А. Р. Лакерник. Высшая математика.Краткий курс

5. Дифференциальные уравнения

шение получается из (14.5) при некотором c0 C . Отсюда ϕ(x0,c0) = y0 , т.е. функция (14.5) удовлетворяет условию 2′.

Пусть, наоборот, функция (14.5) удовлетворяет условию 2′. Пусть y (x), x U (x0) – произвольное решение (14.3), график которого лежит в области D, и пусть в точке x0 это решение принимает некоторое значе-

íèå y0: y(x0) = y0 ( (x0,y0) D ). Согласно условию 2′, существует зна- чение постоянной c0 C , при котором функция (14.5) удовлетворяет

условию ϕ(x0,c0) = y0 . Но так как по теореме 14.1 данному начальному условию может удовлетворять только одно решение уравнен ия (14.3), то функция ϕ(x,c0) , x U (x0), и является решением (14.3), т.е. функция (14.5) удовлетворяет условию 2. x

Определение 14.5. Равенство вида Ф (x,y,c) = 0, неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка (14.3).

14.3. Некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решений

В этом разделе будут рассмотрены некоторые уравнения вид а y¢ = f (x,y) и указаны методы решения таких уравнений (функция f (x,y) будет предполагаться удовлетворяющей условиям теоремы 14.1).

1. Уравнения с разделяющимися переменными

Такими уравнениями называются уравнения вида

уравнении (14.6)). Считая, что y = y(x) есть решение исходного уравнения, мы видим, что последнее равенство есть равенство ди фференциалов двух функций от x, которое может выполняться тогда, и только тогда, когда сами эти функции, или интегралы от их дифферен циалов, отличаются на произвольную постоянную:

14. Дифференциальные уравнения первого порядка...

Равенство (14.7), имеющее вид Ф (x,y,c) = 0, на самом деле и является общим интегралом исходного дифференциального урав нения (14.6).

В качестве примеров рассмотрим уравнения с разделяющими ся переменными (см. разд. 14.1).

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение y¢ = - yx . Ð å ø å í è å

dydx = - yx ; dyy = - dxx ; ò dyy = -ò dxx + c; ln | y |= - ln | x | +c.

Из полученного равенства вида (14.7) в данном примере можно в ыразить y. Заменяя в формуле c на ln | c | (то и другое – произвольные постоянные), имеем:

заменить на c) y = cx . В этой формуле c – произвольное число (мы решали

уравнение при условии y ¹ 0 , т.е. c ¹ 0 , но получаемая при c = 0 функция y = 0 тоже, очевидно, является решением исходного уравнения).

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение y¢ = ky . Р е ш е н и е

Из последнего равенства вида (14.7) выражаем y: | y |= ekx+c = ekx × ec ; y = ±ecekx .

Òàê êàê ec – произвольное положительное число, то, заменяя в последнем равенстве ±ec на c, имеем y = cekx. В этом равенстве c – произвольное число (получаемая при c = 0 функция y = 0 тоже является решением исходного уравнения).

Таким образом, в обоих примерах получили те самые решения, которые уже обсуждались в разд. 14.1. Вернувшись к определени ю 14.4 разд. 14.2 (условия 1 и 2′), мы видим, что в разд. 14.1 уже было ус-

5. Дифференциальные уравнения

в которых переменные разделяются после деления на R(x) и Q(y) (предполагается, что такое деление возможно, т.е. знаменате ли отличны от 0):

T (y) dy = - P(x) dx. Q(y) R(x)

Уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся ур авнения вида

где a ¹ 0, b ¹ 0 , c – некоторые постоянные (при a или b, равном 0, правая часть уравнения зависит только от одной переменной, т .е. (14.9) уже является уравнением с разделяющимися переменными).

14. Дифференциальные уравнения первого порядка...

y= 12 æç3x - ce−2x - 23 + 5ö÷ = - 2c e−2x + 23 x + 47 ,

èø

или, заменяя - 2c íà c,

y = ce−2x + 32 x + 47.

2. Однородные уравнения первого порядка

Такими уравнениями называются уравнения вида

u¢x + u = f (u) , или u¢x = f (u) - u . Но последнее уравнение является

14. Дифференциальные уравнения первого порядка...

ì ~ a x = x+ ;

í ~

î y = y+b,

ãäå α и b – некоторые числа. Тогда

по условию строки этого определителя не пропорциональны. При таких α и b наше уравнение, как было показано выше, становится однородным.

Пример. Решить дифференциальное уравнение y¢ = x + y - 3 . x - y -1

Ð å ø å í è å

5. Дифференциальные уравнения

Последнее равенство есть общий интеграл исходного диффе ренциального уравнения.

3. Линейные уравнения первого порядка

Уравнение y¢ = f (x,y) называется линейным, если его правая часть f (x,y) является линейной функцией y. Обычно линейные уравнения записывают в виде

Существуют два метода решения линейных уравнений, которы е отличаются друг от друга лишь формой записи.

Первый способ (метод Бернулли). Будем искать решение уравнения (14.12) в виде y = uv , где u = u(x), v = v(x) – некоторые функции. Тогда y¢ = u¢v + uv¢ и (14.12) принимает вид u¢v + uv¢ + P(x)uv =Q(x). Перепишем последнюю формулу следующим образом:

Теперь выберем функцию v (x) такой, чтобы

268

14.Дифференциальные уравнения первого порядка...

àзатем найдем все функции u (x), при которых справедливо равенство (14.13) (т.е. при нахождении решения в виде произведения двух со множителей выбираем один из этих сомножителей так, как нам уд обно, а затем находим второй сомножитель так, чтобы их произведен ие было решением).

Разделяя переменные, имеем

Так как нам достаточно найти лишь одно решение уравнения (14.14), то возьмем в последней формуле c = 1. Тогда

Ниже будет проверено, что функция (14.16) и есть общее решение исходного линейного уравнения (14.12).

Пример. Решить дифференциальное уравнение y¢ - x3 y + x = 0 . Ð å ø å í è å

Обычно в примерах используют не готовую формулу (14.16), а пров о- дят для каждого конкретного уравнения те действия, которы е к ней привели.

Будем искать решение уравнения в виде y = uv . Тогда y¢ = u¢v + uv¢ и

5. Дифференциальные уравнения

ln | v |= 3ln | x | + ln | c | ; ln | v |= ln | cx3 | ; | v |=| cx3 | ; v = ±cx3 , èëè v = cx3 . Принимая здесь c = 1 , получаем, что v = x3.

Теперь u¢x3 + x = 0 , u¢ = - x12 , откуда u = -ò dxx2 + c = 1x + c è

y= æç 1x + cö÷ x3 = cx3 + x2.

èø

Второй способ (метод вариации произвольной постоянной). Рассмотрим так называемое линейное однородное уравнение, соотве тствующее данному уравнению (14.12):

ле (14.18), считая, что в ней c = c(x) (отсюда и название метода). Тогда

y¢ = c¢e−òP(x)dx + c(e−òP(x)dx )¢ = c¢e−òP(x)dx + ce−òP(x)dx (-òP(x)dx )¢ = = c¢e−òP(x)dx - ce−òP(x)dxP(x).

Подставляя эту производную в формулу (14.12), имеем

c¢e−òP(x)dx - cP(x)e−òP(x)dx + P(x)ce −òP(x)dx =Q(x ), èëè c¢e−òP(x)dx =Q(x)

(т.е. члены, содержащие с, всегда сокращаются, остается только член, содержащий c¢).

(14.16).

14. Дифференциальные уравнения первого порядка...

Пример. Решить дифференциальное уравнение

(1+ x2 )y¢ - 2xy = (1+ x2 )2 .

Ð å ø å í è å

Переписав это уравнение в виде y¢ - 1+2xx2 y = 1+ x2 , видим, что оно действительно является линейным. Соответствующее однородное уравнение

íÿåì íà c) y = (x + c)(1+ x2 ) .

Теперь проверим, что функция (14.16) действительно является общим решением уравнения y¢ + P(x)y =Q(x).

Во-первых, при каждом значении c эта функция будет решением уравнения:

Во-вторых, зададим произвольное начальное условие y(x0) = y0 и покажем, что существует значение c, при котором функция (14.16) удовлетворяет этому начальному условию:

5. Дифференциальные уравнения

c= y0 eòP(x)dx x=x0 - òQ(x)eòP(x)dxdx x=x0 .

4.Уравнения Бернулли

Такими уравнениями называются уравнения вида

где a ¹ 0, a ¹ 1 (при a = 0 получаем линейное уравнение, при a = 1 – уравнение с разделяющимися переменными).

Легко убедиться, что к уравнениям Бернулли применим любой из описанных выше методов решения линейных уравнений.

Пример. Решить дифференциальное уравнение y¢ - 4x y = x y . Ð å ø å í è å

u = 14 ln2 | cx |; y = uv = 41 x4 ln2 | cx | .

2-й способ.

Решаем соответствующее однородное уравнение y¢ = 4x y. Имеем

272

5. Дифференциальные уравнения

Ðèñ. 78

Теорема 14.2. Пусть функции P(x,y), Q(x,y), ∂P(x,y) è ∂Q(x,y)

∂y ∂x

непрерывны в области D. Тогда, для того чтобы в этой области выражение P(x,y)dx +Q(x,y)dy являлось полным дифференциалом некоторой функции двух переменных, необходимо, а в предположении од носвязности области и достаточно, чтобы при (x,y) D

¡ Необходимость. Пусть существует функция u(x,y) , такая, что для (x,y) D du(x,y) = P(x,y)dx +Q(x,y)dy. Тогда согласно свойствам дифференциала функции двух переменных,

Достаточность. Для простоты проведем доказательство для слу- чая открытого прямоугольника (т.е. прямоугольника без гра ницы).

14. Дифференциальные уравнения первого порядка...

Пусть (x0,y0)ОD – произвольная фиксированная точка; (x,y) D – произвольная точка. Предположим, что нужная нам функция u(x,y) (т.е. такая, что du = Pdx +Qdy ) существует. Тогда

∂u(x,y) = P(x,y).

∂x

Проинтегрируем это равенство от x0 до x (для удобства переменную интегрирования тоже будем обозначать через x):

рования и дифференцирования можно поменять местами (см. теорему

13.3.), тогда

òx ¶P(x,y)dx + j¢(y) = Q (x,y).

x0 ¶y

Последнююформулувсилуусловия(14.21)можнопереписатьвви де