ò f (t)x1¢t

(t - t)dt.

(23.27)

ïx¢¢ =

;

Пример. Решить задачу Коши

1+ t2

= x¢(0) = 0.

îx(0)

Ð å ø å í è å

ìx¢¢ =

Решим сначала задачу

= x¢(0) = 0.

îx(0)

При x(t)¸ X (p) имеем

p2 X =

Û X =

= 1

1 t2

(см. формулу

для изображения tn ), ò. å. x (t)

1 t2 Þ x¢

(t) = t. Тогда по формуле (23.27)

определяем

t t - t

1 t

d(1+ t2 )

x(t) = ò

dt = tò

- 2 ò

1+ t2

+ t2

=tarctg t

t –

ln (1+ t2)

= t arctg t –

ln (1+t2).

23.5. Применение теоремы запаздывания для нахождения изображений различных функций

Теорема запаздывания 23.13 удобна при нахождении изображени й функций, которые на разных участках прямой задаются разли чными аналитическими выражениями.

520

521

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

f (t)	f (t)		f (t)
	1	η (t)	1	η (t – 1)
	1		1

0	1	τ	0	τ	0	1	τ
	Ðèñ. 171		Ðèñ. 172			Ðèñ. 173

Пример 1. Найти изображение функции, равной (t − 1)2 ïðè t > 1 è 0 ïðè t < 1 (ðèñ. 171).

Ð å ø å í è å

Рассмотрим функцию f (t) = t2 = t2η(t) (при применении теоремы запаздывания оправданна именно такая строгая запись); f (t) ÷ p23 . Как легко понять, исходная функция f (t − 1) = (t − 1)2 η(t − 1) (из графиков видно

(рис. 172, 173), что это произведение действительно равно (t − 1)2 ïðè t > 1
è 0 ïðè t < 1 ). Тогда по теореме 23.13 при τ = 1 f (t − 1) ÷ e− p		2	.

		p3
f (t)	Пример 2. Найти изображение функции, равной 1
	ïðè t (0,1) è 0 ïðè t > 1 è t < 1 (рис. 174) (значения

1функции в точках разрыва 0 и 1, естественно, роли не играют).

Ðå ø å í è å

0	1	t	Из графиков функций η(t) è η(t – 1) (см. пример 1)
	Ðèñ. 174		видно, что данная функция равна η(t) – η(t – 1); òàê êàê
	Ðèñ. 174		η(t) ÷	1	, то согласно теореме 23.13 при τ = 1
			η(t) ÷	1	, то согласно теореме 23.13 при τ = 1
				p
			η(t)− η(t − 1) ÷ 1			− e− p 1 =	1 (1− e− p ).
					p	p	p
						Пример 3. Точно так же находится изоб-
f (t)					ражение «ступеньки» любой высоты (можно
f (t)					и отрицательной), находящейся в любом ме-
h					и отрицательной), находящейся в любом ме-
h					ñòå îñè (ðèñ. 175).
					ñòå îñè (ðèñ. 175).
							Ð å ø å í è å
0	a		b		t	Уравнение нашей функции можно за-
		Ðèñ. 175			писать в виде
		Ðèñ. 175

23. Основы операционного исчисления

h[η(t − a) − η(t − b)] ÷ hp (e−ap − e−bp ).

Функция, состоящая из нескольких «ступенек», представляе тся в виде суммы таких «ступенек», а изображение исходной функции бу дет равно сумме изображений этих «ступенек».

Далее отметим, что любую функцию, равную f (t) при t (a,b) è 0 ïðè t [a,b], можно представить в виде f (t)[η(t − a) − η(t − b)], так как выражение в квадратных скобках равно 1 при t (a,b) è 0 ïðè t [a,b] . Такое представление часто дает возможность находить изображения ф ункции по теореме запаздывания.

Пример 4. Найти изображение функции с гра-					f (t)
фиком, изображ¸нным на рис. 176.
Ð å ø å í è å
Согласно предыдущим рассуждениям					0					2 t
f (t) = t[η(t) − η(t −1)] + (2 − t)[η(t −1) − η(t − 2)] =					0			1		2 t
f (t) = t[η(t) − η(t −1)] + (2 − t)[η(t −1) − η(t − 2)] =								Ðèñ. 176
								Ðèñ. 176
= tη(t) − 2(t −1)η(t −1) + (t − 2)η(t − 2) ÷	1	− 2e− p		1	+ e−2 p	1	=	1	(1	− e− p)2.
= tη(t) − 2(t −1)η(t −1) + (t − 2)η(t − 2) ÷	2	− 2e− p		2	+ e−2 p	2	=	2	(1	− e− p)2.
	p			p		p		p
Пусть теперь функция f (t) – периодическая с периодом Т (есте-
ственно, при t > 0 ), ò.å. f (t + T ) = f (t) , t			> 0 (ðèñ. 177).

f (t)

0	T	2T	3T t
		Ðèñ. 177

Теорема 23.15 (изображение периодической функции). Пусть оригинал f (t) есть периодическая функция с периодом Т. Пусть

ì f (t) ïðè tÎ(0, T ),
g(t)=íï
ï
î0 ïðè tÏ[0, T ]
è g(t) ÷G(p). Тогда изображение функции f (t) имеет вид
F (p) =		G(p)	.	(23.28)
F (p) =	1		.	(23.28)
	1	− e− pT

522

523

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

+∞	∞	(n+1)T
¡F (p) = ò	f (t)e− ptdt = å	ò f (t)e− pt dt.

0n=0 nT

График функции g (t ) изображен на рис. 178.

График функции g (t – nT ) получается сдвигом вправо на nT (рис. 179). При t (nT, (n + 1)T ) она равна f (t ), а при t [nT , (n + 1)T ] – 0. Тогда

∞	(n+1)T	∞	+∞
F (p) = å	ò	g(t − nT )e− ptdt = å	ò g(t − nT )e− pt dt.
n=0	nT	n=0 0
f (t)		f (t)

0	T	t	0	nT	(n + 1)T t
	Ðèñ. 178			Ðèñ. 179

Последний интеграл – это изображение функции g (t – nT ). По теореме запаздывания 23.13

∞	∞
F (p) = åe− pnTG(p) =G(p)åe− pnT.
n=0	n=0

Последняя сумма есть сумма геометрической прогрессии с п ервым членом 1 и знаменателем q = e− pT . Этот знаменатель по абсолютной величине не превосходит 1, так как

q = e–( s+i s)T = e– sT × e– i sT = e– sT<1 ïðè s = Re p > 0 .

Значит, по формуле суммы бесконечно убывающей геометриче ской прогрессии имеем

F (p) = G(p) − 1− pT , 1 e

что и дает формулу (23.28). x

В примерах для нахождения G(p) часто удобно применять теорему запаздывания.

23. Основы операционного исчисления

f(t) 1

Ðèñ. 180

Пример 5. Найти изображение периодической функции f (t) с графиком, изображенным на рис. 180.

Ð å ø å í è å

Функция g (t) в данном примере имеет график, приведенный на рис. 176. Изображение ее уже было найдено в примере 4:

	G(p) =			(1− e− p )2 .
					p2
По формуле (23.28) при T = 2 находим, что
F (p) =	(1− e− p )2					=	1− e− p			.
	p	2	(1− e	−2 p	)		2	− p	)
							p (1	+ e

524

525

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие.................................................................................................	11
Условные обозначения ...............................................................................	12
I. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ .................	13
1. МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ....................................	13
1.1. Определение действительного числа .............................................	13
1.2. Ограниченные множества действительных чисел ........................	16
1.3. Элементы комбинаторики. Бином Ньютона ................................	18
1.4. Функции ............................................................................................	20
2. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ .......	21
2.1. Определение предела последовательности и
предела функции.....................................................................................	21
2.2. Бесконечно малые последовательности и функции и
их свойства ..............................................................................................	27
2.3. Связь существования предела с бесконечно малыми.
Основные теоремы о пределах .............................................................	30
2.4. Некоторые теоремы о пределах последовательностей и
функций ...................................................................................................	34
2.5. Некоторые замечательные пределы ..............................................	38
2.6. Сравнение бесконечно малых ........................................................	43
3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ..........................................................	43
3.1. Непрерывность функции в точке ...................................................	43
3.2. Классификация точек разрыва .......................................................	47
3.3. Непрерывность функции на множестве ........................................	49
3.4. Равномерная непрерывность функции .........................................	52
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ .....................................................	55
4. ПРОИЗВОДНАЯ .....................................................................................	55
4.1. Определение, физический и геометрический смысл
производной ............................................................................................	55
4.2. Вычисление производной функции................................................	57
4.3. Дифференцируемые функции. Дифференциал .............................	64
4.4. Производные и дифференциалы высших порядков ......................	68
4.5. Функции, заданные параметрически, и их производные .............	71
5. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ
ФУНКЦИЯХ ..........................................................................................	74
5.1. Теоремы о среднем ..........................................................................	74

5.2. Правило Лопиталя ...........................................................................	78
5.3. Формула Тейлора .............................................................................	86
6. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ............................................................	98
6.1. Возрастание и убывание функций ..................................................	98
6.2. Экстремумы функции ....................................................................	100
6.3. Наибольшее и наименьшее значения функции,
непрерывной на отрезке ......................................................................	106
6.4. Выпуклость и вогнутость графика функции.
Точки перегиба .....................................................................................	107
6.5. Асимптоты графика функции .......................................................	111
6.6. Примерная схема общего исследования функции
и построения ее графика......................................................................	114
7. ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА ..............	117
7.1. Определение векторной функции скалярного аргумента .........	117
7.2. Предел векторной функции скалярного аргумента ...................	119
7.3. Непрерывность векторной функции скалярного аргумента ....	121
7.4. Производная векторной функции скалярного аргумента .........	121
III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ...................................................	126
8. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ
И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ .........................................................	126
8.1. Комплексные числа .......................................................................	126
8.2. Тригонометрическая форма комплексного числа .....................	129
8.3. Показательная форма комплексного числа ...............................	130
8.4. Многочлены ...................................................................................	131
8.5. Рациональные функции ................................................................	136
9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ....................................................	142
9.1. Понятие неопределенного интеграла .........................................	142
9.2. Свойства неопределенного интеграла .........................................	143
9.3. Таблица основных интегралов .....................................................	144
9.4. Замена переменной в неопределенном интеграле .....................	148
9.5. Интегрирование по частям ...........................................................	150
9.6. Интегрирование рациональных дробей ......................................	153
9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций............	156
9.8. Интегрирование тригонометрических функций ........................	159
9.9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
при помощи тригонометрических подстановок ...............................	162
10. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ........................................................	165
10.1. Понятие определенного интеграла............................................	165
6

10.2. Свойства определенного интеграла ...........................................	167
10.3. Существование определенного интеграла ................................	170
10.4. Вычисление определенного интеграла ......................................	173
10.5. Замена переменной и интегрирование по частям
в определенном интеграле ..................................................................	175
10.6. Вычисление площадей плоских фигур .......................................	177
10.7. Длина дуги плоской кривой.........................................................	182
10.8. Вычисление объемов тел .............................................................	185
11. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ...................................................	188
11.1. Определение несобственного интеграла ...................................	188
11.2. Геометрический смысл, свойства
и вычисление несобственных интегралов .........................................	189
11.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций ......	192
11.4. Несобственные интегралы от функций
произвольного знака ............................................................................	195
11.5. Главное значение несобственного интеграла ...........................	200
IV. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА .................................	201
12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ................................	201
12.1. Многомерные пространства .......................................................	201
12.2. Определение, предел и непрерывность функции
нескольких переменных ......................................................................	204
12.3. Частные производные. Дифференциал функции ......................	207
12.4. Производные сложной функции ................................................	213
12.5. Частные производные и дифференциалы высших порядков ...	220
12.6. Формула Тейлора для функции нескольких переменных........	226
12.7. Экстремумы функции нескольких переменных .......................	230
12.8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности ...................	237
12.9. Производная по направлению. Градиент ...................................	240
13. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.............................	244
13.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра ..................	244
13.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра ..............	246
13.3. Свойства несобственных интегралов,
зависящих от параметра ......................................................................	248
13.4. Гамма-функция ............................................................................	252
V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ..........................................	258
14. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
И УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ....	258
14.1. Примеры задач, приводящих к дифференциальным
уравнениям ...........................................................................................	258
	7

14.2. Дифференциальные уравнения произвольного
и первого порядков ..............................................................................	260
14.3. Некоторые типы дифференциальных уравнений
первого порядка и методы их решений ..............................................	262
14.4. Дифференциальные уравнения высших порядков ...................	277
14.5. Уравнения, допускающие понижение порядка.........................	280
15. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ...........................................................................	283
15.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения ...........	283
15.2. Линейная зависимость и независимость функций....................	284
15.3. Структура общего решения линейного
однородного уравнения .......................................................................	288
15.4. Линейные однородные уравнения
с постоянными коэффициентами.......................................................	290
15.5. Неоднородные линейные уравнения высших порядков ..........	298
15.6. Неоднородные линейные уравнения с постоянными
коэффициентами и правой частью специального вида .....................	300
15.7. Метод вариации произвольных постоянных .............................	307
VI. ÐßÄÛ...................................................................................................	311
16. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ .............................................................................	311
16.1. Свойства сходящихся рядов ........................................................	311
16.2. Ряды с неотрицательными членами ..........................................	314
16.3. Ряды с членами произвольного знака ........................................	320
17. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ...........................................................	325
17.1. Область сходимости функционального ряда ............................	325
17.2. Равномерная сходимость функционального ряда ....................	326
17.3. Свойства равномерно сходящихся рядов ..................................	328
17.4. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда .........	332
17.5. Равномерная сходимость степенного ряда ...............................	336
17.6. Разложение функций в степенные ряды ....................................	340
17.7. Применение разложений в степенные ряды
для решения дифференциальных уравнений ....................................	347
18. РЯДЫ ФУРЬЕ .......................................................................................	354
18.1. Ортогональные и ортонормированные системы
функций .................................................................................................	354
18.2. Ряд Фурье по произвольной ортонормированной
системе функций. Тригонометрический ряд Фурье
для функций с периодом 2π .................................................................	356
18.3. Тригонометрический ряд Фурье для функции
с произвольным периодом 2l. Ряд Фурье в комплексной форме .....	363
8

18.4. Средняя квадратичная погрешность. Минимальное
свойство коэффициентов Фурье .........................................................	366
18.5. Интеграл Фурье............................................................................	368
VII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
ТЕОРИЯ ПОЛЯ ........................................................................................	375
19. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ..................................................................	375
19.1. Определение и свойства двойного интеграла ............................	375
19.2. Вычисление двойного интеграла ................................................	380
19.3. Определение и свойства тройного интеграла ............................	385
19.4. Вычисление тройного интеграла................................................	388
19.5. Замена переменных в двойном интеграле .................................	392
19.6. Двойной интеграл в полярных координатах .............................	396
19.7. Замена переменных в тройном интеграле ................................	399
20. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ .................................................	404
20.1. Криволинейный интеграл первого рода ....................................	404
20.2. Криволинейный интеграл второго рода ....................................	406
20.3. Условия независимости криволинейного интеграла
второго рода от формы пути интегрирования ...................................	412
21. ТЕОРИЯ ПОЛЯ ....................................................................................	417
21.1. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент .....	417
21.2. Векторное поле. Линейный интеграл
и циркуляция векторного поля вдоль кривой....................................	419
21.3. Поверхностный интеграл первого и второго рода ....................	421
21.4. Формула Гаусса-Остроградского................................................	428
21.5. Формулы Грина и Стокса ............................................................	432
21.6. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка ..................	440
21.7. Специальные векторные поля ....................................................	442
VIII. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ....................	446
22. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО.......................................................................................	446
22.1. Определение и некоторые элементарные функции
комплексного переменного ................................................................	446
22.2. Предел и непрерывность функции комплексного
переменного .........................................................................................	450
22.3. Производная функции комплексного переменного ................	454
22.4. Интеграл от функции комплексного переменного..................	457
22.5. Интегральная теорема Коши .....................................................	463
22.6. Интегральная формула Коши ....................................................	466
22.7. Краткие сведения о рядах с комплексными членами ..............	473
	9

22.8. Ряд Тейлора...................................................................................	475
22.9. Ряд Лорана ....................................................................................	478
22.10. Классификация изолированных особых точек .......................	485
22.11. Вычеты и их нахождение ...........................................................	489
22.12. Основная теорема о вычетах.....................................................	492
22.13. Вычисление некоторых интегралов
от функций действительного переменного .......................................	494
23. ОСНОВЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ...........................	501
23.1. Оригинал и его изображение.......................................................	501
23.2. Свойства преобразования Лапласа .............................................	506
23.3. Нахождение оригиналов по изображениям...............................	514
23.4. Решение дифференциальных уравнений
и систем операционным методом.......................................................	518
23.5. Применение теоремы запаздывания
для нахождения изображений различных функций ..........................	521

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данный курс основан на лекциях, читаемых автором студента м Московского технического университета связи и информат ики.

Зачем нужен такой курс? Ведь его материал содержится во мн о- гих других учебниках. Дело в том, что автор поставил себе це ль кратко, но вместе с тем максимально строго изложить такие слож ные основополагающие разделы, как предел последовательност и и функции, непрерывность функции, дифференциальное и интеграль ное исчисления функций одной переменной, функции нескольких переменных, обыкновенные дифференциальные уравнения, ряды , кратные интегралы, теория поля, элементы теории функций к омплексного переменного и операционное исчисление. В учебни ках для технических вузов этот материал либо дается излишне упро щенно, без части сведений и доказательств, а это противоречит са мой сути математики как предмета, либо занимает очень большой объе м, что отпугивает основную массу студентов. Если исходить тольк о из лекций, то студентам трудно воспринимать упомянутый материа л без наличия соответствующей учебной литературы в силу сложн ости тем и наличия только небольшого времени для их изложения.

Почти все теоремы в курсе приводятся с доказательствами. В первой главе теоремы о пределах последовательностей и функций изложены параллельно, что, по мнению автора, способствует луч- шему пониманию материала. Даются необходимые предварите льные сведения: аксиоматика действительных чисел, метод мат емати- ческой индукции, элементы комбинаторики, бином Ньютона. В есь материал соответствует примерно 140 часам лекционного вре мени.

a Þ b a Û b

УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

¡ – означает начало доказательства теоремы. x – конец доказательства теоремы.

– «из предложения a следует предложение b».

– «предложения a и b равносильны: из a следует b и из b

следует a».

– означает «для любого», «для всякого».

– «существует», «найдется».

:– «такое, что».

A И B (или A + B) – объединение (сумма множеств), т.е. множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из мн ожеств

A è B.

A З B (или A ·B) – пересечение (произведение множеств), т.е. множество элементов, принадлежащих A и B одновременно.

A \ B (или A –B) – разность множеств, т.е. множество элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B.

x О X – элемент x, принадлежащий множеству X.

x П X – элемент x, не принадлежащий множеству X.

Ж – пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента; все остальные множества – непустые.

В круглые скобки заключается утверждение, вытекающее из п редыдущих условий, т.е. при этих условиях верно утверждение в круглых скобках.

Запись A = {a,b,c,...} означает, что множество A состоит из элементов a, b, c, ...

Последовательность an , n = 1, 2, 3 будет обозначаться как {an}. Факториал числа: n! = 1·2·3·...·n, 0! = 1.

Сумма чисел åak = a1 + a2 + ... + an .

k=1

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2627 / 2727

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.10.20233.65 Mб5А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс.pdf
#
10.10.202351.34 Mб2Английский язык для университетов и институтов связи кожевникова.djvu
#
10.10.20236.39 Mб0БСМП.pdf
#
10.10.20231.85 Mб0ВычТех.pdf
#
10.10.20234.76 Mб2Детлаф Яворский 1973.djvu
#
10.10.202333.69 Mб0Детлаф Яворский 2002.djvu