А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

К этому выражению опять применим теорему Лагранжа, только теперь по переменной у:

т.е. получаем равенство (12.18). x

Примеры показывают, что условие непрерывности смешанных производных второго порядка существенно для их равенств а, в точках разрыва смешанные производные могут и не быть равны.

12. Функции нескольких переменных

тную производную z по одной из переменных, а результат продифференцировать по другой переменной.

Аналогично определяются частные производные третьего, ч етвертого и других порядков от функций любого числа переменных . Можно показать, что значение смешанной производной k-го порядка в некоторой точке не зависит от порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования, если, например, все производны е функции до порядка k включительно непрерывны в окрестности нашей точки. Например, при выполнении таких условий функция z = f (x,y) имеет четыре различных производных третьего порядка:

и значения смешанных производных не зависят от порядка дифференцирования. Это справедливо и для производных более высокого порядка.

(можно дифференцировать и в другом порядке).

Дифференциалы высших порядков

Пусть z = f (x,y) , где x и y – независимые переменные, есть диф-

четырех аргументов. Если dx и dy зафиксировать, то этот дифференциал можно рассматривать как функцию только от x и y, при этом dx и dy

от xи y не зависят (они есть произвольные приращения Dx и Dy и явля-

ются постоянными относительно x и y). Теперь можно говорить о дифференциале этой функции.

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

Определение 12.26. Вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) функции z = f (x,y) называется дифференциал от ее (первого) дифференциала, если он существует:

(здесь для удобства записи опущены скобки: dx2 = (dx)2,dy2 = (dy)2 ) Þ

Для справедливости равенства (12.19) достаточно, чтобы функци я z = f (x,y) имела непрерывные частные производные до второго поряд-

Аналогичноесли z = f (x,y) имеетнепрерывныечастныепроизводные до третьего порядка включительно, то по определению т ретий дифференциал, или дифференциал третьего порядка, – это диффе ренциал от второго дифференциала и

12. Функции нескольких переменных

Для удобства записи в последнем выражении опускаем скобк и:

Аналогично выводятся формулы для d4z = d(d3z),...,dnz = d(dn−1z).

Замечание. Дифференциалы порядка больше первого не обладают свойством инвариантности формы, т.е. в случае, когда x и y – не независимые переменные, а являются функциями других переменных (u и v), формулы (12.19) и (12.20), вообще говоря, не верны.

Символические формулы

Перепишем формулы для дифференциалов следующим образом :

Аналогично если функция z = f (x,y) имеет непрерывные частные производные до порядка n включительно, то справедливы следующие символические формулы:

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

(доказательствоможнопровестиметодомматематическойи ндукции). Это формула не для вычисления d n z, а для запоминания развернутой формулы для d n z. Формула (12.21) понимается так: формально возводим в степень n по формуле бинома Ньютона (1.3), формально умножаем на z, и умножение каждого члена на z понимаем как взятие соот-

ветствующей частной производной.

Пример. Вывести формулу для дифференциала четвертого порядка.

Такие же символические формулы справедливы, если перемен ных больше, чем две. Например, если u = f (x,y,z) имеет непрерывные частные производные второго порядка, то

12.6. Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Как было показано в разд. 5.3, формула Тейлора для (n + 1) раз дифференцируемой функции одной переменной (5.21) имеет вид

где c – промежуточная точка между x0 è x.

12. Функции нескольких переменных

Положим в этой формуле x - x0 = Dx = dx, x = x0 + Dx Þ

где c – точка между x0 è x = x0 + Dx , ò.å. c = x0 + qDx, 0< q < 1 .

В таком виде формула Тейлора обобщается на функции нескол ь- ких переменных.

Теорема 12.10. Если в окрестности некоторой точки (x0,y0) функция z = f (x,y) имеет непрерывные частные производные всех порядков до (n + 1) включительно, то для всех точек ( x0 + Dx,y0 + Dy ) èç ýòîé

14243 14243

окрестности x y

f(x0 + Dx,y0 + Dy) =

=f (x0,y0) + df (x0,y0) + 2!1 d2 f (x0,y0) + ... + n1!dn f (x0, y0) +

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

Тогда z = f (x0 + tDx,y0 + tDy) = F(t) – некоторая функция одной переменной t,

f (x0 + Dx,y0 + Dy) = F(1), f (x0,y0) = F(0).

Функция F (t) – функция одной переменной, имеющая, как следует из правила дифференцирования сложной функции, ( n +1) непрерывную производную, следовательно, по формуле Тейлора для функции одной переменной

Как было отмечено, F(0) = f (x0,y0). Далее, используя формулу для нахождения производной сложной функции (12.9), имеем

228

12. Функции нескольких переменных

Подставляя эти производные в формулу (12.23), получаем нужную нам формулу

Пример. Разложить по формуле Тейлора при (x0,y0 ) = (1, 1) функцию

z = xy.

Ð å ø å í è å

f (x0,y0) = 1; df = ¶¶fx Dx + ¶¶fy Dy = yxy−1Dx + xy ln xDy Þ

df (1,1) = 1× Dx +0 × Dy = Dx;

d2 f = ¶¶2xf2 Dx2 + 2 ¶¶x2¶fy DxDy + ¶¶2yf2 Dy2 =

= y(y -1)xy−2Dx2 + 2(xy−1 + yxy−1 ln x)DxDy + xy ln2 xDy2 Þ

d2 f (1,1) = 0 × Dx2 + 2(1 +0)DxDy +0 × Dy2 = 2DxDy.

229

IV. Функции нескольких переменных. Интегралы, зависящие от п араметра

Значит, (1+ Dx)1+Δy = 1 + Dx + DxDy + r èëè xy = 1+ (x -1) + (x -1)(y -1) + r,

где r – остаточный член. Если его отбросить, то можно получить фо рмулу для приближенных вычислений.

По этой формуле находим:

что уточняет результат, полученный в конце разд. 12.3. Погрешн ости обоих результатов равны соответствующим остаточным членам формулы Тейлора и могут быть определены путем оценки этих членов.

Читателю предоставляется возможность уточнить полученн ый результат, добавив члены формулы Тейлора, входящие в d3 f (x0,y0 ) .

Ответ: 1,1021.

12.7. Экстремумы функции нескольких переменных

Определение 12.27. Пусть функция z = f (x,y) определена в окрес-

тности точки M0(x0,y0), которая называется точкой максимума (ми-

нимума)функции z = f (x,y),åñëè f (x0,y0) > f (x, y) ( f (x0, y0) < f (x,y)) для всех точек M(x,y) , достаточно близких к M0 (ò.å. äëÿ âñåõ M, òà-

êèõ, ÷òî 0 < M0M < δ , ãäå δ достаточно мало). Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Теорема 12.11 (необходимые условия экстремума). Пусть