А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

7. Векторные функции скалярного аргумента

Определение 7.7. Нормальной плоскостью к пространственной кри-

âîé r = r (t) (èëè x = x(t), y = y(t), z = z(t) ) в некоторой точке M0 кривой называется плоскость, проходящая через точку M0 и перпендикулярная к касательной в этой точке (рис. 47).

n

Ðèñ. 47

Пусть M0(x0, y0, z0) = M(x(t0), y(t0), z(t0)), тогда уравнение нормальной плоскости по точке M0 и нормали n = {x′(t0),y′(t0),z′(t0)} èìå-

125

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

III

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

«

8. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

8.1. Комплексные числа

Определение и действия над комплексными числами

Определение 8.1. Комплексным числом z называется пара действительных чисел x и y, которая обычно записывается в виде

где i – некоторый символ. Число x называется действительной частью комплексного числа z = x + iy и обозначается x = Re z. Число y называется мнимой частью комплексного числа z = x + iy и обозна- чается y = Im z.

Определение 8.2. Два комплексных числа называются равными, если у них совпадают действительные и мнимые части.

Определение 8.3. Комплексное число z = x - iy называется сопряженным к числу z = x + iy.

Определение 8.4 (действия над комплексными числами). Пусть z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 – два комплексных числа, тогда результатом каждого действия будет новое комплексное число, определе нное следующим образом:

1)z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 );

2)z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2);

3)для определения произведения z1z2 формально перемножим

числа z1 è z2, используя обычные свойства действительных чисел и принимая, что i2 = i ×i = -1:

8. Комплексные числа, многочлены и рациональные функции

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 − y1y2 + i(x1y2 + y1x2).

Последнее комплексное число и берется за определение про изведения z1z2 . Из этого определения, в частности, следует, что

i2 = ii = -1 (x1 = x2 = 0, y1 = y2 = 1). По определению zn = z Ч z...z (n раз), в частности

i1 = i, i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i, i6 = −1, i7 = −i, i8 = 1,...;

4) для определения частного z1 также проведем формальные пре- z2

образования, домножая числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:

z1 . z2

Легко проверить, что введенные действия над комплексными числами обладают обычными свойствами аналогичных действий над действительными числами. Отметим также, что множество комплексных чисел не является упорядоченным (т.е. неравенств для компл ексных чисел нет).

Выпишем свойства, связанные с операцией сопряжения:

1)z1 ± z2 = z1 ± z2;

2)z1z2 = z1z2;

3)z1 = z1 ; z2 z2

¡1) z1 ± z2 = (x1 ± x2 ) + i(y1 ± y2 ) = (x1 ± x2 ) - i(y1 ± y2 ), z1 ± z2 = (x1 - iy1) ± (x2 - iy2 ) = (x1 ± x2) - i(y1 ± y2);

2)z1z2 = x1x2 - y1y2 + i(x1y2 + y1x2) = x1x2 - y1y2 - i(x1y2 + y1x2), z1z2 = (x1 - iy1)(x2 - iy2) = x1x2 - y1y2 - i(x1y2 + y1x2 );

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

Геометрическое изображение комплексных чисел

Сопоставив комплексному числу z = x + iy точку плоскости 0ху с координатами (х, у), получим взаимно однозначное соответствие между комплексными числами и точками плоскости 0ху, которую будем при этом называть комплексной плоскостью, а произвольную точ- ку (х, у) обозначать также числом z = x + iy.

Определение 8.5. Полярные координаты r и j точки (х, у) называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа z = x + iy и обозначаются r =| z |, ϕ = Arg z .

На рис. 48 r =|OM |, j – угол от положительного направления оси 0х до вектора OM, определяемый с точностью до числа, кратного 2 p . Для z ¹ 0 единственное значение аргумента, принадлежащее промежутку (-p,p], называется главным значением аргумента и обозначается

Ðèñ. 48

8. Комплексные числа, многочлены и рациональные функции

ти комплексной плоскости, в которой лежит z). Если z = 0, то для этого числа r = 0, а j = Arg z – любой.

Замечание. Если z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2 , òî

ò.å. z2 − z1 – это расстояние на комплексной плоскости между точками (x1,y1) è (x2,y2 ), или между точками z1 = x1 + iy1 è z2 = x2 + iy2.

8.2. Тригонометрическая форма комплексного числа

Из рис. 48 видно, что для комплексного числа z = x + iy имеем x = r cosj, y = r sinj, т.е.

Определение 8.6. Форма записи (8.2) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть z1 = r1(cosj1 + i sinj1), z2 = r2(cosj2 + i sinj2). Тогда: а) z1z2 = r1r2(cosj1 + i sinj1)(cosj2 + i sinj2) =

т.е. при умножении комплексных чисел их модули перемножаю тся, а аргументы складываются;

=r1 [cos(j1 - j2) + i sin(j1 - j2)], r2

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

т.е. при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргу менты вычитаются;

в) из свойства п. а следует, что если z = r(cosj + i sin j), то

zn = z × z ×...× z = r(cosj + i sinj)× r(cosj + i sinj)×...× r(cosj + i sinj) = = rn(cosnj + i sinnj),

т.е. при возведении комплексного числа в натуральную степ ень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на эту степень;

г) извлекается корень из комплексного числа.

Определение 8.7. Корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое комплексное число w, что wn = z.

Пусть

z = r(cosj + i sinj), w = r(cosy + i siny), тогда согласно свойству п. в

wn = rn(cosny + i sinny) = z = r(cosj + isinj).

Два комплексных числа равны тогда, и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2 p , т.е.

В этой формуле достаточно брать k = 0, 1, 2,..., n - 1, так как при следующих k значения корня начнут повторяться; например, при k = n получим

т.е. то же самое число, что при k = 0. Значит для любого комплексного числа z ¹ 0 существует n различных корней n-й степени из этого числа.

8.3. Показательная форма комплексного числа

Введем понятие числа e в мнимой степени. Для этого положим

Эта формула называется формулой Эйлера.

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

Теорема 8.1 (Безу). При делении многочлена P (x) на (x – a) полу- чается остаток, равный P (a).

P1 (x) – частное – многочлен степени (n – 1); R – остаток (число)

Þ P(x) = P1(x)(x - a) + R.

Перейдем в этом равенстве к пределу при x → a :

Так как многочлен – функция непрерывная, то

Значит, P(a) = 0 + R = R. x

Следствие. Если а – корень многочлена P (x), то R = P (a) = 0, следовательно, многочлен делится на (x – a) без остатка, т.е.

P(x) = (x - a)P1(x). (8.6)

В этой формуле P (x) – многочлен степени n, P1(x) – многочлен степени (n – 1).

Теорема 8.2 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен имеет по крайней мере один корень – действительный или комплексный.

Эта теорема приводится без доказательства (в силу его сло жности).

Разложение многочлена на множители

Пусть: P (x) – многочлен степени n; x1 – его корень (он существует по основной теореме алгебры), следовательно, P(x) = (x – x1)P1(x);

P1(x) – многочлен степени n – 1; x2 – его корень (существует по той же теореме), следовательно,

P1(x) = (x - x2)P2(x) Þ P(x) = (x - x1)(x - x2)P2(x);

P2(x) – многочлен степени (n – 2) и т.д., следовательно,

P(x) = (x - x1)(x - x2)×...×(x - xn)A.

Здесь А – многочлен степени 0, т.е. число.

8. Комплексные числа, многочлены и рациональные функции

Для нахождения А раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим тождественное (т.е. верное для всех x ОR ) равенство

a0xn + a1xn−1 + ... + an ≡ Axn + bxn−1 + cxn−2 + ...,

где b, с,... – некоторые коэффициенты. Продифференцируем обе части этого равенства n раз:

Среди скобок могут быть одинаковые, объединяя которые, им еем

Определение 8.9. Число ri называется кратностью корня xi.

Так как в формуле (8.8) ровно n скобок, то r1 + r2 + ...+ rm = n, зна- чит, каждый многочлен степени n имеет ровно n корней с учетом кратности.

Объединив в формуле (8.8) все скобки, кроме i-й, мы можем переписать определение 8.9 корня кратности r в виде

ãäå Q(xi ) ¹ 0.

Теорема 8.3 (о тождественно равных многочленах). Если два многочлена тождественно (т.е. для всех х) равны, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого .

¡ P1(x) º P2(x) Þ P1(x) - P2(x) º 0 Þ P(x) º 0,

ãäå P(x) = P1(x)- P2(x) – многочлен степени, не превосходящей наибольшую из степеней P1 è P2 . Но, по доказанному, если степень P (x) равна k, то P (x) имеет лишь k корней, а у нас все x – корни. Это возможно лишь в том случае, если все коэффициенты P (x) равны 0, т.е. все коэффициенты P1(x) è P2(x) совпадают. x

Пусть теперь коэффициенты многочлена P (x) – действительные числа.

Теорема 8.4. Комплексные корни многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены, т.е. если (a + bi) – корень многочлена, то (a − bi) – тоже его корень.

III.Интегральное исчисление функций одной переменной

¡Пусть P(a + bi) = 0 Ю

a0(a + bi)n + a1(a + bi)n−1 + ...+ an−1(a + bi) + an = 0.

Тогда комплексно сопряженное к левой части этого равенст ва число тоже равно 0:

a0(a + bi)n + a1(a + bi)n−1 + ...+ an−1(a + bi) + an = 0. Учитывая свойства операции сопряжения, имеем

a0(a + bi)n + a1(a + bi)n−1 + ... + an−1 (a + bi) + an = 0. Так как коэффициенты ai – действительные, то ai = ai Þ

a0(a + bi)n + a1(a + bi)n + ...+ an−1(a + bi) + an = 0. Опять используем свойство операции сопряжения:

a0(a + bi)n + a1(a + bi)n−1 + ...+ an−1(a + bi) + an = 0 Þ a0(a - bi)n + a1(a - bi)n−1 + ...+ an−1(a - bi) + an = 0,

что и означает, что (a - bi) – корень многочлена: P(a - bi) = 0. x

Замечание. По этой теореме в разложении Р (х) на множители (8.7) будет выражение

[x − (a + ib)][x − (a − ib)] = (x − a − ib)(x − a + ib) = (x − a)2 + b2 = = x2 − 2ax + a2 + b2 = x2 + px + q,

ãäå – 2a = p è a2 + b2 = q, значит, P (x) делится на x2 + px + q :

P(x) = (x2 + px + q)P1(x).

Здесь Р1(х) – многочлен с действительными коэффициентами (если при действительных коэффициентах Р (х) и действительных числах p и q делить P (х) на (x2 + px + q) «углом», то полученные коэффициенты Р1(х), естественно, тоже будут действительными числами). К многочл енуР1(х) применимы все наши рассуждения: если он опять имеет корень (a + bi), то будет иметь и корень (a − bi) и т.д., следовательно, кратности корней (a + bi) è (a − bi) совпадают.

8. Комплексные числа, многочлены и рациональные функции

Теперь разложение многочлена с действительными коэффиц иентами на множители можно записать в виде

P (x) = a0(x - x1)r1 ×...×(x - xk )rk ×(x2 + p1x + q1)t1 ×...×(x2 + pl x + ql )tl . (8.10)

Âэтой формуле х1,..., õk – действительные корни многочлена

Ð(õ), à x2 + pj x + qj – квадратные трехчлены с действительными ко-

эффициентами и комплексными корнями aj ± bji ( ò.å. ó ýòèõ òðåõ-

членов D < 0 ) и r1 + ...+ rk + 2t1 + ... + 2tl = n.

Теорема 8.5 (о кратных корнях многочлена). Для того чтобы x = x0

являлось корнем многочлена Р (х) кратности r, необходимо и достаточ-

Обозначим многочлен во второй скобке Q1(x), тогда

P¢(x) = (x - x0)r −1Q1(x),

ãäå Q1(x0 ) = rQ(x0 ) ¹ 0. Аналогично

P¢¢(x) = (x - x0)r−2Q2(x0), ãäå Q2(x0) ¹ 0,...;

P(r−1)(x) = (x - x0 )Qr−1(x), ãäå Qr−1(x0) ¹ 0;

P(r)(x) = Qr (x), ãäå Qr (x0) ¹ 0.

Подставляя в полученные равенства x = x0 , получим нужный нам результат:

P(x0) = 0, P¢(x0 ) = 0,..., P(r−1)(x0 ) = 0, P(r) (x0 )¹ 0.

Достаточность. Пусть

P(x0) = 0, P¢(x0 ) = 0,..., P(r−1)(x0 ) = 0, P(r) (x0 )¹ 0

III.Интегральное исчисление функций одной переменной

èпусть степень многочлена Р (х) равна n. Разложим этот многочлен по формуле Тейлора:

P(x) = ån P(kk)(!x0)(x - x0 )k .

k=0

Из условий теоремы первые r слагаемых в этой сумме равны нулю, т.е.

P(x) = ån P(kk)(!x0)(x - x0 )k .

k=r

Тогда можно вынести за скобки (x - x0)r , и наше равенство примет вид

P(x) = (x - x0 )r ån P(kk)(!x0) (x - x0 )k−r .

k=r

Обозначая сумму в этом выражении Q (x), получим

Тем самым выполняются условия определения кратности кор ня многочлена 8.9 (см. формулу (8.9)), и x0 является корнем многочлена Р (х) кратности r. x

8.5. Рациональные функции

Определение 8.10. Рациональной функцией, или рациональной дробью, называется функция вида QP((xx)), где P (x) и Q (x) – многочлены (мы

будем предполагать, что они с действительными коэффициен тами). Определение 8.11. Рациональная функция (дробь) называется правильной, если степень числителя P (x) меньше степени знаменателяQ (x). Пусть дробь не является правильной, т.е. степень P (x) больше или равна степени Q (x). Тогда мы можем разделить числитель на знамена-

тель «углом»:

8. Комплексные числа, многочлены и рациональные функции

Здесь P1(x) – частное – некоторый многочлен; R (x) – остаток – тоже многочлен степени, меньшей, чем степень Q (x) (иначе можно делить дальше), т.е. дробь в правой части формулы (8.11) правильная.

Определение 8.12. Простыми дробями называются правильные дроби одного из нижеследующих четырех типов:

1. x A- a , где А, а – некоторые действительные числа.

A

2. (x - a)k , где k = 2, 3, 4,... и А, а – некоторые действительные числа.

ла; корни знаменателя – комплексные.

Теорема 8.6. Всякую правильную рациональную дробь QP((xx)) можно представить в виде суммы простых дробей.

¡ 1. Пусть х = а – действительный корень знаменателя кратности

k, ò.å. Q(x) = (x - a)kQ1(x), ãäå Q1(x) – многочлен и Q1(a) ¹ 0. При любом А, прибавив к числителю и вычтя из него AQ1(x), перепишем

дробь в виде

Вторая дробь правильная: ее знаменатель равен Q (x), а степень числителя меньше степени Q (x), так как степень P (x) и степень Q1(x) меньше степени Q (x).

Пока А было любым числом, теперь выберем А таким, чтобы х = а являлся корнем числителя 2-й дроби:

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

P(a) - AQ1(a) = 0 Û A = P((a)),

Q1 a

ãäå Q1(a) ¹ 0 по условию.

При таком А, согласно следствию из теоремы Безу 8.1,

ãäå Pk (x) – правильная рациональная дробь, которую можно анало-

Q1(x)

гичным образом разложить дальше, если Q1(x), а значит, и Q (x) имеют другие действительные корни.

2. Пусть теперь x = a ± bi – комплексные корни знаменателя кратности k (P (x) и Q (x) предполагаются с действительными коэффициентами). Как и выше,

[x - (a + bi)][x - (a - bi)]= (x - a + bi)(x - a - bi) = (x - a)2 + b2 =

=x2 - 2ax + a2 + b2 ,

èïðè -2a = p, a2 + b2 = q, знаменатель дроби можно записать в виде

Q(x) = (x2 + px + q)kQ1(x),

ãäå Q1(a ± bi) ¹ 0.

При любых А и В, добавив к числителю и вычтя из него выражение (Ax + B)Q1(x), перепишем дробь в виде

8. Комплексные числа, многочлены и рациональные функции

Здесь вторая дробь правильная: ее знаменатель равен Q (x), а степень числителя меньше степени Q (x), так как степень P (x) меньше степени Q (x), а степень Q1 (x) хотя бы на 2 меньше степени Q (x), следовательно, степень (Ax + B)Q1(x) тоже меньше степени Q (x).

До сих пор А и В являлись любыми числами, теперь же подберем их так, чтобы x = a + bi являлся корнем числителя второй дроби, т.е.

P(a + bi) -(A(a + bi) + B)Q1(a + bi) = 0 Û A(a + bi) + B = P((a + bi)), Q1 a + bi

ãäå Q1(a + bi) ¹ 0.

Здесь P(a + bi) – некоторое данное комплексное число; записав

Q1(a + bi)

его в виде M + Ni, получим

A(a + bi) + B = Aa + Abi + B = M + Ni Û Aa + B = M , Ab = N Û

A = Nb , b ¹ 0,так как корень комплексный, и B = M - Aa = M - Nab .

Раз x = a + bi – корень числителя (с действительными коэффициентами) P(x) - (Ax + B)Q1(x), то x = a - bi – тоже его корень, тогда аналогично (8.14)

P(x) - (Ax + B)Q1(x) = [x - (a + bi)][x - (a - bi)]P1(x) =

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

Вторую правильную дробь в правой части формулы (8.19) можно аналогично раскладывать дальше, получая в результате фор мулу

Последнюю правильную дробь можно точно так же раскладыва ть на простые в зависимости от наличия у ее знаменателя дейс твительных или комплексных корней.

Формулы (8.16) и (8.20) доказывают нашу теорему, так как все выделяемые в них дроби – простые. x

Применим указанную в пунктах 1 и 2 процедуру ко всем корням Q (x). Пусть

Q(x) = (x - a)k (x - b)l ×...× (x2 + px + q)m(x2 + rx + t)n ×...

Все коэффициенты в этой формуле – действительные числа.

На практике коэффициенты разложения правильной дроби на простые находят следующими способами, разобранными на пр имерах.

2x +1

Пример 1. Разложить дробь (x2 + 2)x2 на простые дроби.

Ð å ø å í è å

Разложим дробь на простые с неопределенными коэффициент амиA,

B, C, D:

Теперь надо найти эти коэффициенты.

Приведя дроби к общему знаменателю и отбросив его, получи м

140

8. Комплексные числа, многочлены и рациональные функции

2x +1 = Ax2 + 2A + Bx3 + 2Bx +Cx3 + Dx2.

Это равенство верно для всех х, т.е. является тождеством. Тогда по теореме о тождественно равных многочленах коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа должны совпадать:

В общем случае система может быть более сложной, но так как по теореме 8.6 коэффициенты разложения существуют, то эта систем а всегда разрешима (можно доказать, что она имеет единственное реш ение). Таким образом,

Перед решением задачи знаменатель должен быть разложен н а множители. Отметим также, что квадратный трехчлен в знаменат еле (с комплексными корнями) может иметь и более общий вид: x2 + px + q.

Аналогично предыдущему примеру

x2 + x + 1 = A(x - 1)(x - 2) + B(x +1)(x - 2) +C(x +1)(x -1).

Это равенство верно для всех х, в частности для х, равных корням знаменателя. Для этих х большинство скобок обратится в 0 ,и мы получим

x= -1 Þ1-1+1 = A(-2)(-3) Þ A = 16; x = 1 Þ 1+1+1 = B ×2 ×(-1) Þ B = - 32;

x = 2 Þ 4 + 2 +1 = C ×3×1 ÞC = 73.

141

III. Интегральное исчисление функций одной переменной

Как правило, целесообразно комбинировать эти два способа : сна- чала при помощи второго найти все коэффициенты, какие воз можно, а потом для нахождения остальных коэффициентов написать с истему уравнений по первому способу (можно уже не всю, а лишь неко торые из уравнений).

9. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

9.1. Понятие неопределенного интеграла

Определение 9.1. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) в некотором конечном или бесконечном промежутке (т.е. отрезке, интервале или полуинтервале) Е, если для "x О E существует F ¢(x) = f (x).

Теорема 9.1. Выражение F (x) +C, где F (x) – некоторая первообразная для f (x), а С – произвольная постоянная, представляет собой общий вид первообразной для f (x) (в некотором промежутке Е). То есть все первообразные для f (x), и только они, выражаются формулой

F(x) +C.

¡1. Пусть F (x) – первообразная для f (x) в промежутке E, а C – постоянная, тогда F (x) +C тоже первообразная для f(x) в E :

[F (x) +C]¢ = F ¢(x) +C¢ = f (x) + 0 = f (x), x ÎE.

2.Иобратно,каждаяфункцияФ(х),котораяявляетсяпервообразной для f (x) (в промежутке Е), может быть представлена в виде F(x) = F (x) +C, где F (x) – фиксированная первообразная, а С – некоторая постоянная.

Положим, j(x) = F(x) - F (x). Для любых точек x1,x2 E по теореме Лагранжа 5.4

j(x2) - j(x1) = j¢(c)(x2 - x1) =[F¢(c) - F ¢(c)](x2 - x1) = = [ f (c) - f (c)](x2 - x1) = 0

Þ j(x) =C Þ F(x) - F (x) =C Þ F(x) = F (x) +C, x ÎE.x

Определение 9.2. Если функция F (x) является первообразной для f(x)в промежутке Е, то выражение F (x) +C, где С – произвольная по-

9. Неопределенный интеграл

стоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается

где F (x) – любая первообразная для f (x), С – произвольная постоянная. Неопределенный интеграл ò f (x)dx – это семейство всех первооб-

разных для f (x).

Замечание. Не для любой функции существует первообразная, а зна- чит, и неопределенный интеграл. Но, например, ниже будет док азано, что если функция непрерывна в промежутке Е, то у нее в этом промежутке первообразная существует.

9.2.Свойства неопределенного интеграла

1.éëò f (x)dxùû¢ = f (x).

¡ Равенство верно по определению неопределенного интеграла; в левой части – множество функций; равенство верно для любо го элемента этого множества. x

2. d ò f (x)dx = f (x)dx.

3. òF ¢(x)dx = F (x) +C Þ òdF (x) = F (x)+C (символическая запись).

¡ Доказательство первой из этих формул следует из того, что одной из первообразных для F ¢(x) является F (x). x

4. òaf (x)dx = aò f (x)dx, a ¹ 0 – постоянная, при условии существо-

вания интеграла справа (это равенство представляет собой совпадение двух множеств функций).

¡ Пусть F (x) – некоторая первообразная для f (x). Так как [aF (x)]¢ = aF ¢(x) = af (x), то aF (x) – первообразная для аf (x). Тогда из формулы (9.1) следует, что òaf (x)dx = aF (x) +C, где С – произвольная

вольная постоянная, a ¹ 0 Ю aC1 – тоже произвольная постоянная. Теперь ясно, что оба этих множества функций совпадают. x