Добавил:

catsneverdie Я уверяю Вас, мне можно доверить огнестрельное оружие Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.10.2023

Размер:

3.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 278 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

ò ë

é f

(x) ± f

(x)ùdx =

(x)dx ±

(x)dx при условии существова-

ния интегралов справа (это опять совпадение двух множест в функций). ¡ Пусть F1(x) è F2(x) – некоторые первообразные для f1(x) è f2(x).

Òàê êàê

éF	(x) + F	(x)ù¢ = F ¢(x) + F ¢(x) =
ë 1	2	û	1	2

òî F1(x)+ F2(x) – первообразная для f1(x) +

é f (x)+ f		(9.1)		(x)+
	2	(x)ù dx =	F
ò ë 1		û	1

Íî

f1(x) + f2(x), f2(x) Þ

F2 (x )+C .

ò f1(x)dx + ò f2(x)dx = F1(x) +C1 + F2(x) +C2 = F1(x) + F2(x) + (C1 +C2). Так как здесь (C1 +C2) – произвольная постоянная, то ясно, что мно-

ò ë

(x) +

жества

é f

(x)ù dx

f (x)dx

(x)dx

совпадают.

Аналогично доказывается, что

ò ë

é f

(x) - f

(x)ù dx =

(x)dx -

(x)dx. x

Замечание. Не следует пытаться искать какие-то общие формулы для интеграла от произведения или частного, так как таких фор мул просто не существует.

9.3. Таблица основных интегралов

Каждая формула из таблицы производных F ¢(x) = f (x) сразу приводит к формуле òf ( x ) dx = F ( x )+C из таблицы интегралов, т.е. из таблицы производных следует таблица основных интеграло в:

xα+1

1)ò xαdx = a + 1 +C, a ¹ -1;

2)ò 1x dx = ln x +C, {0}ÏE;

3)òaxdx = lnaxa +C;

4)òexdx = ex +C;

5)òcosxdx =sin x +C;

9.Неопределенный интеграл

6)òsin xdx = - cos x +C;

dx
7) ò cos2 x	= tgx +C;

8)ò sindx2 x = -ctgx +C;

9)òchxdx = shx +C;

10)òshxdx = chx +C;

11)ò chdx2x = thx +C;

12)ò shdx2x = -cthx +C;

13)

= arcsin

+C, a > 0, в частности при a = 1

- x

= arcsin x +C;

1- x

14)

= a arctg

+C, в частности при a = 1

a2 + x2

= arctgx +C;

1+ x2

15) ò

x2 ± a2

+C – так называемый «длинный

= ln

x +

± a

логарифм»;

16)

a + x

a - x

- x2

ðèôì»;

= ln

+C.

17)

sin x

ö¢

æ xα+1

1) ç

÷ =

(a + 1)x

a + 1

è a + 1ø

+C – так называемый «высокий лога-

=xα ;

144

145

III.Интегральное исчисление функций одной переменной

2)x > 0 Þ (ln x )¢ = (ln x)¢ = 1x ;

x < 0 Þ (ln x )¢ = (ln (-x))¢ = -1x (-1) = 1x ;

	æ	ax	ö¢		1	ax lna = ax;
3)	ç		÷	=

	è lna ø				lna

4)частный случай предыдущего;

5)(sin x)¢ = cosx;

6)(- cos x)¢ = sin x;

7) (tgx)¢ =

;

cos2 x

8) (-ctgx)¢ =

;

sin2 x

9– 12) доказываются аналогично;

x ö¢

13)

çarcsin

;

a2 - x2 a

a2 - x2

14)

arctg

ö¢

1 1 1

1 a2

;

+ x

è a

15) в п. 2 было проверено, что (ln | x |)¢ =

, поэтому

(ln

)¢ =

x + x2 + a2

(x + x2 + a2 )¢ =

x +

+ a2

+ x2 + a2

ê1

;

x + x2 + a2

x2 + a2

+ x2 + a2

+ a2

16) аналогично:

æ	1	ln	a + x	ö¢	=

ç			a - x	÷
	2a
è				ø

éln

a + x

- ln

a - x

ö¢

1 é

1 ù

2a ëa + x a - x û

× a - x + a + x

;

a2 - x2

9. Неопределенный интеграл

17) òàê æå:

æç ln tg 2x ö÷¢ = è ø

cos

. x

2 x

sinx

cos

2sin

cos

2sin

cos

Следует заметить, что задача интегрирования существенно сложнее задачи дифференцирования. При дифференцировании мы д олжны сводить функцию к наиболее простым функциям, а при инте грировании – к тем функциям, которые есть в таблице, а они совс ем не обязательно самые простые. Продифференцировать мы можем любую элементарную функцию, но при интегрировании может встрет иться следующая ситуация: f (x) – непрерывная в некотором промежутке Е элементарная функция; ниже будет показано, что неопределе нный

интеграл ò f (x)dx от непрерывных функций существует ( x ОE ). Но этот интеграл не выражается через элементарные функции ( т.е. представляет собой некоторую новую функцию). Такие интегралы называются неберущимися.

Приведем примеры некоторых неберущихся интегралов: òe− x2dx (т.е. нет элементарной функции, производная которой равна e−x2 ),

sin x

dx,

è ò.ï.

ln x

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

Ð å ø å í è å

x - 3x + 2 x - 5

æ 3

− 1

5 ö

òç

ç x

- 3+ 2x

÷dx =

dx - 3

−

+2òx

2dx - 5ò x =

-3x

+ 2

-5ln

5 x2

x -3x +4

x -5ln

+C;

sin2 x

- cos2 x

xdx =

dx =

- 1÷dx =

dx =

ò cos2 x

cos2 x

ò cos2 x

è cos2 x

= tg x – x + C.

146

147

III.Интегральное исчисление функций одной переменной

9.4.Замена переменной в неопределенном интеграле

Теорема 9.2. Пусть F (x) – первообразная для f (x), т.е.

ò f (x)dx = F (x) +C.

Тогда в предположении непрерывности f , ϕ, ϕ′ имеем

ò f (j(x))j¢(x)dx = F (j(x)) +C.	(9.2)
Или, учитывая, что ϕ′(x)dx = dϕ(x), символически:
ò f (ϕ(x))dϕ(x) = F (ϕ(x)) +C.	(9.3)

Символическое равенство (9.3) надо понимать в смысле равенс тва (9.2). Оно означает, что в обеих частях формулы ò f (x)dx = F (x) +C можно х заменить на ϕ(x).

¡ Применяя формулу производной сложной функции и обозначая j(x) = t, имеем

éF (j(x)) +Cù¢ = éF (j(x))ù¢			+ C¢ = F ¢(t)× t ′	= f (t)× j¢(x) = f (j(x))× j¢(x),
ë	û ë	û x	x

что и доказывает формулу (9.2). x

Эта теорема позволяет существенно расширить круг функци й, которые мы можем проинтегрировать.

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

Ð å ø å í è å

1. ò

cos x

dx = ò

d sin x

sin−1 x

= -

(во втором переходе ис-

sin2 x

-1

sin x

пользовался интеграл ò x2

= - x

+C ).

2. ò

xdx

dx2

arcsin x2

+C.

- x

1- (x

)

+ 1)

3. ò

dx =

ò d(e3x

1 ln(e3x +1) +C ( e3x +1 > 0 äëÿ âñåõ õ).

+ 1

9. Неопределенный интеграл

4. ò

x +1

dx = ò

(x -1) + 2

= ò

x -1

dx + 2ò

d(x -1)

x2 - 2x +5

(x -1)2 + 4

d((x -1)2 + 4)

+ 2×

arctg

(x - 1)

+C =

ln | (x

-1)2

+ 4 | +arctg

- 1

+C =

+ 4

(x -1)

1 ln(x2 - 2x + 5) + arctg

x -1

+C (òàê êàê (x - 1)2

+ 4 > 0, x Î R).

Аналогично можно брать любые интегралы вида ò

Ax + B

dx ñ êîì-

x2 + px + q

плексными корнями знаменателя.

5. Было бы глубоким заблуждением считать, что òsin3 xdx =

sin4 x

+C,

на самом деле этот ответ дает òsin3xcos xdx :

òsin3x cos xdx = òsin3xd sin x =

sin4 x

+ C.

Правильное решение нашего примера таково:

òsin3 xdx = òsin2 xsinxdx = -ò(1- cos2 x)d cosx =

=-òd cosx + òcos2 xd cosx = -cosx + 13cos3 x +C.

Таким методом можно проинтегрировать sinx и cosx в любой нечетной степени.

6. Теперь вычислим òsin2 xdx . Применим формулы понижения степе-

ни и перехода к двойному углу:

cos2 x =

1+ cos2x

; sin2 x =

1 - cos2x

. Тогда

получим

òsin2 xdx = ò

- cos2x

òcos2xd2x

dx =

2 x -

4 sin2x +C.

2 ×2

Так интегрируют sinx и cosx в четных степенях.

Перепишем опять формулы (9.1) и (9.3), поменяв в (9.3) x на t : если f (x) непрерывна,а ϕ(t) непрерывнодифференцируема(т.е.имеетнепрерывную производную), то из формулы ò f (x)dx = F (x) +C следует формула ò f (ϕ(t))dϕ(t) = F(ϕ(t)) +C. Положим теперь x = j(t) . Тогда правые части этих формул совпадают, а значит, совпадают и их левые части:

ò f (x)dx =ò f (ϕ(t))dϕ(t) = ò f (ϕ(t))ϕ′(t)dt.

(9.4)

148

149

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

При этом интеграл в правой части этого равенства, может бы ть, легче взять, чем интеграл в левой его части.

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

Ðå ø å í è å

1.ò exdx+1; сделаем замену t = e− x : x = - lnt Þ dx = d(-lnt) = -1t dt, тогда

-1dt

d(t +1)

= -ò

= - ln

t +1

+C = - ln(e

− x +1)

+C.

ex +1

1+ t

t +1

2. ò

x= t

2 dt

= -ò

t ×tdt

= -ln(t + 1+ t2 ) +C =

1 + t

t2 +1

æ 1

= - ln

ç x

+ 1+

+C.

Здесь

x =

1 Þ dx = -

dt, t =

1 ;

предполагается, что t > 0, и учитывается,

÷òî t +

1+ t2 > 0, t Î R.

9.5. Интегрирование по частям

Теорема 9.3. Пусть функции u (x) и v (x) непрерывно дифференцируемы в некотором промежутке Е, тогда " Î E

			òudv = uv − òvdu,		(9.5)
или, учитывая, что du = u¢dx, dv = v¢dx,
			′	′	(9.6)
			òuv dx	= uv − òvu dx.	(9.6)
¡	é	ù¢	¢	= u¢v + uv¢ - vu¢ = uv¢,	значит, лю-
¡	ëuv - òvu¢dx	û	= (uv)¢ - (òvu¢dx)	= u¢v + uv¢ - vu¢ = uv¢,	значит, лю-

бая функция из множества {uv - òvu¢dx} является первообразной для uv′, что, согласно (9.1), и доказывает равенство (9.6) (произвольная постоянная в правой части содержится в òvu¢dx ). x

9. Неопределенный интеграл

Функции u и v надо выбирать так, чтобы интеграл упростился.

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

			Ð å ø å í è å
1.	xsin xdx
	ò{	ïì í ï î
	u	dv
	u = x		dv = sin xdx
	du = dx		v = òdv = òsin xdx = -cos x +C.

Постоянную C в последней формуле писать не обязательно, так как нам достаточно взять одну из функций v ; тогда по формуле (9.5)

ò xsin xdx = x(-cosx)-ò(-cosx)dx = -xcosx + sin x +C,

èëè

		é		ù	= -x cos x + sin x +C.
ò x sin xdx = -ò xd cos x = - ëx cos x - òcos xdxû
Так всегда берутся интегралы вида
P(x) aaxdx,		P(x) sina xdx,		P(x) cosa xdx,
ò123123		ò12314243		ò12314243
u	dv	u	dv	u	dv

где Р (х) – многочлен, который принимается за функцию u (интегрировать по частям придется столько раз, сколько указывает степень многочлена P(x)).

2. ò xln xdx; пусть u = ln x,

dv = xdx, du = x dx, v = ò xdx =

2 x

2 Þ

xlnx dx = ln x

1 x2

1 x2 ×

1 dx =

1 x2 ln x -

xdx =

1 x2 ln x -

1 x2

+C,

{

ò 2

или, в более короткой записи,

1 æ 2

2 1

x ln xdx =

2 ò

ln xdx

(ln x × x

x d ln x) =

2 è

ln x -

ç x

= 12(x2 ln x - ò xdx) = 21 x2 ln x - 41 x2 +C.

Таким способом можно взять интегралы, в которые входят ло гарифмическая или обратные тригонометрические функции, пр ичем эти функции принимаются за u.

150

151

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

3. òex cos xdx = òexd sin x = ex sin x - òsin xdex = ex sin x - òsin xexdx = = ex sin x + òexdcos x = ex sin x + ex cos x - òcos xdex =

= ex (sinx + cosx) - òcosxexdx.

Полученное равенство является уравнением для нужного на м интеграла. Из него находим, что

2òex cosxdx = ex (sin x + cos x) +C Þ òex cos xdx = 12ex (sin x + cos x) + C

(постоянная С в правой части была прибавлена согласно формуле (9.1)). Аналогично вычисляются òaax cosbx è òaaxsinbxdx причем за u надо

брать либо два раза показательную, либо два раза тригоном етрическую функцию.

4. In = ò

(x2 + a2) - x2

dx =

+ a

)

xdx

1 x

xdx .

{

2 ò

+ a

n−1

+2a

2 n

{

)

2 uò(x

(4x2+4a3 )

14243

xdx

ò d(x2 + a2)

Теперь вычислим v = ò

2 n

+ a )

(x2 + a2 )n

=- 1 (x2 + a2)−n + 1 . 2 n -1

Тогда по формуле интегрирования по частям (9.5) можно продол жить:

In =

In−1 -

1 é

-x ×

+ a

n−1

(n -1)

+ a

)

n−1

)

(n -1)

In−1 +

In−1 =

(n -1)(x

+ a

2 n−1

(n -1)

)

ê1

úIn

−1

2 n−1

2(n -1)ú

2a (n -1)( x

+ a )

Мы получили так называемую рекуррентную формулу:

In =

ê1

úIn−1

(9.7)

2 n−1

(n -1)ú

2a (n -1)( x

+ a )

По этой формуле интеграл In

выражается через In−1 , где степень знаме-

нателя уже на единицу меньше. По такой же формуле, где n заменено на (n – 1), In−1 будет выражаться через In−2 . И т. д. На последнем шаге I2 áó-

9. Неопределенный интеграл

дет выражаться через I1 , ãäå I1	=		dx	=	1 arctg	x	+C, следовательно, ин-
		ò x2	+ a2			a
					a

теграл In берется и выражается через рациональную функцию (отношение двух многочленов) и арктангенс.

9.6. Интегрирование рациональных дробей

Как указано в разд. 8.5, любую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рационально й дроби. Тогда

òQP((xx)) dx = òP1(x)dx + òQR((xx)) dx, ãäå QR((xx)) – правильная дробь.

Таким образом, интегрирование любой рациональной дроби с водится к интегрированию правильной дроби (путем деления ч ислителя на знаменатель).

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

Ð å ø å í è å

x4 - 1+

(x2 + 1)(x2 - 1) + 1

dx =

ç x

- 1

÷dx =

1. ò x2

+ 1

ò x2 + 1

x2 + 1

= x33 - x + arctg x +C.

xdx

2. ò

dx = òç x -

÷dx =

- ò

Здесь деление числителя на знаменатель было выполнено «у глом»:

x4			x3 + 1

x4	+ x		x	.
	- x
В результате остался интеграл ò			xdx	от правильной дроби.

		x3 +1

Интегрирование простых дробей

В соответствии с определением 8.12 рассмотрим интегралы от п ростых дробей всех четырех типов:

152

153

III.Интегральное исчисление функций одной переменной

1.x A- a , А, а – некоторые действительные числа;

dx = Aò

d(x - a)

= A ln

- a

+C.

x - a

, k = 2, 3, 4,...; А, а – некоторые действительные числа;

(x - a)

dx = Aò d(x - ak)

A(x - a)−k+1

+C =

+C.

1- k

k −1

(x - a)

-k +1

- a)

Ax + B

, A, B, p, q – действительные числа; x2 + px + q íå èìå-

x2 + px + q

åò

действительных

корней,

ò.å.

D = p

- 4q <

0 Þ

4 - q <

q -

> 0.

Обозначим q -

= m2. Выделяя в знаменателе полный

квадрат, имеем:

p ö

Ax + B

Aç x +

+ B

x +

Ap ö

2 ø

= A

dx +

çB

÷ ´

ò x2 + px + q

ò æ

p ö2

ò æ

p ö2

ç x

÷ + q -

ç x +

+ m

æ x +

p ö

d ç

+ m2 ÷

d ç x

2 ÷

Ap ö

x +

ç B -

arctg

ò æ

ö2

2 ò æ

p ö2

2 ø m

ç x +

÷ + m

ç x

÷ + m

p ö2

Ap ö

x +

ç x +

+ m

ç B

arctg

+C =

2 ø m

Ap ö

x +

ln(x

+ px + q)

arctg

+C.

çB

2 ø m

Аналогично можно вычислять и некоторые другие интегралы , со-

держащие квадратный трехчлен, например ò

Ax + B

dx.

+ px + q

154

9. Неопределенный интеграл

Ax + B

k = 2,3,4,...; A, B, p, q

– действительные числа;

+ px + q)

корни знаменателя – комплексные. Как и выше, обозначая q -

= m2

имеем

p ö

Ax + B

Aç x +

+ B

ç x +

÷ + B

dx =

2 ø

d ç x

÷.

ò(x2 + px + q)k

ò éæ

ù2

ò éæ

ùk

p ö2

êç x +

+ q -

êç x +

÷ + m

ëè

2 ø

ëè

Сделаем замену x +

= t, тогда наш интеграл

Atdt

d(t2 + m2)

+ çB -

ò (t2 + m2)k

+ m2 )k

ò (t2 + m2 )k

ø ò (t2

Ap ö

(t2 + m2)−k+1

+çB -

+ çB

ò (t2 + m2 )k

-k + 1

+ m2 )k

2 ø

ø ò (t2

Ap ö

çB

÷Ik ,

2(1

- k)(x

k−1

+ px + q)

где интеграл Ik вычислялся в разд. 9.5 с помощью рекуррентной формулы (9.7).

Вывод. Интегралы от простых дробей всегда берутся и выражаются через рациональную функцию, логарифм и арктангенс.

Так как по теореме 8.6 любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простых дробей, то отсюда с ледует, что интеграл от любой рациональной функции берется и выра жается через рациональную функцию, логарифм и арктангенс. Для вы числения интеграла надо сначала поделить числитель на знамена тель (если степень числителя больше или равна степени знаменателя), потом полученную правильную дробь представить в виде суммы прост ых дробей и затем проинтегрировать эти дроби.

Пример. Найти неопределенный интеграл ò x2 dx. (x + 1)2(x2 + x + 1)

Р е ш е н и е Подынтегральная дробь здесь уже является правильной, поэ тому сра-

зу разложим ее на простые

155

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

Cx + D

;

(x + 1)2

(x2 + x +1)

x +

(x + 1)2

x2 + x +

x2 = A(x + 1)(x2 + x + 1) + B(x2 + x +1) + (Cx + D)(x +1)2.

Положим, что x = -1: 1 = B(1-1+1) Ю B = 1. Далее имеем:

x2 = A(x +1)(x2 + x + 1) + B(x2 + x + 1) + (Cx + D)(x2 + 2x +1).

Приравняем коэффициенты при x3, x2 è x0 слева и справа, при этом скобки

можно даже полностью не раскрывать:
ì0 = A +C		ìA +C = 0
ï	= 2A + B + 2C + D; B = 1	ï
í1	= 2A + B + 2C + D; B = 1	Þ í2A + 2C + D = 0
ï	= A + B + D	ï
î0	= A + B + D	îA + D = -1

Во втором уравнении 2A + 2C = 0 Ю D = 0 Ю A = -1Ю C = 1.

Подставим найденные коэффициенты в разложение на просты е дроби и проинтегрируем результат:

dx = -ò

+ ò

dx =

+ x +

+ x + 1

+ 1) (x

x + 1

(x + 1)

1 ö

æ x + 1 ö

+ 3

d ç

ç x +

2 ÷

= - ln | x +1| -

dx = - ln | x +1| -

x +1

ç x

ç x +

d ç x

ç x +

× 2

= - ln

x +1

ç x +

arctg

+C =

ò æ

ö2

x +1

2 3

ç x +

= - ln

x +

1 ln(x2 + x +

1) -

arctg 2x +1

+C.

+ 1

9.7.Интегрирование некоторых иррациональных функций

1.Пусть R(x1,...,xn ) – рациональная функция, т.е. функция, над аргументами которой проводятся только сложение, вычитан ие, умножение на постоянные числа, умножение и деление. Рассмотри м

9. Неопределенный интеграл

	é			m ù
I = òR	ê	æ ax + b ö n ú
I = òR	êx, ç		÷	údx,
	ê	è cx + e ø		ú
	ë			û

где a, b, c, e – действительные постоянные коэффициенты; m, n – натуральные числа.

æ ax + b

Сделаем замену

ön

= t, тогда

è cx + e

æ etn - b ö¢

ax + b

= tn

Þ ax + b = cxtn + etn; x =

etn - b

cx + e

- ct

n Þ dx

= ç

n ÷ dt.

è a - ct

ø t

etn – b

öæ

etn – b ö'

Значит, I =

,tm ÷ç

dt , т.е. получили интеграл от ра-

÷ç

n ÷

è a – ct

øè a – ct

1444442444443

рациональная функция t

циональной функции, который всегда берется.

Аналогично вычисляются интегралы вида

æ ax + b ö

æ ax

+ b

æ ax + b ö

mk ù

òR

êx, ç

+ e

,...,

ú dx,

è cx + e ø

è cx

è cx + e

æ ax

только теперь нужна замена: t

+ b ön

, где n – наименьшее общее

+ e

è cx

кратное чисел n1,n2,...,nk , или наименьший общий знаменатель дробей

,...,

Пример. Найти неопределенный интеграл ò

1+ x

dx.

Ð å ø å í è å

1+ x

Сделаем замену

6 1+ x = t, 1+ x = t6, x = t6 - 1, dx = 6t5dt, тогда можно

продолжить:

(t6

- 1)2 + t3

× 6t5dt =

é(t6

-1)2 + t3 ùt3dt

– такой интеграл лег-

ко берется.

2. Некоторые интегралы от иррациональных функций, наприме р

интегралы вида I = ò

, берутся при помощи замены

(ax + b)

+ px

+ q

= t, ax + b = 1,

x =

- b , dx = -

dt :

ax + b

at2

156

157

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

tç

–

÷dt

I = ò

= –

(

–

)+ p (

–

)+ qt

(

–

t )+ p (

–

)+ qt

= – a1 ò

a t

t+ c

+ b

ãäå a1, b1, c1 – некоторые коэффициенты. Далее выделяем в знаменателе квадрат:

çt

a1>0

2a1 ø

a t

+ b t + c

t + a1 t + a1

çt +

1 -

2a1 ø

4a1

ö2

t +

+ çt +

÷ +

+C, t =

4a2

ax + b

Ïðè a1 < 0все выполняется аналогично.

Такого типа пример уже разбирался ранее: ò

(замена

x = 1/t ).

3. Для вычисления интегралов бывает полезна следующая фор мула:

P(x)dx

(x)

ax2+ bx+ c +

(9.8)

ax2+ bx+ c

{

ax2+ bx+ c

123

число ò

многочлен степени

1442443

на 1 меньше степени	посчитан в п.2
	посчитан в п.2
P с неопределенными
коэффициентами

Дифференцируем обе части этого равенства по х:

P(x)

= P¢(x)

ax2 + bx + c + P (x)

2ax + b

;

ax2

+ bx + c

2 ax2 + bx + c

ax2 + bx + c

P(x)

= P¢(x)

ax2 + bx + c + P

(x)

ax + 2

;

ax2

+ bx + c

ax2 + bx

+ c

ax2 + bx + c

9. Неопределенный интеграл

P(x) = P1¢(x)(ax2 + bx + c) + P1(x)çæax + b2 ÷ö + k.

è ø

Здесь корней уже нет. Равенство верно для всех х. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, находим коэффициенты многочлена P1(x) и число k. Можно показать, что коэффициенты многочлена P1(x) и k всегда находятся однозначно.

Пример. Найти неопределенный интеграл ò							x2 −1dx.
				Ð å ø å í è å
ò x2 − 1dx = ò	x2 − 1				dx = (Ax + B)	x2 − 1	+ kò	dx			.
	x	2						x	2	− 1
			− 1

Дифференцируем обе части уравнения по х :

x2 − 1

= A x2

− 1 + (Ax + B)

;

x2 − 1

2 x2 −1

−1

x2 − 1 = A(x2 − 1)+ (Ax + B)x + k; 2A = 1, A =

B =

0; −1 = − A + k, k = −

В итоге получим:

x2 − 1dx =

1 x x2

− 1 − 1 ò

1 x x2

− 1 −

1 ln | x + x2 − 1 | +C.

x − 1

9.8.Интегрирование тригонометрических функций

1.Рассмотрим интеграл вида I = òsinm x × cosn xdx, ãäå m è n – öå-

лые числа, в следующих случаях:

а)Еслихотябыодноизэтихчиселнечетно,напримерm=2k +1, k – целое, то

I=òsin2k+1x × cosnxdx = –òsin2kx × cosnxd cosx =

=–ò(1 – cos2x)k × cosnxd cosx = – ò(1 – t2)ktndt.

{

Это есть интеграл от многочлена при неотрицательных k и n или, если k < 0 или n < 0, – интеграл от рациональной дроби.

158

159

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

Ðå ø å í è å

1)Как уже разбиралось в разд. 9.4,

òsin3 xdx = -ò(1- cos2 x)d cosx = -cosx + 13cos3 x +C;

d sin x

ïî í ìï

+ t

+ sin x

d sin x

2) ò

= ò cos2 x

=ò

= ò

2 ln

- t

+C = 2 ln

- sin x

+C.

cos x

1- sin2 x

1- t2

Аналогично берутся интегралы

âèäà

òR(sin x)cos xdx è

òR(cos x)sin xdx, где R – рациональная функция. Например,

ì}ïíïî

òR(t)dt.

òR(sin x)cos xdx = òR(sin x)d sin x =

б) Если оба числа m и n – четные и неотрицательные: m = 2k, n = 2l, m ³ 0, n ³ 0, используем уже упоминавшиеся формулы понижения степени и перехода к двойному углу:

cos2 x =

1+ cos2x

, sin2 x =

1- cos2x

I =

sin

x × cos

xdx =

æ 1

- cos2x ök æ 1

+ cos2x öl

dx – интеграл с

вдвое меньшей степенью тригонометрической функции.

Примеры. Найти неопределенные интегралы.

Ð å ø å í è å

1) В разд. 9.4. уже показывалось, что

òsin2 xdx = ò

1- cos2x

dx =

2 x -

4 sin2x +C.

cos

xdx =

æ 1+ cos2x ö2

dx =

+ 2cos2x

+ cos

2x)dx =

[x + sin2x]+

1+ cos4x

dx =

x +

sin2x +

1 æ

4 ò

ç x +

sin4x ÷

8 è

3 x +

1 sin2x +

sin4x +C.

9. Неопределенный интеграл

в) Если оба числа m и n – четные и хотя бы одно из них отрицательное, рекомендуется замена tgx = t (см. п. 3).

2. Теперь рассмотрим I = òR(sin x,cos x)dx, где R – рациональная

функция.

Здесь используется так называемая универсальная тригонометри-

ческая подстановка tg

= t. Функции sin x и cos x рационально выра-

жаются через tg

2sin x cos

2tg

cos2

- sin2

- t

sin x =

;

cos x =

sin

+ cos

2 x

t2 +

sin

+ cos

2 x

+ t2

2 x

(числитель и знаменатель были поделены на cos

);

2dt

= arctg t Þ x = 2arctg t

,dx =

1+ t2

= t

öæ

2 ö

1–t

dt –

интеграл

всегда

I = R(sinx, cosx) dx

Rç

÷ç

1+t

÷ç

1+t

øè1+t

144424443

берется.

рациональная функция t

Пример. Найти неопределенный интеграл ò

sin x

Ð å ø å í è å

Хотя этот интеграл есть в таблице, вычислим его еще раз:

+ t2

dt = ln |t | + C = ln

+C.

sin x

1 + t2

Метод универсальной тригонометрической подстановки – с амый общий, но многие примеры можно решить другими методами.

3. Пусть, например, I = òR(sin2 x,cos2 x)dx, где R – рациональная функция. Здесь более удобна подстановка: tgx = t, тогда

x = arctgt, dx = 1+1t2 dt;

160

161

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

sin2 x =

sin2 x

tg2x

;

sin2 x + cos2 x

tg2x +1

+ t2

cos2 x =

cos2 x

sin2 x + cos2 x

tg2x

1+ t2

(числитель и знаменатель были разделены на cos2 x ). Тогда

æ	t2		öæ	1		ö	1
ç			÷ç			÷
I =òRç		2	,÷ç		2	÷	1+t	2 dt.
è 1+t			øè 1+t			ø	1+t

14444244443

рациональная функции t

Пример. Найти неопределенный интеграл ò cosdx4 x .

Ð å ø å í è å

tg3x

= ò

t2 +1

= ò(t

+1)dt = t

+ t +C =

+ tgx +C.

cos4 x

(t2 +1)2

Этот пример также иллюстрирует упомянутый выше случай I = òsinm x × cosn xdx при четных m и n, из которых хотя бы одно отрицательно.

На практике иногда удобны и другие подстановки: ctgx = t, ctg x2 = t è ò.ä.

9.9. Интегрирование некоторых иррациональных выражений при помощи тригонометрических подстановок

Рассмотрим интегралы вида I = òR(x,

ax2 + bx + c)dx, a ¹ 0, ãäå

R – рациональная функция. Выделяем полный квадрат:

éæ

b ö2

b2 ù

+ bx

+ c = a(x

)

= a

êç x +

ú.

2a ø

ö x+

b ö2 c b2

}

Åñëè a > 0, òî I =

Rç x,

ç x+

–

÷ dx

R1(t, t +m) dt;

2a ø

4a2

14243 ÷

9. Неопределенный интеграл

}

Åñëè a < 0, òî I = Rç x, –a

b ö

÷dx

–

= R

(t,

– x+

k – t ) dt.

ò ç

4a2

a ÷

2a ø

14243

k>0

Здесь R1, R2 – рациональные функции своих аргументов. В случае a < 0 обязательно k > 0, так как иначе подкоренное выражение отрицательно.

Иногда после такой замены интеграл берется сразу. В общем же слу- чае он преобразуется к интегралу одного из следующих трех видов:

1. òR(t, a2 - t2 )dt;

2. òR(t, a2 + t2 )dt;

3. òR(t, t2 - a2 )dt (всюду a > 0 ).

Теперьсделаемвэтихинтегралахтригонометрическиепод становки.

1. Подставим t = asinu, dt = acosudu,

u = arcsin

. Тогда

òR(t,

a2 - t2 )dt = òR(asinu,

a2(1- sin2 u))acosudu =

R(asinu, acosu)acosu

du.

14444244443

рациональная функция от sin u и cos u

Пример. Найти неопределенный интеграл ò

(4x - x

Ð å ø å í è å

)

= ò

(4x - x

é-(x2

- 4x

+ 4)

)

+ 4ù

t =t=2sinutt

x−2

uu==arcsin

x – }2

= t

}

2cosudu

= ò

î ï í ìï

ïî í ìï

é4 - (x -

2)2 ù

(4 - t

2 3

cos

)

(2cosu)

sin

ç arcsin

tgu +C

+C =

tgçarcsin

cos

ç arcsin

162

163

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 278 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.10.20233.65 Mб5А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс.pdf
#
10.10.202351.34 Mб2Английский язык для университетов и институтов связи кожевникова.djvu
#
10.10.20236.39 Mб0БСМП.pdf
#
10.10.20231.85 Mб0ВычТех.pdf
#
10.10.20234.76 Mб2Детлаф Яворский 1973.djvu
#
10.10.202333.69 Mб0Детлаф Яворский 2002.djvu