А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

Определение 21.2. Возьмем произвольную точку M0(x0, y0, z0)О(T ). Проведем через эту точку направленную прямую (ось) l. Пусть M (x,y,z) l – произвольная точка оси. Обозначим M0M – расстояние от M0 до M со знаком «+» при смещении M от M0 в сторону направления оси и «–» при смещении M от M0 в сторону, противоположную направлению оси. Производной скалярного поля u = u(M ) в точке M0 ïî íà-

если этот предел существует.

Так как это определение совпадает с определением 12.31 произ водной функции трех переменных по направлению (см. разд. 12.9), то можем здесь использовать все результаты этого раздела.

1. Если ось l составляет с положительными направлениями осей координат 0x, 0y, 0z углы α, β, γ соответственно, то

2. Дадим следующее определение.

Определение 21.3. Градиентом скалярного поля u(M ) = u(x,y,z) â

Тогда производная поля в точке M0 будет наибольшей по направлению вектора grad u в этой точке и эта наибольшая производная по направлению равна grad u(M0) .

3. Из определения 21.2 видно, что значение производной по направлению не зависит от выбора системы координат xyz. Тогда и вектор grad u(M0) не зависит от выбора системы координат: он направлен по тому направлению, производная по которому наибольшая, и длина его равна этой наибольшей производной по направлению.

21.Теория поля

21.2.Векторное поле. Линейный интеграл

èциркуляция векторного поля вдоль кривой

Определение 21.4. Пусть каждой точке М некоторой области (Т) трехмерного пространства соответствует вектор F = F (M ). Тогда говорят, что в области (Т) задано векторное поле.

Если в пространстве ввести прямоугольную декартову сист ему координат, то M = M (x,y,z) . Тогда вектор F , а значит, и его координаты P, Q, R будут являться функциями трех переменных x, y, z:

F = {P, Q, R} èëè F = Pi +Qj + Rk,

ãäå F = F (x,y,z), P = P(x,y,z), Q = Q(x,y,z), R = R(x,y,z), i , j , k –

единичные, взаимно перпендикулярные векторы, направленн ые по осям системы координат.

Всюду будем полагать, что функции P, Q, R имеют непрерывные частные производные.

i

F (Mi )× Ai Ai+1 – скалярное произведение двух векторов. Пусть О – фик-

сированнаяточкаи r i = OAi –радиус-вектор.Тогда Ai Ai+1 = ri+1 - ri . Переписав последнее выражение как Dri , получим

åF (Mi )× Ai Ai+1 = åF (Mi )× Dri (ðèñ. 125).

i i

21. Теория поля

Замечание. Формулу (21.4) легко запомнить следующим образом: если F = {P,Q,R}, dr = {dx,dy,dz}, а Fdr – скалярное произведение, то

Fdr = Pdx +Qdy + Rdz.

Если вектор F рассматривать как силу, то скалярное произведение F (Mi )× Ai Ai+1 с точностью до бесконечно малых высшего порядка будет работой силы при перемещении точки вдоль пути (Ai Ai+1) и Fdr дает работу силы при перемещении точки вдоль пути (AB).

21.3. Поверхностный интеграл первого и второго рода

Определение 21.6. Пусть в области (T) задано скалярное поле f. Пусть (S) – кусочно-гладкая поверхность, (S) М (T ) . Разобьем поверхность (S) кусочно-гладкими кривыми на части (Si ) с площадями Si и выберем произвольные точки Mi Î(Si ) . Рассмотрим интегральную сумму å f (Mi )Si . Обозначим через l наибольший из диаметров мно-

i

жеств (Si ) . Если предел таких интегральных сумм при l ® 0 существует

и не зависит от разбиения поверхности на части (Si ) и от выбора точек

Mi (Si ) , то этот предел называется поверхностным интегралом пер-

вого рода и обозначается

òò f (M )dS = òò f (x,y,z )dS.

Из этого определения, естественно, следует, что поверхнос тный интеграл первого рода обладает обычными свойствами инте гралов (см., например, разд. 19.1 и 19.3).

Приведем здесь (без доказательства) формулу для вычислен ия поверхностного интеграла первого рода (на которую мы впосл едствии опираться не будем): если поверхность (S) задана непрерывно дифференцируемой функцией z = j(x,y), где (x,y)О(D), то

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

Перед тем как дать определение поверхностного интеграла второго рода, введем понятие стороны поверхности.

Определение 21.6. Стороной поверхности (S) называется множество всех точек (S) с нормалями n ( n = 1) к поверхности (S) в этих точках. Из двух возможных направлений нормали выбирается одно, так, чтобы вектор нормали n являлся непрерывной функцией точек поверхности.

Ниже будем рассматривать только двусторонние поверхности (рис. 126). При движении вдоль любого замкнутого контура на такой поверхности мы не можем перейти с одной ее стороны на другую. Односторонние поверхности (типа так называемого листа Мебиуса, который получается переворачиванием

nи последующим склеиванием ленты) из

рассмотрения исключаются.

Определение 21.7. Пусть в области (Т) задано векторное поле F и пусть (S) – кусочно-гладкая поверхность, (S) (T ) . Фиксируем одну из сторон этой поверхности. Поверхностным интегралом второго рода по выбранной стороне поверхности, или (что то же самое) потоком векторного поля F через поверхность (S) в сторону, определяемую вектором n , называется интеграл

òò F n dS . Òî åñòü

Таким образом, поверхностный интеграл второго рода (или п оток векторного поля через поверхность) определяется как ïове рхностный интеграл первого рода от скалярного произведения F n . В формуле (21.6) Si – площадь (Si ) , l – наибольший из диаметров (Si ) ; предел должен существовать и не зависеть от разбиения поверхнос ти на части (Si ) и от выбора точек Mi Î(Si ) .

Замечание. Рассмотрим движение жидкости в пространстве. Пусть F = F(M ) – вектор скорости, тогда за время dt через поверхность dS в сторону вектора n протечет жидкости Fndt × dS = F ndt × dS , ãäå Fndt – высота цилиндра, Fn dt ЧdS – его объем, F n – скалярное произведение (рис. 127).

422

верхностный интеграл второго рода, или поток векторного п оля через поверхность, обладает обычными свойствами интегралов. В о тличие от поверхностного интеграла первого рода поток зависит от в ыбора стороны поверхности и меняет знак при ее смене.

Отметим здесь также, что определение 21.7 инвариантное, т.е. по - ток не зависит от выбора системы координат.

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Пусть теперь в пространстве введена прямоугольная систе ма коор-

динат xyz и пусть в этой системе F = {P,Q,R},Mi (xi ,yi ,zi ) . Пусть единичная нормаль n = n(M ) к выбранной стороне поверхности образует

с осями координат 0x, 0y, 0z углы α, β, γ соответственно. Тогда n = {cosα, cosβ, cos γ} è F n = P cosα + Q cosβ + R cos γ . Учитывая определение 21.6, получаем

òò F ndS = òò [P cos α +Q cosβ + R cos γ]dS =

(S) (S )

Рассмотрим одно из слагаемых в этой формуле:

Обозначим Di = Si cos γ(Mi ) ; с точностью до бесконечно малых высшего порядка Di – это площадь проекции элемента поверхности

423

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

(S )

Теперь продолжаем.

1. Пусть поверхность задана уравнением z = z(x,y). Мы будем предполагать, что на нашей стороне поверхности либо всюду cosg > 0, либо всюду cos g < 0. В противном случае поверхность нужно разбить на части, на каждой из которых cos g сохраняет знак, и вычислять наш интеграл как сумму интегралов по таким частям. Если Mi = M (xi ,yi ,zi ) =

=M (xi ,yi ,z(xi ,yi )), òî

òòR cos γdS = òò R(x,y,z)dxdy =

(S) (S)

(Dxy )

ции (S ) на плоскость 0xy. При нашем предположении непрерывности функции R(x,y,z) предел такой суммы равен этому интегралу:

Здесь знак «+» будет в случае, если на нашей стороне поверхн ости cosg > 0 , т.е. нормаль n образует с осью 0z острый угол, или сторона

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

21.4. Формула Гаусса–Остроградского

Теорема 21.2. Пусть в области (T) задано векторное поле F = {P,Q,R}, где P, Q, R непрерывны и имеют непрерывные частные производные, пусть (S) (T ) – внешняя сторона кусочно-гладкой поверхности,ограничивающейтело (V ) (T ); n = {cos α, cosβ, cos γ} –еди- ничная нормаль к этой стороне поверхности. Тогда

¡Согласно разд. 21.3 левая часть формулы (21.11) – это

òòPdydz + Qdzdx + Rdxdy , а сама формула может быть записана в виде

1. Пусть (V ) ограничено снизу и сверху частями двух поверхностей z = z1(x,y) è z = z2(x,y), проектирующимися на плоскость 0xy в некоторую область (Dxy ), а «сбоку» – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси 0z, т.е. описанная в разд. 19.4 «банка с двумя крышками» (рис. 133).

Расставив пределы в тройном интеграле в правой части раве нства (21.13), получим

21. Теория поля

z

z = z2(x,y)

n

z = z1(x,y)

Åñëè (S2) – верхняя сторона поверхности z = z2(x,y) (для нее угол g с осью 0z острый и cos g > 0 ) и (S1) – нижняя сторона поверхности z = z1(x,y) (для нее угол g с осью 0z тупой и cos γ < 0 ), то последнее выражение можно переписать в виде суммы двух поверхностных интегралов: òò R(x,y,z)dxdy + òò R(x,y,z)dxdy . Добавив сюда равный нулю

что и доказывает справедливость формулы (21.13) в нашем случа е. 2. В общем случае область (V ) нужно разбить на конечное число об-

ластей указанного выше вида (Vi ) с границами (Si ) (будем рассматри-

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

Левая часть последнего равенства, очевидно, равна òòò ¶Rdxdydz.

(V ) ¶z

При сложении интегралов в правых частях интегралы по цилиндрическим перегородкам равны нулю,

и «прочесть» следующим образом: поток векторного поля F через замкнутую поверхность (S ) в сторону, определяемую вектором внешней нормали n, равен интегралу от дивергенции этого поля по телу (V), ограниченному поверхностью (S).

21. Теория поля

Пример 1. Найти дивергенцию векторного поля

F = x2 yzi+xy 2 z j+xyz2 k.

123 123 123

P Q R

Ð å ø å í è å

divF = 2xyz + 2xyz + 2xyz = 6xyz.

Пример 2. Решим пример 2 в разд. 21.3 еще раз, применив формулу Гаусса–Остроградского.

Ð å ø å í è å

P = x, Q = y, R = z Þ divF = 1+1+1 = 3 Þ òò Pdx +Qdy + Rdz = òòò3dV = 3V ,

S

Инвариантное определение дивергенции векторного поля

Создается впечатление, что скаляр divF зависит от выбора системы координат. Покажем, что на самом деле это не так. Возьм ем точку M0 (T) и заключим ее в какое-нибудь тело (V), ограниченное поверхностью (S). Применим формулу Гаусса–Остроградского:

òò F ndS = òòòdivFdV. Используя теорему 19.5 о среднем в тройном

ö

непрерывны ÷ существует предел левой части равенства (21.16)

ø

( lim) divF (M ) = divF (M0 ).

V →M0

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

Значит, существует предел и правой части этого равенства:

(V )→M0 V (S )

Правая, а значит, и левая часть формулы (21.17) не зависят от выбора системы координат. Формулу (21.17) можно взять за инвариа нтное (т.е. не зависящее от выбора системы координат) определ ение дивергенции векторного поля.

Физический смысл дивергенции векторного поля: если рассм атривать движение жидкости в пространстве, то стоящий в право й части

формулы (21.17) поток òò F n dS определяет количество жидкости, вы-

( S )

текающейизтела(V ) (если поток меньше нуля, то втекающей в тело (V ))

(S)

зываемую плотность источников в точке M0 (жидкость вытекает за счет наличия источников, втекает за счет наличия стоков), т.е. ди вергенция показывает, сколько жидкости «создается» в точке M0.

21.5. Формулы Грина и Стокса

Теорема 21.3 (формула Грина).

21.Теория поля

¡Докажем часть формулы (21.18):

1. Пусть область (D ) – криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a и x = b и непрерывными кривыми y = j(x) и y = y(x) ( j(x) £ y(x) ) (рис. 136).

т.е. получили формулу (21.19).

VII. Кратные и криволинейные интегралы. Теория поля

2. Чтобы получить формулу (21.19) для любой области, нужно разбить ее на криволинейные трапеции (будем рассматривать т олько области, для которых это возможно), к каждой из них применить формулу (21.19) и сложить такие равенства. В результате будем иметь:

21. Теория поля

Обобщением формулы Грина на случай трех переменных являе тся так называемая формула Стокса. Чтобы написать ее, дадим сн ачала следующее определение.

Определение 21.9. Ротором векторного поля F = {P,Q,R} называется вектор