Добавил:

catsneverdie Я уверяю Вас, мне можно доверить огнестрельное оружие Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.10.2023

Размер:

3.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2725 26 27 > Следующая >>>

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

∞

z2n+1

2) sin z = z -

- ...= å(-1)n

;

n=0

(2n + 1)!

∞

z2n

3) cosz = 1-

- ... = å(-1)n

;

n=0

(2n)!

∞

4) ln(1+ z) = z - z2 +

- ... = å(-1)n+1 zn

;

n=1

∞

5) (1+ z)α = 1+ az + a(a -1) z2 + ...= 1+ å a(a - 1)× ...× (a - n + 1)zn .

n=1

Первые три разложения справедливы на всей комплексной пл оскости в силу аналитичности на ней функций ez , sin z, cosz . Два последних разложения справедливы при z < 1, так как z = −1 является особой точкой функций ln(1+ z) è (1+ z)α , значит, r , как расстояние от 0 до –1, равно 1.

В последнем разложении a – произвольное (не действительное, натуральное) комплексное число и (1+ z)α = eα ln(1+z); åñëè æå α – íàòó-

ральное число, то ряд превращается в конечную сумму å и получаем

n=1

формулу бинома Ньютона, которая верна для всех z .

22.9. Ряд Лорана

∞

Рассмотрим ряд åan(z - z0)−n. После замены

= z ýòîò ðÿä

z - z

n=1

∞

превращается в степенной ряд åanzn, который сходится (абсолютно)

n=1

ïðè

< R, где R – радиус сходимости, и равномерно сходится при

∞

£ R1, ãäå R1 – произвольное число: R1 < R . Òî åñòü ðÿä åan(z - z0)−n

n=1

сходится (абсолютно) при

< R ,

z – z0

и равномерно схо-

z - z0 |

дится при

≤ R ,

z – z0

, где R – произвольное число: R < R .

z − z

Теперь рассмотрим ряд

∞

å an(z - z0)n.

(22.33)

n=−∞

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Этот ряд понимается как сумма двух рядов:

∞

−∞

n=−m

∞

åan(z - z0)n è å an(z - z0)n

åa−m(z - z0)−m

n=0

n=−1

m=1

и называется сходящимся, если сходятся оба

этих ряда. Первый из этих рядов сходится

ïðè

z – z0

< R, а второй – при

z – z0

> r.

Здесь R и r – некоторые числа, и предпола-

гается, что r < R , так как в противном слу-

чае ряд (22.33) всюду расходится. Значит,

областью сходимости ряда (22.33) является

кольцо r <

z – z0

< R (ðèñ. 156).

Точнотакжепоказывается,чторяд(22.33)

Ðèñ. 156

равномерно сходится при r < r1 £

z – z

£ R1 < R , т.е. в любом замкнутом кольце внутри кольца сходимости.

Далее будет изучаться возможность представления аналит ической

в кольце r <

z – z0

< R функции в виде суммы ряда (22.33). Пусть та-

кое представление возможно:

∞

f (z) = å an(z - z0)n.

(22.34)

n=−∞

Умножим обе

части равенства

(22.34) íà

2pi

k+1

k = 0, ± 1, ± 2,... :

(z - z0)

f (z)

∞

å an

(z − z0 )n−k−1.

(22.35)

k+1

2πi

2πi (z − z0)

n=−∞

Проинтегрируем обе части этого равенства вдоль произвол ьной окружности (Г): z – z0 = r, где r < r < R (на рис. 156 эта окружность проведена штриховой линией). При этом ряд в правой части можно проинтегрировать почленно в силу его равномерной сходимости. П олучим

f (z)

2pi

k+1

(Γ)

- z0)

n–k–1

å an

= ò ç

( z – z

0 )

÷ dz=

ò( z – z0 )

dz.

(22.36)

2pi

( Ã) è n= –¥

n= –¥

( Ã)

478

479

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

Рассмотрим интегралы в правой части (22.36) при различных зна - чениях n :

à) n - k -1³ 0 , ò.å. n ³ k + 1Þ ò (z - z0)n−k−1dz = 0 , как интеграл от

(Γ)

аналитической функции по замкнутому контуру;

á) n - k -1£ -2 , ò.å.	n £ k -1,	тогда	подставим z - z0 = reiϕ ,
z = z0 + reiϕ, dz = ireiϕ :
ò (z - z0)n−k−1dz = 2òπ rn−k−1ei(n−k−1)ϕireiϕdj =
(Γ)	0
2π		1	2π
		1	2π
= irn−k ò ei(n−k)ϕdj = irn−k			ei(n−k)ϕ\|0	= 0
= irn−k ò ei(n−k)ϕdj = irn−k		i(n - k)	ei(n−k)ϕ\|0	= 0
0

в силу периодичности (с периодом 2pi ) показательной функции ez ;

â) n = k Þ ò	dz		= 2pi по формуле (22.9).

	z - z	0
(Γ)		0

Таким образом, в правой части формулы (22.36) лишь один член (в котором n = k ) отличен от нуля, и эта формула принимает вид

f (z)

dz = ak .

k+1

2pi (Γ) (z - z0)

В итоге если аналитическую в кольце r <

z – z0

< R функцию мож-

∞

но в этом кольце представить в виде суммы ряда

å an(z - z0)n (22.33),

n=−∞

то такое представление единственно, и коэффициенты an находятся по

формулам

f (z)

dz,

(22.37)

2pi

n+1

(Γ) (z

- z0)

n = 0, ± 1, ± 2,... (Ã):

z – z0

= r, r < r < R.

Определение 22.12. Ряд (22.34) с коэффициентами (22.37) называется рядом Лорана для функции f (z).

Теорема 22.11. Пусть функция w = f (z) аналитична в кольце (D): 0 £ r < z – z0 < R £ ¥. Тогда ее можно представить в виде суммы сходящегося ряда Лорана (22.34) с коэффициентами (22.37).

22. Элементы теории функций комплексного переменного

(Γr′) z

(γδ)

(ΓR′)

Ðèñ. 157

¡ Пусть z – произвольная точка кольца (D). Образуем новое кольцо (D¢) :r ¢ < z – z0 < R¢ с границами (Γr′) è (ΓR′) соответственно(изображены на рис. 157 штриховыми линиями),лежащими внутрипервона- чального кольца (D) и содержащими точку z. Пусть (γδ) – окружность с

центром в точке z радиуса d :	z–z0	= d, лежащая внутри (D¢).

			1	ò	f (z)
Согласно интегральной формуле Коши f (z) =						dz . Ïî-
			2pi		z - z

(γδ )

дынтегральная функция в последнем интеграле аналитическая в зашт-

рихованной области, ограниченной контурами (Γr′), (ΓR′) è (γδ ), так как числитель и знаменатель дроби аналитичны в этой облас ти и знаменатель равен 0 только при z = z. Поэтому по интегральной теореме Коши для неодносвязных областей

ò	f (z)		ò	f (z)		ò	f (z)
		dz =			dz +			dz
	z - z			z - z			z - z
(ΓR ')			(Γr′ )			(γδ )

(все контуры проходятся в одном направлении). Тогда

(γò)

f (z)

(Γò

f (z)

(Γò

f (z)

f (z) =

dz =

)

dz -

)

dz. (22.38)

2pi

z - z

2pi

z - z

2pi

z - z

R '

r '

Первый интеграл в правой части формулы (22.38) преобразуется точно так же, как при доказательстве теоремы 22.10, и имеет вид :

1		f (z)	∞
1	ò	f (z)	dz = åan	(z - z0)n,
2pi	ò	z - z	dz = åan	(z - z0)n,
	(ΓR' )		n=0

480

481

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

ãäå

	1	(Γò		f (z)		1	(Γò)	f (z)
an =			)		dz =				dz, n = 0, 1, 2,... ;
an =	2pi		)	(z - z0)n+1	dz =	2pi		(z - z0 )n+1	dz, n = 0, 1, 2,... ;
		R '

(Г) –произвольная окружность; z–z0 = r, где r < r < R (в последнем переходе использована интегральная теорема Коши для нео дносвязных областей).

Преобразуем второй интеграл в правой части формулы (22.38), то гда

z - z

- (z - z

)

z - z

1 -

z - z0

- z0

В последней дроби при ζ (Γr′)

z - z0

< 1. Значит, по формуле суммы

z - z0

бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первы м членом

z - z

∞

æ z - z

ön

b = 1 и знаменателем q =

< 1,

ч , тогда

z - z0

- z0

n=0

è z

f ( z)

1- z - z0

–

= å f ( z) (z – z0 )n

. Подставим этот ряд во второй ин-

z – z

(z – z

0 )

n+1

n=0

теграл в правой части формулы (22.38) и проинтегрируем почлен но

вдоль (Γr′) . Это возможно, так как члены ряда непрерывны на (Γr′) è

ðÿä íà (Gr′) равномерно сходится по признаку Вейерштрасса. А именно

åñëè M = max | f (z) | , òî

ζ(Γr′ )

f (z)(z - z

£ M(r¢)n

r¢

ön

| z - z

(z - z

)n 1

|n 1

| ç

| ÷

∞

r¢

è ðÿä å

сходится как геометрическая прогрессия со

| z - z

ç | z - z

|÷

знаменателем q =

r¢

< 1.

В результате имеем:

| z - z0 |

f (z)

∞

dz =

å ò f (z)(z - z0 )n ×

dz =

2pi

)

z - z

2pi

(z - z

)n+1

(Γ

′

n=0(Γ

r′

)

22. Элементы теории функций комплексного переменного

∞	1			1
= å		ò	f (z)(z - z0 )n dz ×				.
= å	2pi	ò	f (z)(z - z0 )n dz ×	(z - z		)n+1	.
n=0		(Γr ′ )			0

Произведя замену n + 1 = -m,n = -m - 1, перепишем этот результат в виде

f (z)

−∞

f (z)

dz =

dz ×(z - z0)m

2pi

z - z

2pi

(z - z

)m+1

(Γr′ )

m=−1

(Γr′ )

или, заменяя m снова на n,

f (z)

−∞

dz = å an(z - z0)n,

2pi

z - z

(Γr ')

n=−1

ãäå an =

f (z)

dz =

f (z)

dz,

2pi

n+1

2pi

n+1

(Γ

′ )

(z - z0)

(Γ)

(z - z0 )

n = 0, 1, 2,...; контур (Г) тот же, что выше, – произвольная окружность радиуса r ; z–z0 = r, где r < r < R (в последнем переходе опять использована интегральная теорема Коши для неодносвязных обла стей).

Объединяя результаты преобразований обоих интегралов в правой части формулы (22.38), получаем нужный нам результат:

∞

−∞

∞

f (z) = åan(z - z0)n +

å an(z - z0)n =

å an(z - z0)n,

n=0

n=−1

n=−∞

ãäå an =

f (z)

dz , n = 0, ±1, ±2,... , (Ã):

z – z0

= r, r < r < R . x

2pi

n+1

(Γ)

(z - z0)

Пример. Разложить функцию f (z) =

2z +1

в ряд Лорана в областях:

z2 + z - 2

< 1; 2) 1 <

< 2; 3) 0 <

z – 1

< 3.

Р е ш е н и е Разложим исходную правильную рациональную дробь на прос тые дроби:

2z +1

z2 + z - 2

(z + 2)(z -1)

z +

z -1

Отсюда 2z +1 = A(z -1) + B(z + 2) . Подставим в это равенство z = 1 и

z = -2, получим 3 = 3B, - 3 = -3A Ю B = 1, A = 1.

Таким образом, f (z) =

z +

z -1

482

483

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

Случай 1: z0 = 0 и f (z) аналитична в области z < 1, т.е. ряд Лорана превращается в ряд Тейлора. Используя формулу суммы беско нечно убывающей геометрической прогрессии, имеем

∞

n æ z ön

∞

é(-1)n

f (z) =

å(-1)

- åz

= å

n+1

-1ú z

- z

2 n=0

n=0

çобе прогрессии действительно являются бесконечно убывающими, так

-z

êàê | q1 |=

< 1÷ .

Случай 2: по-прежнему z0 = 0 и f (z ) анали-

тична в кольце 1 <

< 2 (ее особые точки z = -2

è z = 1 ) (ðèñ. 158).

расклады-

В указанном кольце дробь

z + 2

–2

вается точно так же, как в первом случае, так как

-z

| z |

< 1 . Для разложения второй дро-

> 1) поступим следующим обра-

áè (à â íåé

Ðèñ. 158

çîì:

= z ×

. Последнее выражение уже

z -1

1- 1

можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей прогрессии с

первым членом b1 = 1 и знаменателем q2

= 1

< 1.

∞

Тогда 1

= å

. В итоге

f (z) = å

(-n1)+1n zn + å

n+1

z n=0 z

n=0 z

k=1 z

n=0

n=1 z

1- z

Случай 3: z0 = 1 и f (z ) аналитична в кольце 0 <

z – 1

< 3 (ðèñ. 159) (âíóò-

ренней границей кольца является сама точка z = 1).

Тогда дробь

уже является частью ис-

z - 1

комого ряда Лорана, как всякая степень z – z0 =

= z – 1. С дробью

поступим так:

+ 2

–2 0

z + 2 = z -1+ 3 = 3 ×1+ z -1.

Последнее выражение можно рассматри-

Ðèñ. 159

вать как сумму бесконечно убывающей геомет-

22. Элементы теории функций комплексного переменного

рической прогрессии с первым членом b1 = 1

| q |=

| z -1 |

< 1. Тогда

∞

n æ z -1

ön

∞

å(-1)

= å

- 1

3n=0

n=0

1∞ (-1)n

Âитоге f (z) = z - 1 + nå=0 3n+1 (z -1)n.

и знаменателем q = - z 3-1,

(-1)n (z -1)n. 3n+1

Во всех трех случаях мы использовали единственность разл ожения функции в ряд Лорана (или Тейлора), т.е. путем некоторых прео бразований получали разложение, а затем использовали то обстояте льство, что других разложений у функции в данной области быть не може т.

22.10. Классификация изолированных особых точек

Определение 22.13. Точка z0 называется особой точкой функции w = f (z) , åñëè f ′(z0) не существует.

Определение 22.14. Особая точка z0 функции w = f (z) называется изолированной, если w = f (z) аналитична в некоторой проколотой окрестности точки z0.

Пусть z0 – изолированная особая точка функции w = f (z). Тогда в


проколотой окрестности точки z0, т.е. в области 0 <			z – z0	< R , ãäå R –
некоторое число, ее можно разложить в ряд Лорана:
∞	∞	∞
f (z) = å an(z − z0)n = åan(z − z0)n + åa−n(z − z0)−n.				(22.39)
n=−∞	n=0	n=1

Определение 22.15. Первая сумма в правой части формулы (22.39) называется правильной частью ряда Лорана, а вторая сумма – главной частью ряда Лорана.

Определение 22.16. Изолированная особая точка z0 называется устранимой, если в разложении (22.39) главная часть отсутствует, т.е.

a−n = 0 , n = 1,2,...

Теорема 22.12. Для того чтобы изолированная особая точка z0 была устранимой, необходимо и достаточно, чтобы существовал ко нечный

предел lim f (z) .

z→z0

484

485

z→z0

lim

lim f (z)

z→z0

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

¡ Необходимость. Пусть z0 – устранимая особая точка функции

∞

f (z). Это означает, что при 0 < z – z0 < R функция f (z) = åan(z - z0)n .

n=0

Правая часть этой формулы, как сумма сходящегося степенного ряда, непрерывна в точке z0, значит, ее предел при z ® z0 равен сумме ряда в точке z0. Так как последняя сумма равна a0, то существует и конечный

предел левой части lim f (z) = a0 .

z→z0

Достаточность. Пусть, наоборот, существует конечный lim f (z) .

z→z0

Тогда функция w = f (z) ограничена в окрестности точки z0; пусть в этой окрестности f (z) £ M. Из формул для коэффициентов ряда Лорана (22.37) и формулы (22.10) следует , что при достаточно малом r

f ( z)

×2pr=

(22.40)

n .

2pi

=r (z – z0 )

n+1

z – z

В правой части этой формулы r можно взять сколь угодно малым, тогда при отрицательных n правая (а значит, и левая) часть сколь угодно мала, а это может быть только тогда, когда эти части равн ы 0. Итак,

an = 0 ïðè n = -1, - 2,... x

Определение 22.17. Изолированная особая точка z0 называется полюсом функции w = f (z) , если в разложении (22.39) главная часть содержит лишь конечное число членов. Пусть a−n = 0 для n > k (где k – некоторое натуральное число) и a−k ¹ 0. Тогда число k называется порядком полюса (т.е. порядок полюса – это наибольшее число k ОN , для которого a−k ¹ 0). Полюса½ первого порядка также называются простыми полюсами.

Можно показать, что определение полюса эквивалентно тому , что

= ¥ .

Определение 22.18. Изолированная особая точка z0 называется существенно особой точкой функции w = f (z), если в разложении (22.39) главная часть содержит бесконечное число членов.

Можно показать, что определение существенно особой точки эквивалентно тому, что f (z) не существует.

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Теоремы о полюсах

Теорема 22.13. Пусть в проколотой окрестности точки z0 функция

w = f (z) может быть представлена в виде f (z) = j(z) k , ãäå j (z) – (z - z0)

аналитическая в этой (уже не проколотой) окрестности и j (z0) ¹ 0, à k –

некоторое натуральное число. Тогда z0 – полюс функции w = f (z) порядка k.

¡ Разложим аналитическую функцию j (z) в ряд Тейлора в окре-

стности точки z0: j (z)= a0 + a1(z - z0) + a2(z - z0)2 + ... , ïðè ýòîì j (z0) = = a0 ¹ 0. Тогда

f ( z) =

j( z)

+...

(z – z

) k

(z – z

) k

(z – z

) k–1

(z – z

) k–2

Это есть разложение функции f (z) в ряд Лорана в проколотой окрестности точки z0 (в силу единственности такого разложения), в котором a0 ¹ 0, значит, действительно z0 – полюс функции w = f (z) порядка k. x Определение 22.19. Точка z0 называется нулем аналитической в ее окрестности функции j (z) кратности m (где m = 1, 2,... ), если в окрестности этой точки j (z) = (z - z0)m g(z) , где g(z) аналитична в этой окре-

стности и g(z0) ¹ 0.

Теорема 22.14. Это определение эквивалентно тому, что

j (z0) = j¢(z0 ) = ... = j(m−1)(z0) = 0,					jm (z0 ) ¹ 0.
¡ Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоре-
мы 8.5 о кратных корнях многочлена.
Именно пусть j (z) = (z - z0)m g(z), g(z0) ¹ 0 , тогда
j¢(z) = m(z - z0)m−1g(z) + (z - z0)m g¢(z) =
= (z - z	0	)m−1 émg(z) + (z - z	0	)g¢(z)ù = (z - z		0	)m−1g	(z),
		ë		û			1

ãäå g1(z)– аналитическая в исходной окрестности и g1(z0) = mg(z0) ¹ 0;
отсюда j¢(z0) = 0 . Аналогично
j¢¢(z) = (z - z	0	)m−2 é(m -1)g	1	(z )+ (z - z	0	)g ¢	(z )ù = (z - z	0	)m−2 g	2	(z),
	0	ë	1		0	1	û	0		2

486

487

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

ãäå g2(z) аналитична в исходной окрестности и g2(z0) = (m – 1)g1(z0) ¹ 0,

откуда j¢¢(z0) = 0; ... ; j(m−1)(z) = (z - z0 )gm−1(z) , ãäå gm−1(z) аналитична висходнойокрестностии gm−1(z0 ) ¹ 0,откуда j(m−1)(z0) = 0.Далееимеем

j(m)(z) = gm−1(z) + (z - z0)gm¢ −1(z); j(m)(z0 ) = gm−1(z0 )¹ 0.

Пусть теперь, наоборот,

j(z0) = j¢(z0 ) = ... = j(m−1)(z0 ) = 0, jm(z0 ) ¹ 0.

Раскладывая аналитическую в окрестности точки z0 функцию j(z) в ряд Тейлора, имеем

∞

(n)

(z0)

∞

(n)

(z0 )

j(z) = å

(z - z0 )n = (z - z0 )m å

(z - z0 )n−m = (z - z0 )m g(z ),

n=0

n=m

∞

(n)

(z0)

ãäå g(z) = å

(z - z0 )n−m аналитична в нашей окрестности, как

n=m

j(m)

)

сумма сходящегося степенного ряда, и g(z0) =

¹ 0. x

Теорема 22.15. Пусть в проколотой окрестности точки z0 функция

w = f (z) может быть представлена в виде

f (z) =

j(z)

, ãäå j(z) è y(z)

y(z)

аналитичны в этой (уже не проколотой) окрестности, j(z) имеет в точ- ке z0 нуль кратности m, а y(z) имеет в точке z0 нуль кратности n > m. Тогда z0 – полюс функции w = f (z) порядка n – m.

¡ По условию теоремы в окрестности точки z0

f (z) =	j(z)	=	(z - z0)m g1(z)	,
	y(z)		(z - z0)n g2(z)

ãäå g1(z) è g2(z) аналитичны в этой окрестности и g1(z0) ¹ 0, g2(z0) ¹ 0. Тогда в этой окрестности f (z )= g1 (z ) g 2 (z ). Числитель данной дроби

(z – z 0 )n – m

является аналитической функцией в (не проколотой) окрестности, так

как представляет собой отношение двух аналитических фун кций при знаменателе, отличном от нуля, откуда согласно теореме 22.13 и следует нужный нам результат. x

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что ее можно применять и при m = 0, ò.å. åñëè z0 вообще не является нулем функции j(z). Кроме того, из приведенного рассуждения видно, что теорему можн о применять и при n £ m. В этом случае в проколотой окрестности точки z0 функция

f (z) = g1(z) (z − z0 )m−n, ãäå gi (z) – аналитическая функция, причем gi (z) ¹ 0, g2(z)

i = 1,2, значит, существует конечный lim f (z) и z0 является устранимой

особой точкой для функции w = f (z) .

z→z0

22.11. Вычеты и их нахождение

Определение 22.20. Пусть z0 – изолированная особая точка функ-
öèè w = f (z) è
∞
f (z) = å an(z - z0)n	(22.41)
n=−∞

– разложение этой функции в ряд Лорана в проколотой окрес тности

точки z0 . Вычетом функции w = f (z) в точке z0 называется коэффи-
циент a	, т.е. коэффициент при (z - z		0	)−1 в этом разложении, кото-
−1
рый обозначается как a−1 = Res f (z0) = Res f (z).
		z=z0
Из формулы (22.37) для нахождения коэффициентов ряда Лорана
при n = -1 следует, что
	Res f (z0) =	1	ò f (z)dz,		(22.42)
		2pi
			(Γ)

где (Г) – окружность z – z0 = r, а r столь мало, что внутри этой ок-

ружности и на ней у функции f (z ) нет других особых точек. Нахождение вычетов в особых точках в зависимости от их вида

проводится следующим образом:

à) z0 – устранимая особая точка функции w = f (z) Ю a−1 = 0 Þ Res f (z0 ) = 0;

á) z0 – существенно особая точка функции w = f (z); в этом случае функцию следует разложить в ряд Лорана (22.41) и найти коэффиц и- ент a−1 в этом разложении;

â) z0 – полюс функции w = f (z) порядка k; тогда в проколотой окрестности точки z0 разложение (22.41) принимает вид

488

489

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

f (z) =

a−k

a−k+1

+ ...

a−1

+ a

(z - z

) + .... (22.43)

(z - z0 )k

- z0 )k −1

- z0

Умножив обе части этого равенства на (z - z0)k, получим:

f (z)(z - z

)k = a

+ a

(z - z

)

+ ... +

−k

(z - z

)k−1 + a (z - z

+ a (z

- z

)k+1

+ ...

−1

Продифференцируем обе части последнего равенства k – 1 раз. При этом степенной ряд в правой его части можно дифференциров ать по- членно. Поскольку производные всех степеней (z - z0) меньших, чем (k – 1), будут равны 0, то

	é f (z)(z - z			0	)k ù (k−1)	=
	ë			0	û
= a	(k -1)!+ a k !(z - z	0	) + a (k		+ 1)k ×...× 3(z - z		0	)2	+ ...	(22.44)
−1	0	0	1				0

Теперь перейдем в равенстве (22.44) к пределу при z ® z0 . Правая часть, как сумма сходящегося степенного ряда, непрерывна в точкеz0, значит, предел при z ® z0 правой части существует и равен сумме ряда в точке z0 , ò.å. a−1(k -1)!. Раз существует предел правой части, то существует такой же предел левой части равенства:

lim

é f (z)(z - z

)k ù (k−1) = a

- 1)!,

z→z

−1

Res f (z0) =

lim

é f (z)(z - z0 )k ù

(k−1)

(22.45)

(k -1)! z→z0

Замечание. При выводе формулы (22.45) не использовалось отличие от 0 коэффициента a−k (равно как и других коэффициентов) в формуле (22.43). Так как при a−k = 0 порядок полюса уже будет меньше, чем k, то формула (22.45) на самом деле справедлива не только для полюса порядка k, но и для полюса любого меньшего порядка, т.е. порядок полюса в фо рмуле (22.45) можно (если это целесообразно) «перебрать».

В частности, для простого полюса (т.е. при k = 1)

Res f (z		) = lim		é f (z)(z - z	)ù.	(22.46)
	0	z→z	0	ë	0 û
			0

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Рассмотрим здесь также случай, при котором в проколотой о крестности точки z0 функция w = f (z) может быть представлена в виде

f (z) = yj((zz)) , где j(z) и y(z) аналитичны в этой (уже не проколотой) окрестности, j(z0) ¹ 0, а y(z) имеет в точке z0 нуль кратности 1, т.е. y(z0) = 0, à y¢(z0) ¹ 0 . Тогда в соответствии с замечанием к теореме

22.15 z0 – простой полюс f (z) и согласно формуле (22.46)
Res f (z0) = lim	j(z)	(z - z0) = lim	j(z)	=	j(z0)	. (22.47)
	y(z)		y(z) - y(z0)		y¢(z0)
z→z0		z→z0
			z - z0

Примеры. Найти вычеты функций в их особых точках.

sin z

Ð å ø å í è å

f (z) =

– единственной особой точкой этой функции является

точка z0 = 0 . Это устранимая особая точка, так как lim = sin z = 1. Значит,

Res f (0) = 0

z→0

(тот же результат можно получить и при разложении

f (z) â

ряд Лорана в проколотой окрестности точки z0 = 0).

f (z) = z4 sin 1

– единственной особой точкой этой функции снова

является точка z0 = 0. Так как на всей комплексной плоскости sin z =

= z -

..., то при z ¹ 0, заменяя в этом разложении z на

, имеем

æ 1

f (z) = z

+ ...÷ = z

+ ...

3!z

5!z

7!z

5!z

7! z

è z

Это и есть разложение исходной функции в ряд Лорана в прок олотой окрестности точки z0 = 0 (в силу единственности такого разложения). Главная часть этого разложения содержит бесконечное число чл енов, значит, z0 = 0 – существенно особая точка, и вычет f (z) в этой точке, т.е. коэффи-

циент при 1z , равен 5!1 = 1201 .

= 1+ cos z

3. f (z) (z - p)6 – единственной особой точкой этой функции явля-

ется точка z0 = p. Знаменатель в данной точке имеет нуль кратности 6, а

490

491

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

функции f (z) четвертого порядка. Однако нахождение вычета в этой точ-

ке по формуле (22.45) при k = 4	затруднительно: Res f (p) =	1	é1+ cosz ù¢¢¢
			lim ê	2	ú .
		6 z→π ë		(z - p)	û

Поэтому в соответствии с замечанием к формуле (22.45), применим для нахождения вычета эту формулу при k = 6 :

é1

+ cosz

ù(5)

(5)

Res f (p) =

lim ê

(z - p)6

lim[1

+ cosz]

lim[-sinz] = 0.

5! z→π ë

(z - p)

120 z→π

22.12. Основная теорема о вычетах

Применение теории вычетов основывается в первую очередь на следующей основной теореме.

Теорема 22.16. Пусть функция w = f (z) аналитическая в некоторой области (D), за исключением конечного числа изолированных особых точек, и (L) (D) – кусочно-гладкая замкнутая кривая, не проходящая через эти точки. Тогда

ò	n
ò	f (z)dz = 2πiåRes f (zk ),	(22.48)
(L)	k=1

ãäå zk , k = 1, 2,..., n, – особые точки f (z), лежащие внутри кривой (L) (рис. 160).

¡ Пусть (Γk ) , k = 1, 2,..., n, – окружность с центром в особой точ- ке zk , такая, что внутри ее и на ней нет других особых точек функц ии f (z), кроме zk. По интегральной теореме Коши для неодносвязных об-

z2 (Ã2)

z1	(Ã3)
	z3

(Ã1)

(L)

Ðèñ. 160

22. Элементы теории функций комплексного переменного

ластей

ò f (z)dz = å ò

f (z)dz. Íî

согласно

формуле

(22.42)

(L)

k=1(Γ

)

ò f (z)dz = 2πiRes f (zk ).x

(Γk )

Пример 1. Вычислить интеграл

dz.

(z -1)2

|z +1|=3

Ð å ø å í è å

dz = 2pi[Res f (1) + Res f (-p)] , так как особыми точками этой

(z -1)2

|z +1|=3

z = 1

функции являются точка

(лежит

внутри контура интегрирования) и точки,

ãäå

cos z = 0 ,

ò.å.

= ± p

+ 2pk ,

z = ±p + 4pk, из которых только точка -p

–1

0 1

лежит внутри контура интегрирования

–4 –

(ðèñ. 161).

Точка z = 1 – полюс второго поряд-

êà ( tg 1

¹ 0 ), значит, по формуле (22.45)

Ðèñ. 161

получаем

ù¢

z ö¢

tg 2

= lim

Res f (1) = lim ê

-1)

ç tg

z→1 ë

(z - 1)

z→1

2 ø

z→1 2cos2

2cos2

Что касается точки z = -p , то в ее окрестности подынтегральную функцию можно представить в виде отношения двух аналитическ их функций:

j(z) sin

(z –1)2

y(z )

cos

j(-p) = -

¹ 0

, y(-p) = 0

, y¢(-p)

= -

sin

|z =− π

¹ 0 .

(p +1)2

Значит, по формуле (22.47) определяем: Res f (-p) =

j(-p)

= -

y¢(-p)

(p + 1)2

Таким образом, исходный интеграл равен 2pi ê

ú.

2cos

2 1

(p + 1)2

492

493

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

Пример 2. Вычислить интеграл

dz.

= 2

+ 1

Ð å ø å í è å

I =

dz. Здесь прямые вычисления по формуле (22.48) доволь-

z4+ 1

но громоздки, так как внутри контура интегрирования содержатся четыре

особые точки подынтегральной функции: z =

4 −1 = ±

i (см. формулу

извлечения корня из комплексного числа). Поэтому сделаем заменуz = 1.

При такой замене направление обхода контура меняется на п ротивопо-

ложное, так как argz = −argζ , а окружность

= 2 переходит в окружность

= 1. В итоге имеем

dz =

z4 + 1

= 1 z3

+1÷

è z

где окружность обходится по часовой стрелке. Меняя направ ление обхода

на противопожарное, получаем

z(1+ z4 )

Теперь внутри контура интегрирования находится лишь про стой по-

ëþñ z0 = 0 , и по формуле (22.47)

= 2pi Res

+ z4

= 2pi

+ z4

|ζ=0

= 2pi.

ζ=0

Отметим также, что данный пример достаточно просто решить , используя понятие вычета подынтегральной функции в бескон ечно удаленной точке.

22.13. Вычисление некоторых интегралов от функций действительного переменного

∞	P	(x)
1.Рассмотрим ò	m		dx ,ãäå Pm	(x) –многочленстепени m, Qn	(x)–
	Q (x)
−∞	n

многочлен степени n, не имеющий действительных корней, и n - m ³ 2.

Такой несобственный интеграл сходится, так как подынтегр альная функция при действительных x непрерывна а при больших x ведет себя как

xm	1
	=		, ãäå n - m ³ 2 .
xn		xn−m

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Теорема 22.17. Если σ – сумма вычетов функции f (z) ее особых точках, находящихся в верхней полуплоскости Im z > 0 ), òî.

∞ò Pm(x)dx = 2πiσ,

−∞ Qn(x)

= Pm(z) â Qn(z)

(ò.å. ïðè

(22.49)

¡Особые точки f (z) – это корни (нули) ее знаменателя Qn(z). Зна- чит, этих точек конечное число и согласно теореме 22.15 они явл яются полюсами (не лежащими на действительной оси).

Рассмотрим изображенный на

рис. 162 контур (L), состоящий из от-

резка [−R,R] и полуокружности (CR ):

=R, где R столь велико, что все осо-

бые точки f (z) из верхней полуплос-

кости находятся внутри (L).

–R

R x

Согласно основной теореме о вы-

Ðèñ. 162

четах 22.16 интеграл

f (z)dz = 2πiσ, или, учитывая, что на действи-

тельной оси z = x,

(L)

R P

(x)

(z)

(22.50)

ò Q

(x)dx +

(z)dz = 2pis.

-R

(CR )

Перейдем в этой формуле к пределу при R ® ¥ . Докажем, что

lim

Pm(z)

= 0.

(22.51)

R→∞

(z)

) n

А именно пусть

P (z) = a zm + a zm−1

+ ...+ a

Q (z) = b zn + b zn−1

+ ... + b ,

тогда

+...+

( z)

a0 z

( z)

+...+

b0 z

Последняя дробь при z =R ® ¥ стремится к 1, т.е. имеет конечный предел, значит, при больших R она ограничена:

494

495

VIII. Теория функций комплексного переменного и операционно е исчисление

+...+

a0 z

a zm

£ K,

+...+

b0 z

где K – некоторое число. Следовательно, при

Pm(z)

≤

K | a0 |

(22.52)

Q (z)

| b | Rn−m

По свойству интегралов от функций комплексного переменн ого

(22.10) при кривой (CR) длиной l = pR имеем

Pm(z)

≤

K | a0 |

πR =

πK |a0 |

)

Q (z)

| b

| Rn−m

|Rn−m−1

Но так как по условию теоремы (n – m – 1) ³ 1, то последняя вели-

чина при R ® ¥ стремится к нулю, что и доказывает формулу (22.51).

Переходя в формуле (22.50) к пределу при R ® ¥ и учитывая фор-

∞

(x)

мулу (22.51), получаем

dx = 2πiσ, т.е. формулу (22.49). x

Q (x)

−∞

∞

Пример. Вычислить интеграл

dx.

−∞

+1)

Ð å ø å í è å

∞

z2(z - i)2

ù¢

z 2

ù¢ =

= 2pi Res

= 2pi lim

z =i

+1)

z→i

(z - i)

z →i

(z + i)

2 ú

−∞

(z + i)

= 2pi lim

2z(z + i)2 - z2 2(z - i)

= 2pi lim

2 z( z + i) - 2 z2

= 2pi lim

2 zi

z→i

(z + i)4

z→i

(z + i)3

z→i (z + i)3

= 2pi

-2

( z0

= i

– полюс второго порядка функции

-8i

+ 1)

∞

2. Рассмотрим

ò T (x)cosλxdx è

ò T (x)sin λxdx, ãäå T (x) – ïðà-

−∞

вильная рациональная дробь, знаменатель которой не имеет действительных корней, и l > 0.

22. Элементы теории функций комплексного переменного

Сначала докажем нижеследую-

щую лемму, в которой (CR) – òà æå

полуокружность (рис. 163), что и

âûøå:

=R, Im z ³ 0.

Лемма Жордана. Пусть g(z) –

–R

R x

непрерывная в верхней полуплоскос-

Ðèñ. 163

ти при достаточно больших

ôóíê-

ция, такая, что если M (R) = max \| g(z) \|, то lim M(R) = 0. Тогда приl > 0
z (CR )		R→∞
lim	ò	g(z)eiλzdz = 0.	(22.53)
R→∞	ò
	(CR )
¡ Зададим полуокружность (CR) параметрически:
		[	]
z = Reiϕ = R(cosϕ + i sin ϕ), ϕ 0,			π .

Тогда

ò			π
			π
	g(z)eiλzdz	=	ò g(Reiϕ )eiλR(cosϕ+i sin ϕ)i Reiϕ dϕ	≤
(CR )			0
(CR )			0

£ ò g (Rei j) ei l R cos je–l Rsin j i R e i j d j.

Так как при действительных значениях j

e i j = cosj+i sin j = cos2 j + sin2 j = 1,

òî è ei l Rcosj = 1; e–l Rsinj = e–l Rsin j как модуль действительного по-

ложительного числа;			g(Rei j)	£ M(R). Значит,
		g(z)eiλzdz				£ M (R)×R òπe −λR sinϕd j.	(22.54)
	ò	g(z)eiλzdz				£ M (R)×R òπe −λR sinϕd j.	(22.54)
	(CR )					0
Òàê êàê			π
			π
òπ e−λR sin ϕdj = ò2 e−λR sin ϕdj + òπ e−λR sin ϕdj,
0		0				π
					2

496

497

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2725 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.10.20233.65 Mб5А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс.pdf
#
10.10.202351.34 Mб2Английский язык для университетов и институтов связи кожевникова.djvu
#
10.10.20236.39 Mб0БСМП.pdf
#
10.10.20231.85 Mб0ВычТех.pdf
#
10.10.20234.76 Mб2Детлаф Яворский 1973.djvu
#
10.10.202333.69 Mб0Детлаф Яворский 2002.djvu