А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

f ¢(x0) = 0, f ¢¢(x0 ) = 0,..., f (n−1)(x0 ) = 0, f (n) (x0 )¹ 0.

Тогда:

1) если n четно и f (n)(x0) > 0, òî x0 – точка минимума функции y = f (x) ;

2) если n четно и f (n)(x0) < 0, òî x0 – точка максимума функции

y= f (x) ;

3)если n нечетно, то экстремума у функции в точке x0 íåò.

В окрестности точки x0 разложим функцию по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (5.23), которую, выделив первы й член, можно записать в виде

x0 – точка минимума функции y = f (x) ;

6. Исследование функций

2) аналогично f (x) < f (x0) Þ x0 – точка максимума функции

функции f (x) в точке x0 íåò. x

Следствие. При n = 2 теорема принимает вид:

Пусть в некоторой точке x0 функция y = f (x) имеет первую f ¢(x0) и вторую f ¢¢(x0) производные и f ¢(x0) = 0, f ¢¢(x0 ) ¹ 0. Тогда, если f ¢¢(x0) > 0, òî x0 – точка минимума функции, а если f ¢¢(x0) < 0, òî x0 – точка максимума функции.

Примеры. Исследовать функции на экстремум.

Ðå ø å í è å

1.f (x) = sin x + cos x Þ f ¢(x) = cos x - sin x = 0; sin x = cos x;

tgx = 1; x = p4 + pn, n Î Z .

Эту серию можно разбить на две:

x = p4 + 2pn è x = 54p + 2pn; f ¢¢(x)= - sin x – cos x;

2. f (x) = chx + cos x Ю f ¢(x) = shx - sin x = 0; все решения этого уравнения найти невозможно, но очевидно, что одним из решений буд етх = 0. Исследуем функцию на экстремум в этой точке:

f ¢¢(x) = chx - cosx; f ¢¢(0) = 1-1 = 0,

т.е. следствие уже не применимо. Попробуем применить саму т еорему:

f ¢¢¢(x) = shx + sin x, f ¢¢¢(0) = 0; f IV (x) = chx + cos x, f IV(0) = 1+1 = 2 > 0.

Значит (n = 4 – четно и f IV (0) > 0) х = 0 – точка минимума функции.

II.Дифференциальное исчисление функций одной переменной

6.3.Наибольшее и наименьшее значения функции,

непрерывной на отрезке

Как указано в теореме 3.7, любая непрерывная на отрезке функ - ция y = f (x) принимает в некоторых точках этого отрезка свои наибольшее и наименьшее значения. Пусть x0 – одна из этих точек. Возможны два варианта: а) x0 – край отрезка; б) x0 – внутренняя точка отрезка, в этом случае по теореме Ферма 5.1 f ¢(x0) = 0 или не существует, т.е. x0 – критическая точка.

Таким образом, для отыскания наибольшего и наименьшего зн а- чений функции, непрерывной на отрезке, нужно найти все кри тические точки функции, принадлежащие этому отрезку, вычислить значе- ния функции в этих точках и на краях отрезка и взять наибол ьшее и наименьшее из этих значений.

Значит, наибольшее значение функции на [–2,0] равно 8, а наимен ьшее равно –3.

6.Исследование функций

6.4.Выпуклость и вогнутость графика функции.

Точки перегиба

Определение 6.4. Пусть функция y = f (x) определена и дифференцируема (т.е. имеет конечную производную) в некоторой окре стности точки x0. Рассмотрим график этой функции.

Кривая y = f (x) называется выпуклой (или обращена выпуклостью вверх) в точке M0(x0, f (x0)), если для х, близких к x0, все точки кривой лежат под касательной, проведенной в точке M0, или ординаты точек кривой меньше ординат точек касательной с той же абсциссо й (рис. 33).

Ðèñ. 33

Кривая y = f (x) называется вогнутой (или обращена выпуклостью вниз) в точке M0(x0, f (x0)), если для х, близких к x0, все точки кривой лежат над касательной, проведенной в точке M0, или ординаты точек кривой больше ординат точек касательной с той же абсциссо й (рис. 34).

Ðèñ. 34

Теорема 6.6. Пусть в точке x0 функция y = f (x) имеет конечную вторую производную f ¢¢(x0) ¹ 0. Тогда:

1) åñëè f ′′(x0) > 0, то кривая y = f (x) вогнута в точке M0(x0, f (x0));

II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2) åñëè f ¢¢(x0) < 0, то кривая y = f (x) выпукла в точке M0(x0, f (x0)) . ¡ f ′′(x0) существует и конечна, следовательно, f (x) и f ′(x) ñóùå-

ствуют в окрестности точки x0. Уравнение касательной к кривой в этой точке имеет вид

В окрестности точки x0 разложим функцию по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, записав три первых члена и остаточный член:

Для доказательства теоремы нам надо определить знак левой, а з- начит, правой части этого равенства. Будем рассуждать так же, как и

пример, половины первого члена. Тогда знак правой части со впадает со

x ¹ x0 , значит, знак левой части f (x) – yêàñ совпадает со знаком f ¢¢(x0) .

Åñëè f ¢¢(x0) > 0, òî f (x) – yêàñ > 0 Þ f (x) > yêàñ и кривая в окрестности x0 лежит над касательной, значит, она вогнута в точке M0.

Åñëè f ¢¢(x0) < 0, òî f (x) – yêàñ < 0 Þ f (x) < yêàñ и кривая в окрестности точки x0 лежит под касательной, значит, она выпукла в точке M0.

Определение 6.5. Кривая называется выпуклой (вогнутой) на некотором интервале, если она выпукла (вогнута) в каждой точке этого интервала.

Определение 6.6. Пусть функция y = f (x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки x0. Точка M0(x0, f (x0)) называется точкой перегиба кривой y = f (x) , если в любой окрестности x0

6. Исследование функций

есть точки кривой, лежащие как над, так и под касательной к кривой, проведенной в точке M0 (ðèñ. 35).

В точке перегиба кривая пересекает касательную. Точка пер егиба является границей между интервалами выпуклости и вогнут ости графика функции.

Теорема 6.8 (достаточные условия перегиба). Пусть функция y = f (x) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точ- ки x0. Пусть в этой окрестности, кроме самой точки x0, функция имеет вторую производную f ′′(x). Если при переходе через точку x0 эта вторая производная меняет знак, то M0(x0, f (x0)) – точка перегиба кривой y = f (x) . Если при переходе через точку x0 вторая производная знака не меняет, то перегиба у функции в точке M0 íåò.

¡ Используя уравнение касательной (4.2), имеем

f (x) –yêàñ = f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0).

Применим к разности f (x) - f (x0) теорему Лагранжа (5.4): f (x) –yêàñ= f ′(ξ)(x − x0)− f ′(x0)(x − x0),

II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

где точка ξ лежит между x0 и x. Вынесем (x - x0) за скобки: f (x) –yêàñ= ( f ¢(x) - f ¢(x0))(x - x0).

Применим теорему Лагранжа еще раз, теперь к разности f ¢(x) - f ¢(x0):

где h лежит между x0 è ξ .

В формуле (6.6) если x > x0 , òî x > x0 è h > x0 , à åñëè x < x0 , òî

x < x0 è h < x0 Þ (x - x0)(x - x0) > 0 ïðè x ¹ x0 и знак левой части формулы (6.6) совпадает со знаком f ′′(η).

Пусть при переходе через точку x0 вторая производная f ′′(x) меняет знак, тогда при таком переходе меняет знак и f ¢¢(h), а значит, и левая часть формулы (6.6). Таким образом, с одной стороны точки x0 кривая лежит над касательной, а с другой стороны точки x0 кривая лежит под касательной. Значит, M0(x0, f (x0)) является точкой перегиба нашей кривой.

Если же при переходе через точку x0 вторая производная f ′′(x) знака не меняет, то аналогичное рассуждение приводит к тому, ч то с обеих сторон точки x0 кривая лежит либо над, либо под касательной, т.е. перегиба в точке M0 не имеет. x

Пример. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба

точке x = 1; в этой точке y = 1, а угловой коэффициент касательной y¢ = 1; знаки y¢¢ показаны на рис. 37.

-+

Значит, на интервале (-¥,1) кривая выпукла, на интервале (1,+¥)– вогнута, а точка с координатами (1,1) является точкой ее пере гиба.

График функции в окрестности точки x0 = 1 представлен на рис. 38.

6. Исследование функций

Замечание. Теорема 6.8 справедлива и если f ¢(x0) = ¥, т.е. касательная в этой точке вертикальна (рис. 39).

y

6.5. Асимптоты графика функции

Пусть y = f (x) – некоторая кривая и М – точка на этой кривой. Мы будем говорить, что точка М движется вдоль кривой в бесконеч- ность, если расстояние отМ до начала координат стремится к∞ придвижении М вдоль кривой.

Определение 6.7. Если расстояние d от точки М кривой до некоторой прямой стремится к 0 при движении точки М вдоль кривой в бесконечность, то такая прямая называется асимптотой данной кривой.

Асимптоты делятся на вертикальные и наклонные (в частнос ти, горизонтальные).

1. Вертикальные асимптоты задаются уравнениями x = a (ðèñ. 40).

Ðèñ. 40

II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Из рис. 40 очевидна следующая теорема.

Теорема 6.9. Прямая x = a будет асимптотой графика функции

2. Наклонные и горизонтальные асимптоты задаются уравнениями y = kx + b и могут быть различными при x → +∞ è x → −∞ ( k = 0 – асимптота горизонтальна).

Теорема 6.10. Для того чтобы прямая Y = kx + b являлась асимптотой графика функции y = f (x) при x ® +¥, необходимо и достаточно, чтобы k и b удовлетворяли условиям:

Аналогично при x → −∞ .

¡ Обозначим ординату точки кривой М с абсциссой х как y = f (x), ординату точки прямой с той же абсциссой – как Y = kx + b , расстоя-

где j – угол между осью y и перпендикуляром к прямой (рис. 41). Существование асимптоты равносильно выполнению условия

y

Ðèñ. 41

6.Исследование функций

Âформуле (6.9) cosj – постоянное, не зависящее от х число; так как наша прямая не вертикальна, то j ¹ p2 Ю cosj ¹ 0. Значит, условие

(6.10) равносильно условию lim | y −Y |= 0 или условию

x→+∞

Необходимость. Пусть прямая Y = kx + b – асимптота графика функции y = f (x) , значит, выполняется условие (6.11), или, что то же самое,

=0 Þ lim ( f (x) - kx) = b Þ (6.8) верно..

x→+∞

Из формулы (6.12) также следует, что

Достаточность. Пусть для некоторой прямой Y = kx + b ее k и b удовлетворяют условиям (6.7) и (6.8), следовательно,

lim ( f (x) - kx) - b = 0 Þ верно(66..12),,

x→+∞

т.е. прямая Y = kx + b действительно является асимптотой графика y = f (x) . x

Процедура нахождения наклонных и горизонтальных асимпт от такова: по формуле (6.7) находим k, подставляем это k в формулу (6.8) и находим b. Если хоть один из пределов в (6.7) и (6.8) бесконечен или не существует, то асимптоты нет.

II.Дифференциальное исчисление функций одной переменной

6.6.Примерная схема общего исследования функции

èпостроения ее графика

1.Найти область определения функции и выяснить поведение функции на ее границе.

2.Выяснить, не является ли функция четной: f (-x) = f (x) или нечетной: f (-x) = - f (x). Для таких функций достаточно построить график для x ³ 0, а затем отразить: для четных функций – относительно оси 0у, а для нечетных функций – относительно начала координат.

3.Выяснить, не является ли функция периодической: f (x + T) =

=f (x). Для такой функции с периодом Т достаточно построить график на любом интервале длиной в период, а затем продолжить периодически.

4.Найти точки пересечения графика с осями координат, взяв x = 0 èëè y = 0.

5.Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разры ва

èвыяснить характер разрывов.

6.Найти асимптоты графика функции.

7.Установить интервалы возрастания и убывания функции. Найти точки экстремума, выяснить значения функции в этих точках .

8.Установить интервалы выпуклости и вогнутости графика ф ункции. Найти точки перегиба графика, выяснить значения функ ции и ее первой производной в этих точках.

9.Построить график функции.

При необходимости уточнить отдельные участки кривой, мож но вычислить координаты нескольких ее дополнительных точе к.

Ðå ø å í è å

1.Область определения функции

2.Функция не является ни четной, ни нечетной.

3.Функция не является периодической.

4.Пусть x = 0 Ю y = 274 ; y = 0 Þ x = -3.

114

6.Исследование функций

5.В точке x = -2 – разрыв; из п. 1 следует, что этот разрыв – второго рода.

6.Из этого же пункта следует, что прямая x = -2 является вертикальной асимптотой графика функции. Найдем наклонные асимпто ты, учитывая, что пределы при x → +∞ è x → −∞ здесь ничем не отличаются:

критические точки функции х = 0, х = –3 (в этих двух точках производная равна 0) и х = –2 (это точка разрыва функции); знаки y¢ показаны на рис. 42.

x

Ðèñ. 42

Значит, на интервалах (-¥,-3),(-3,-2) и (0,+¥) функция возрастает, а на интервале (–2,0) она убывает; точка х = 0 является точкой минимума

функции, f (0) = 274 ; в точке разрыва х = –2 будет «бесконечный макси-

мум», а в точке х = –3 экстремума нет, хотя и f ¢(-3) = 0 (т.е. касательная в этой точке горизонтальна).

115

II.Дифференциальное исчисление функций одной переменной

8.Найдем вторую производную функции:

x

Ðèñ. 43

Таким образом, наша кривая выпукла на интервале (-¥,-3) и вогнута на интервалах (-3,-2),(-2,+¥) ; х = –3 является абсциссой точки перегиба;

âэтой точке y = 0 и y¢ =0.

9.Теперь построим график исходной функции (рис. 44).

Ответ на вопрос, сверху или снизу график приближается к ас имптоте, зависит от наличия или отсутствия у графика соответствую щих точек перегиба. Если бы график подходил к асимптоте при x ® +¥ снизу или при x ® -¥ сверху, то в дополнение к точке –3 кривая имела бы другие точки перегиба, что не было подтверждено нашими вычислениями.

y

x

Ðèñ. 44

7.Векторные функции скалярного аргумента

7.ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА

7.1.Определение векторной функции скалярного аргумента

Уравнения линии в пространстве

Пусть А (x, y, z) – некоторая точка в пространстве. Вектор

____

r = OA = {x,y,z}= xi + yj + zk называется радиусом-вектором точки А. Пусть координаты точки А (или, что то же самое, координаты век-

тора r ) являются функциями некоторого параметра t:

т. е. вектор r зависит от t. При изменении t изменяются координаты x, y, z, и точка А – конец вектора r – опишет в пространстве некоторую линию.

Определение 7.1. Уравнения (7.1) называются параметрическими уравнениями линии в пространстве (задаются координаты точек линии как функции параметра t), уравнение (7.2) называется векторным уравнением линии в пространстве (задается радиус-вектор r = r (t) ). Если t О[a,b], то этим задается начало и конец линии.

Уравнения (7.1) являются аналогом параметрических уравнени й кривой на плоскости, разобранных в разд. 4.5.

Примеры векторных функций скалярного аргумента.

– так называемая винтовая линия Þ x2 + y2 = a2 , т.е. x и y как бы «пробегают» окружность, а с увеличением t координата z все время растет. При t = 0 имеем x = a, y = 0, z =0 (рис. 45).

z

y x

Ðèñ. 45

Задание линии в пространстве параметрическими уравнени ями наиболее удобный, но не единственный способ. Кривая может быт ь задана как линия пересечения двух поверхностей. Например, прямую лин ию можно задать как линию пересечения двух плоскостей.

Векторная функция скалярного аргумента

Вернемся к формуле (7.2)

r = x(t)i + y(t) j + z(t)k, èëè r = r (t).

При изменении t изменяются координаты x, y, z вектора r , т.е. изменяется сам вектор r .

Определение 7.2. Пусть каждому значению t из некоторого множества чисел Т соответствует определенный вектор трехмерного пространства r = r (t). Тогда говорят, что задана векторная функция (векторфункция) скалярного аргумента с областью определения Т.

Понятие векторной функции скалярного аргумента являетс я частным случаем общего понятия функции, введенного в разд. 1.4.

Таким образом, формула (7.2) задает векторную функцию скаляр - ного аргумента. Задание такой функции равносильно задани ю трех скалярных функций: x = x(t), y = y(t), z = z(t).

7. Векторные функции скалярного аргумента

Пример. Параметрические уравнения прямой линии

x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt

можно записать так:

r = (x0 + lt)i + (y0 + mt) j + (z0 + nt)k = (x0i + y0 j + z0k )+ (li + mj + nk )t Þ r = r (t) = r0 + st,

ãäå r0 = {x0,y0,z0} – постоянный вектор, а s = {l,m,n} – направляющий вектор прямой линии.

7.2. Предел векторной функции скалярного аргумента

По аналогии с пределом скалярной функции дается следующе е определение.

Определение 7.3. Пусть дана вектор-функция скалярного аргумента r = r (t), т.е.

ìx = x(t),

ï = ( ), Î .

íy y t t T

ïîz = z(t),

Пусть b = {bx ,by ,bz } – некоторый фиксированный вектор. Предел

7. Векторные функции скалярного аргумента

(аналогично для y и z), то из достаточности условий теоремы 7.1 следует, что существует

lim[r1(t) + r2(t)]= {b1 + b2, b1 + b2, b1 + b2}= b1 + b2.

→ x x y y z z t a

Аналогично проверяется второе свойство. x

7.3. Непрерывность векторной функции скалярного аргумента

По аналогии с непрерывностью скалярной функции дается сл едующее определение.

Определение 7.4. Пусть имеется векторная функция скалярного аргумента r = r (t), или

ìx = x(t),

ï = ( ),

íy y t

ïîz = z(t).

То есть вектор-функция r = r (t) непрерывна в точке t = t0 тогда, и только тогда, когда в этой точке непрерывны скалярные функции x = x (t), y = y(t), z = z(t).

Из определения 7.4 и свойств пределов векторных функций ска - лярного аргумента точно так же, как для скалярных функций , следует, что:

1)сумма непрерывных (при t = t0 ) вектор-функций есть непрерывная вектор-функция (при t = t0 );

2)произведение непрерывной (при t = t0 ) вектор-функции на постоянное число есть непрерывная вектор-функция (при t = t0 ).

7.4. Производная векторной функции скалярного аргумента

Определение 7.5. Пусть дана векторная функция скалярного аргумента r = r (t), или

II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

ìx = x(t),

ï = ( ),

íy y t

ïîz = z(t).

Производной этой функции (в некоторой точке t) называется вектор

вектор-функция скалярного аргумента Dt; рассматривается ее предел при Dt ® 0; r¢(t) (если она существует) снова является вектор-функци- ей скалярного аргумента t.

Так как действиям над векторами соответствуют аналогичн ые действия над их координатами, то